Principiul acțiunii minime și al relativității generale
Îi datorăm lui David Hilbert , în 1915, prima utilizare a principiului acțiunii minime pentru a obține ecuațiile relativității generale , în special ecuațiile câmpului gravitațional.
Pentru relativitatea generală, ca și pentru relativitatea specială, ecuațiile pot fi obținute fără a face apel la principiul celei mai mici acțiuni: principiul echivalenței , exprimat în forma „putem găsi întotdeauna un cadru de referință care anulează local câmpul gravitațional”, permite să găsiți direct ecuațiile de mișcare ale unei particule; iar unicitatea formei tensorului geometric care este anulată de derivata covariantă, unicitatea dovedită de Élie Cartan , permite găsirea ecuațiilor câmpului gravitațional, care a fost metoda originală a lui Einstein (deși unicitatea în cauză nu era încă dovedit în acel moment).
Dacă sunt date ecuațiile relativității generale, putem deduce acțiunea care permite aplicarea principiului. În special, cu ecuațiile geodezice putem găsi metrica asociată.
ds2{\ displaystyle ds ^ {2} \,}![{\ displaystyle ds ^ {2} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d554803fffead08dbf14e08276551c79bf81ba)
Particulă
Particulă într-un câmp gravitațional
În această lucrare, folosim ipoteza că particula nu își modifică mediul: masa particulei și nici poziția acesteia nu modifică câmpul gravitațional , această masă trebuie, așadar, să fie „mică”.
În virtutea principiului echivalenței lui Einstein, gravitația este local echivalentă cu alegerea unui cadru de referință accelerat.
Ca parte a relativității speciale, luând un cadru accelerat (coordonate ), percepția locală este un câmp gravitațional, iar schimbarea de referință față de un cadru de referință inerțial (coordonată ) impune o metrică cu coeficienți netriviți . Este suficient să se determine ecuațiile mișcării din acest cadru de referință datorită principiului acțiunii minime în relativitatea specială.
(X0′;X1′;X2′;X3′){\ displaystyle \ (x '_ {0}; x' _ {1}; x '_ {2}; x' _ {3})}
(X0;X1;X2;X3){\ displaystyle \ (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}
ds2=(X0)2-(X1)2-(X2)2-(X3)2=geuj(X′)Xeu′Xj′{\ displaystyle \ ds ^ {2} = (x_ {0}) ^ {2} - (x_ {1}) ^ {2} - (x_ {2}) ^ {2} - (x_ {3}) ^ {2} = g ^ {ij} (x ') x' _ {i} x '_ {j}}![{\ displaystyle \ ds ^ {2} = (x_ {0}) ^ {2} - (x_ {1}) ^ {2} - (x_ {2}) ^ {2} - (x_ {3}) ^ {2} = g ^ {ij} (x ') x' _ {i} x '_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93198c882d20f0555b285ee1c0266c9a9acf4a8)
Principiul echivalenței face posibilă afirmarea că un câmp gravitațional real (nu datorită alegerii cadrului de referință) este determinat și de metrică (iar metrica este determinată de câmpul gravitațional); deși utilizarea unei metrice care nu este cauzată și, prin urmare, nu poate fi compensată dincolo de un domeniu local de spațiu-timp, printr-o schimbare a cadrului de referință implică faptul că spațiul-timp nu este euclidian (a se vedea experimentul de gândire al discului rotativ, descris în relativitate generală ) și că ieșim apoi în afara cadrului relativității speciale pentru a construi o nouă teorie: relativitatea generală .
ds2{\ displaystyle \ ds ^ {2}}
ds2=geuj(X)XeuXj=geujXeuXj{\ displaystyle \ ds ^ {2} = g ^ {ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g ^ {ij} x_ {i} x_ {j}}![{\ displaystyle \ ds ^ {2} = g ^ {ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g ^ {ij} x_ {i} x_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54da33d4cd60b4033b54cf8cf56409f8b5f63904)
Prin urmare, putem rămâne în continuitatea relativității speciale și putem afirma că acțiunea infinitesimală a unei particule punctuale, influențată doar de gravitație, în relativitatea generală este:
dS=-mvs.geujdXeudXj{\ displaystyle dS = -mc {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}
unde presupunem că fără a lua nimic departe de generalitate.
