Patrulater

Cadrilaterale ┌────────────┼────────────── concav convex traversa ┌────────────┼────────────── scriibil trapez circumscris | ┌───────────┤ | trapezoid isoscel diagonal egal paralelogram centru de simetrie zmeu diagonal perpendicular └─────┬─────┘ └─────┬─────┘ unghi dreptunghiular dreptunghiular romburi laturi egale └─────────┬─────────┘ pătrat

În geometria plană, un patrulater (uneori numit tetrapleur sau tetragon ) este un poligon cu patru fețe. The trapeze , paralelograme , romburi , dreptunghiuri , pătrate și zmee sunt patrulatere individuale.

Etimologie

Cuvântul „patrulater” provine din latină: cvartet , patru și latus, lateris , lateral. Cuvântul echivalent de origine greacă este tetrapleure (din τεσσερα / testsera , patru, și πλευρά / pleura , lateral) sau tetragon (din γωνία / gônia , unghi). Cuvântul tetragonal a fost folosit de Gerbert din Aurillac până în secolul  al X- lea de Oresme în secolul  al XIV- lea. Termenul de patrulater a fost introdus în 1554 de Peletier . Unii autori au folosit cuvântul „patrulater” ( Alcuin ,  sec . VIII ) sau „helmuariphe” un termen de origine arabă ( Campanus ,  sec . XIII și alții până la Renaștere ). Pentru greci, un patrulater cu unghi de reintrare a fost numit „koilogon” (din κοιλοσ / koïlos , gol), iar unii au numit „trapezoid” un patrulater cu toate laturile inegale. „Tetragon” este folosit de Euclid în Elementele pentru a desemna pătratul .

Caracteristici

Un patrulater este figura notată „ABCD” formată din:

• patru puncte A, B, C și D: vârfurile patrulaterului;
• patru segmente [AB], [BC], [CD] și [DA]: laturile patrulaterului.

Se spune că vârfurile A și C sunt opuse  ; precum și nodurile B și D.
The diagonalele [AC] și [BD] se alăture nodurile opuse.

Un patrulater poate fi:

• traversat, dacă se intersectează două laturi opuse;
• nu încrucișat, adică simplu, altfel. Patrulaterul împarte apoi planul în două zone, una, mărginită, care se numește interiorul patrulaterului și cealaltă numită exteriorul patrulaterului. Dintre patrulaterele simple, putem distinge:
  • patrulatere convexe ale căror două diagonale sunt în interiorul patrulaterului;
  • patrulatere neconvexe cu diagonală în afara patrulaterului.

Conform sumei unghiurilor unei teoreme a poligonului , suma unghiurilor unui patrulater necrucisat este de 360 ° .

Patrulater convex

În geometria elementară, se acordă un loc minunat patrulaterelor convexe .

Un patrulater este convex dacă și numai dacă, indiferent de partea pe care o alege, patrulaterul este în întregime inclus într-un semiplan a cărui margine poartă această latură. Această caracterizare este generală pentru orice poligon convex . În cazul particular al patrulaterului, există și o altă caracterizare: un patrulater este convex dacă și numai dacă diagonalele formează segmente secante.

Când un patrulater este convex, o linie a planului care nu trece printr-un vârf nu poate întâlni mai mult de două laturi ale patrulaterului.

Aria  : aria unui patrulater convex este egală cu semiprodusul diagonalelor înmulțit cu sinusul unghiului pe care îl formează (unghiul folosit fiind cel mai mic dintre cele două unghiuri formate de linii).

Interiorul unui patrulater convex ABCD este apoi definit ca intersecția semiplanelor delimitate de (AB), de (BC), de (CD) și de (DA) și fiecare conținând respectiv punctele C, D, A și B. Este posibil apoi, într-un plan prevăzut cu un sistem de coordonate cartezian, să se definească interiorul unui patrulater prin compararea semnelor: punctul P (x, y) este interior cu patrulaterul convex ABCD dacă și numai dacă următoarele patru condițiile sunt adevărate:

(y B - y A ) x - (x B - x A ) y - x A y B + x B y A are același semn ca (y B - y A ) x C - (x B - x A ) y C - x A y B + x B y A  ; (y C - y B ) x - (x C - x B ) y - x B y C + x C y B are același semn ca (y C - y B ) x D - (x C - x B ) y D - x B y C + x C y B  ; (y D - y C ) x - (x D - x C ) y - x C y D + x D y C are același semn ca (y D - y C ) x A - (x D - x C ) y A - x C y D + x D y C  ; (y A - y D ) x - (x A - x D ) y - x D y A + x A y D are același semn ca (y A - y D ) x B - (x A - x D ) y B - x D y A + x A y D .

Cadrul și patrulaterul

Un patrulater derivă direct dintr-un patrulater prin gruparea vârfurilor în două perechi. Pentru fiecare pereche, se spune că cele două vârfuri sunt opuse, iar segmentul care le unește (latura patrulaterului) nu mai este considerat o latură, ci o diagonală a patrulaterului.

Deci, primul lucru de știut despre orice patrulater este că, spre deosebire de triunghiuri , datele vârfurilor lor nu sunt suficiente pentru a le defini (ci definește un patrulater, în anumite condiții).

Într-adevăr, luați în considerare patru puncte A , B , C și D (nu aliniate trei până la trei pentru a evita anumite probleme).
Aceste patru puncte sunt capetele a șase segmente distincte: cele șase laturi ale patrulaterului: [AB], [AC], [AD], [BC], [BD] și [CD].
Aceste segmente pot fi asamblate, patru până la patru, pentru a forma trei patrulatere distincte (și doar trei):

• [AB] + [BC] + [CD] + [DA] notat ABCD  ;
• [AB] + [BD] + [DC] + [CA] denotă ABDC  ;
• [AC] + [CB] + [BD] + [DA] denotă ACBD .