geuj=gjeu{\ displaystyle \ g ^ {ij} = g ^ {ji}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij} = g ^ {ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b8584650ae4e243416c383b2198066c5daf97a)
Folosind faptul că este timpul natural al particulei, acțiunea minimizată între două puncte în spațiu-timp arată că, la fel ca în relativitatea specială, este timpul natural de a merge de la punctul A la punctul B care este maximizat (local) de principiul . Geodezicele sunt căile care (local) maximizează timpul particulei .
ds=geujdXeudXj{\ displaystyle \ ds = {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}
S=-mvs.∫LABds{\ displaystyle \ S = -mc \ int _ {A} ^ {B} ds}![{\ displaystyle \ S = -mc \ int _ {A} ^ {B} ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8394718280722f97507648831023bdb1598a35d6)
Pentru a păstra coerența fizică, trebuie să presupunem că sunt continue; pentru a putea lucra cu instrumente cunoscute, adică derivări, dar și pentru a presupune că câmpul gravitațional este continuu, trebuie să presupunem că acestea pot fi diferențiate. Ulterior, pentru ecuațiile lui Einstein, va fi esențial să presupunem că acestea sunt C 2 .
geuj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
Luând în considerare orice moment :
t0{\ displaystyle \ t_ {0}}![{\ displaystyle \ t_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fdad18377dd2cf65ddf58d31ac5cb20bca7e79)
dSdt0=L0=-mvs.geujVeuVj{\ displaystyle {\ frac {dS} {dt_ {0}}} = L_ {0} = - mc {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}
Se folosește întotdeauna ecuațiile lui Euler-Lagrange după ce s-a împărțit la coeficientul inutil.
d dt0∂L0∂Vk - ∂L0∂Xk = 0 {\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} {\ frac {\ partial L_ {0}} {\ partial V_ {k}}} \ - \ {\ frac {\ partial L_ { 0}} {\ partial x_ {k}}} \ = \ 0 ~~}
-mvs.{\ displaystyle \ -mc}![{\ displaystyle \ -mc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9e1ca791f0437dbb6ae823111daa880ddfad23)
Detalii demonstrație
Noi obținem : d dt0(2.geukVeu2.geujVeuVj)- ∂kgeuj.VeuVj2.geujVeuVj = 0 {\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ left ({\ frac {2.g ^ {ik} V_ {i}} {2. {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}} \ right) - \ {\ frac {\ partial ^ {k} g ^ {ij} .V_ {i} V_ {j}} {2. {\ Sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}} \ = \ 0 ~~}
Luând timpul potrivit acum , putem folosi egalitatea care simplifică derivarea ,
t0={\ displaystyle t_ {0} =}
geujVeuVj=vs.{\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}} = c}
d dt0{\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}}}![{\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929f908502f0e71205a89def2865f4f63b89cdc3)
fără a schimba rezultatul dacă mergem înainte și obținem
d dt0(geukVeugeujVeuVj)=1vs..(∂nugeuk.VnuVeu+geukVeu˙){\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ left ({\ frac {g ^ {ik} V_ {i}} {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}} \ right) = {\ frac {1} {c}}. (\ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} + g ^ {ik} {\ punct {V_ {i}}})}}
Remarcând acest lucru , pe care îl vom folosi în principal din motive estetice și schimbând indicii pentru a utiliza numai i, j și k,
∂nugeuk.VnuVeu=12.(∂nugeuk.VnuVeu+∂eugnuk.VnuVeu){\ displaystyle \ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} = {\ frac {1} {2}}. (\ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ { n} V_ {i} + \ partial ^ {i} g ^ {nk} .V_ {n} V_ {i})}![{\ displaystyle \ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} = {\ frac {1} {2}}. (\ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ { n} V_ {i} + \ partial ^ {i} g ^ {nk} .V_ {n} V_ {i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2932b5d53854435e255e70d5957dedd3a38ffc)
Ecuațiile Euler-Lagrange dau: geukVeu˙+12.(-∂kgeuj+∂eugjk+∂jgeuk)VeuVj=0{\ displaystyle g ^ {ik} {\ dot {V_ {i}}} + {\ frac {1} {2}}. (- \ partial ^ {k} g ^ {ij} + \ partial ^ {i} g ^ {jk} + \ partial ^ {j} g ^ {ik}) V_ {i} V_ {j} = 0}
Cu egalitatea
și simbolul lui Christoffel : gkmgkeu=δmeu{\ displaystyle \ g_ {km} g ^ {ki} = \ delta _ {m} ^ {i}}
Γmeuj=12.gkm(-∂kgeuj+∂eugjk+∂jgeuk){\ displaystyle \ Gamma _ {m} ^ {ij} = {\ frac {1} {2}}. g_ {km} (- \ partial ^ {k} g ^ {ij} + \ partial ^ {i} g ^ {jk} + \ partial ^ {j} g ^ {ik})}
Obținem ecuația:
V˙m+ΓmeujVeuVj=0{\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}
că putem scrie și:
d2Xkds2+ΓkeujdXeudsXjds=0{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x_ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} {\ frac {dx_ {i}} {ds}} { \ frac {x_ {j}} {ds}} = 0}
sau:
DVkds=0{\ displaystyle {\ frac {DV_ {k}} {ds}} = 0}
cu „derivatul covariant”: și , unde pentru timpul potrivit.
DVk=dVk+ΓkeujVeudVj{\ displaystyle DV_ {k} = dV_ {k} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dV_ {j}}
DVk=dVk+ΓeujkVeudVj{\ displaystyle DV ^ {k} = dV ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dV ^ {j}}
Vk=dXkdt0{\ displaystyle \ V_ {k} = {\ frac {dx_ {k}} {dt_ {0}}}}
t0={\ displaystyle \ t_ {0} =}![{\ displaystyle \ t_ {0} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d18c9e9696f00442d22f9fa43fd7829246846f)
Simbolul lui Christoffel iese în evidență ca manifestare a gravitației în ecuațiile mișcării.
Γkeuj{\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij}}![{\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb5208d336eda0ce39cb64ee789cd3ff952f1a5)
Ecuațiile mișcării nu depind de masa particulei (așa numită pentru că i-am neglijat întinderea spațială și influența asupra mediului ei): toate particulele urmează aceleași traiectorii (în condiții inițiale identice), este ecuația geodezice în relativitatea generală, doar în prezența gravitației.
Cu toate acestea, aceste ecuații de mișcare nu sunt valabile pentru o particulă de masă zero, deoarece, în acest caz, avem de la început , care interzice toate calculele efectuate mai sus; avem, de asemenea, pentru că nu trece timpul adecvat pentru o particulă de masă zero (vezi Relativitatea restricționată ), termenul nu poate avea în nici un caz semnificație. Trebuie să considerăm unda asociată cu particula ca având o ecuație cu un sens, în plus, lumina a fost înțeleasă mai degrabă ca o undă (electromagnetică) decât ca o particulă ( fotonul , de masă zero) atunci când a fost scrisă relativitatea generală.
dS=0 {\ displaystyle ~ dS = 0 ~~}
ds=vs..dt0=0 {\ displaystyle ~ ds = c.dt_ {0} = 0 ~~}
V˙m{\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m}}![{\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d9851f8e745aaae350f44cba57a418d68b5543)
Similar cu relativitatea specială, definiția acțiunii relativiste infinitesimale a unei particule punctuale de sarcină într-un câmp electromagnetic este .