Cele patru segmente folosite de patrulater sunt laturile sale  ; celelalte două segmente sunt diagonalele sale .

Notare  : astfel ABCD este o notație obișnuită pentru a defini un patrulater sau un patrulater.

Totuși, dacă ordinea punctelor este indiferentă pentru un patrulater, pe de altă parte, trebuie respectată (cu o rotație sau o răsturnare) pentru a păstra același patrulater.

Există 24 de aranjamente ale celor patru puncte A , B , C și D bazate pe același patrulater. Există trei patrulatere ABCD , ACBD , ABDC .

Prin urmare, același patrulater ABCD poate fi scris ABCD , BCDA , CDAB , DABC într-o singură direcție; DCBA , C BAD , CDAO , ADCB în cealaltă direcție.

Completează patrulaterele și patrulaterele

• Un patrulater complet este setul de 4 puncte și cele 6 linii care le leagă de la 2 la 2.
• Un patrulater complet este setul de 4 linii și cele 6 puncte de intersecție ale acestora 2 la 2.

Tipologia patrulaterelor

Cadrilaterele arbitrare oferă un interes relativ redus, dar permit să vedem ce se află în spatele definițiilor binecunoscutelor patrulatere particulare ( trapez , paralelogram , dreptunghi , romb , pătrat , zmeu , pseudo-pătrat etc.)

• Diagrama Venn a diferitelor tipuri de patrulatere convexe.

• Diagrama Euler a diferitelor tipuri de patrulatere.

• Diagrama Hasse a diferitelor tipuri de patrulatere.

Când încercăm să clasificăm patrulaterele impunându-le proprietăți particulare, obținem de exemplu:

Diagonale perpendiculare

Acestea se numesc ortodiagonă  patrulateră patrulateră (în) . Aria tuturor acestor patrulatere este (unde D și d sunt lungimile diagonalelor). D×d2{\ displaystyle {\ frac {D \ times d} {2}}}

Această categorie nu prezintă nicio regularitate a aspectului. Dintre patrulaterele convexe ale căror diagonale sunt perpendiculare, putem nota

• Cadrilaterale ale căror diagonale sunt perpendiculare și două laturi egale consecutive: zmee (inclusiv diamante).
• Cadrilaterale ale căror diagonale sunt perpendiculare și de aceeași lungime: pseudo-pătrate.

Părțile sunt egale două câte două

Nu obținem întotdeauna un paralelogram. Pentru a obține un paralelogram, patrulaterul trebuie să fie, de asemenea, convex și laturile opuse trebuie să fie egale. Dacă patrulaterul nu este convex și laturile opuse sunt egale în perechi, obținem un patrulater încrucișat: antiparalelograma .

Dacă părțile egale sunt consecutive două câte două, aterizăm pe zmeu.

Partile paralele

Aici găsim două clase interesante de patrulatere convexe: trapezoide și, printre ele, paralelogramele .

Dintre trapezele particulare, găsim trapezul isoscel ale cărui laturi neparalele sunt de aceeași lungime și trapezul dreptunghiular care are două unghiuri drepte.

Paralelogramele speciale includ dreptunghiuri (paralelograme cu unghi drept), romburi (paralelograme cu laturi egale adiacente) și pătrate (ambele dreptunghiuri și romburi).

Astfel, conform acestei clasificări, pătratul este patrulaterul cel mai bogat în proprietăți. Este, de asemenea, soluția unică a problemei izoperimetrice pentru patrulatere. Adică, dintre toate patrulaterele cu același perimetru, pătratul este cel cu cea mai mare suprafață.

Cadrilatere scrise

Patrulaterele care pot fi scrise în cerc sunt patrulaterele ale căror vârfuri sunt cociclice.

Unghiul înscrise Teorema permite următoarea caracterizare: patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă are două unghiuri opuse care sunt egale sau suplimentare: când unghiurile sunt suplimentare, este o convex patrulater, iar când unghiurile sunt egale, este un traversat patrulater.

În special, un trapez isoscel, un dreptunghi sunt patrulaterele care se pot scrie.

Ptolemeu Teorema permite să se afirme că o convex patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă produsul din lungimea diagonalei este egală cu suma produselor lungimilor laturi opuse.

Formula Brahmagupta dă aria unui patrulater convex ale cărui vârfuri se află pe același cerc cunoscând doar lungimea laturilor sale.

S=(p-la)(p-b)(p-vs.)(p-d){\ displaystyle S = {\ sqrt {(pa) (pb) (pc) (pd)}}}

unde este jumătatea perimetrului patrulaterului, a , b , c și d sunt lungimile laturilor sale și S aria sa. p=12(la+b+vs.+d){\ displaystyle p = {\ frac {1} {2}} (a + b + c + d)}

Note și referințe

1. "Etimologia matematicii" .
2. Definiții lexicografice și etimologice ale „patrulaterului” tezaurului computerizat al limbii franceze , pe site-ul web al Centrului Național pentru Resurse Textuale și Lexicale
3. Emile Fourrry, Curiozități geometrice , 1910? ( citiți online ) , p.  49

Vezi și tu

Articole similare

• Patrulater complet
• Teorema lui Pitot

linkuri externe

• Geomerismul patrulaterelor de către informatică [PDF]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">