e{\ displaystyle \ e}
L.dt= -mvs..geujdXeu.dXj-e.LAj.dXj{\ displaystyle \ L.dt = \ -mc. {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} - eA ^ {j} .dx_ {j}}![{\ displaystyle \ L.dt = \ -mc. {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} - eA ^ {j} .dx_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e3fe611b99618c4a5a93d7dc749d387207eb98)
Prin calcule perfect similare, derivăm ecuațiile mișcării:
m.(V˙k+ΓeujkVeuVj)=e.Vj.Fkj{\ displaystyle m. ({\ dot {V}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} V ^ {j}) = e.V_ {j} .F ^ { KJ}}
că putem scrie:
mvs..(d2Xkds2+ΓeujkdXeudsdXjds)=e.FkjdXjds{\ displaystyle mc. \ left ({\ frac {d ^ {2} x ^ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ frac {dx ^ {i }} {ds}} {\ frac {dx ^ {j}} {ds}} \ right) = eF ^ {kj} {\ frac {dx_ {j}} {ds}}}
sau:
mvs..DVkds=e.FkjVj{\ displaystyle mc. {\ frac {DV ^ {k}} {ds}} = eF ^ {kj} V_ {j}}
Pentru a determina densitatea sa Lagrangiană, apoi ecuațiile, este necesar să dezvoltăm puțin unele dintre considerațiile discutate mai sus și chiar unele noi.
Densitatea lagrangiană în spațiul curbat
Datorită invarianței traiectoriei câmpului față de cadrele de referință din care este observat, acțiunea care îl caracterizează trebuie să fie invariantă prin schimbarea cadrului de referință.
Sg=∫LdΩ{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega}![{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f38236295a85d99ab9530494d06a4ee2cf038b)
Detalii care justifică densitatea lagrangiană
Lăsați acțiunea să fie în două cadre diferite de referință.
Sg=∫LdΩ=∫L′dΩ′{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '}![{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75f8e25ec75a63b7e1fbfd277dccd5ffbdfc831)
Avem: și dΩ=dX0.dX1.dX2.dX3{\ displaystyle \ d \ Omega = dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}
dΩ′=dX0′.dX1′.dX2′.dX3′=J.dX0.dX1.dX2.dX3{\ displaystyle \ d \ Omega '= dx' _ {0} .dx '_ {1} .dx' _ {2} .dx '_ {3} = J.dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}
unde este Jacobianul schimbării variabilelor.
J{\ displaystyle \ J}![{\ displaystyle \ J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b76908898a1720a1694bff403ed3a1fd84d180)
Avem : J=|det(∂Xeu′∂Xj)| {\ displaystyle J = \ left | \ det \ left ({\ frac {\ partial x '_ {i}} {\ partial x_ {j}}} \ right) \ right | ~}
Sau:, luând determinanții .
ds2=geujdXeudXj=g′kldXk′dXl′→ gkl=∂Xeu′∂Xk.∂Xj′∂Xlg′euj→g=J2.g′{\ displaystyle ds ^ {2} = g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j} = g '^ {kl} dx' _ {k} dx '_ {l} \ to \ g ^ {kl} = {\ frac {\ partial x '_ {i}} {\ partial x_ {k}}}. {\ frac {\ partial x' _ {j}} {\ partial x_ {l}}} g '^ {ij } \ to g = J ^ {2} .g '}![{\ displaystyle ds ^ {2} = g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j} = g '^ {kl} dx' _ {k} dx '_ {l} \ to \ g ^ {kl} = {\ frac {\ partial x '_ {i}} {\ partial x_ {k}}}. {\ frac {\ partial x' _ {j}} {\ partial x_ {l}}} g '^ {ij } \ to g = J ^ {2} .g '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173fe5452c7005e86416b5850027894d93d48497)
Prin urmare: J=|g|12|g′|12{\ displaystyle J = {\ frac {| g | ^ {\ frac {1} {2}}} {| g '| ^ {\ frac {1} {2}}}}}
Astfel este o constantă a câmpului în ceea ce privește modificările cadrelor de referință.
Sg=∫LdΩ=∫L′dΩ′=∫L′.JdΩ→L=L′.J→L.|g|-12=L′.|g′|-12=Λ{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '= \ int L'.Jd \ Omega \ to L = L'.J \ to L. | g | ^ {- { \ frac {1} {2}}} = L '. | g' | ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ Lambda}![{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '= \ int L'.Jd \ Omega \ to L = L'.J \ to L. | g | ^ {- { \ frac {1} {2}}} = L '. | g' | ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ Lambda}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b9c9579698066f78805edabced722c51de8233)
Prin urmare, obiectivul este de a găsi scalarele câmpului, invariante în ceea ce privește modificările cadrelor de referință.
Notând scalarul câmpului, invariant în comparație cu modificările cadrelor de referință, densitatea lagrangiană va fi: Λ{\ displaystyle \ \ Lambda}
L=Λ.|g|12{\ displaystyle \ L = \ Lambda. | g | ^ {\ frac {1} {2}}}
În maniera lui Élie Cartan
În termeni matematici, spațiul cu patru dimensiuni definit de considerentele de mai sus este o varietate C 2 în care cele patru viteze sunt vectori aparținând spațiului vectorial tangent la punctul în care am derivat, acest spațiu vectorial fiind prevăzut cu metrica .
geuj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
Reamintim că coordonatele sunt coordonatele punctelor colectorului, prevăzute cu orice sistem de coordonate, reprezentând alegerea arbitrară a cadrului fizic de referință al observatorului.
(X0;X1;X2;X3){\ displaystyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}![{\ displaystyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd3615003dbb3481a738f9c960e69c0bda2a737)
Măsurarea gravitației, care influențează geodezica, se poate face prin diferența de orientare între doi vectori care rezultă din transportul unui singur vector original prin două căi geodezice diferite către același punct final.
- Ecuația geodeziei este echivalentă cu .V˙m+ΓmeujVeuVj=0{\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}
dVkdt0=-ΓkeujVeuVj{\ displaystyle {\ frac {dV_ {k}} {dt_ {0}}} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}![{\ displaystyle {\ frac {dV_ {k}} {dt_ {0}}} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2443f4be02a9284a27dec626900ac52e2909060)
Pentru că am dedus ; știind că avem așa cum o vedem din definiția sa, am putea la fel de bine să scriem .
Vj=dXjdt0{\ displaystyle V_ {j} = {\ frac {dx_ {j}} {dt_ {0}}}}
dVk=-ΓkeujVeudXj{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dx_ {j}}
Γkeuj=Γkjeu{\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} = \ Gamma _ {k} ^ {ji}}
dVk=-ΓkeujdXeuVj{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {i} V_ {j}}![{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {i} V_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7413c60c61746fc6d10c828007a9a134830a2cf)
În mod similar, obținem
dVk=-ΓeujkVeudXj{\ displaystyle dV ^ {k} = - \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dx ^ {j}}
- Se spune că un vector este transportat paralel de -a lungul unei geodezice dacă variațiile coordonatelor sale verifică când este deplasat de -a lungul geodeziei.(LAeu){\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}
dLAk=-ΓkeujLAeudXj{\ displaystyle dA_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ {j}}
(dXj)j=0;1;2;3{\ displaystyle \ (dx_ {j}) _ {j = 0; 1; 2; 3}}![{\ displaystyle \ (dx_ {j}) _ {j = 0; 1; 2; 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2330fedad18593c6fc4cffb6ba94433cd0e3796f)
Detalii despre metoda lui Elie Cartan
- Din orice punct M al varietății, luați în considerare două variații infinitesimale și de -a lungul oricăror două geodezii și luați în considerare cele două căi distincte care utilizează alternativ una, apoi cealaltă dintre aceste geodezii. d{\ displaystyle \ d}
δ{\ displaystyle \ \ delta}![{\ displaystyle \ \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb0f590831365ae4855082dfe93f9458947c988)
1 st cale:
M(Xeu)→M1(Xeu+dXeu)→M2(Xeu+dXeu+δ(Xeu+dXeu)){\ displaystyle M (x_ {i}) \ to M_ {1} (x_ {i} + dx_ {i}) \ to M_ {2} (x_ {i} + dx_ {i} + \ delta (x_ {i } + dx_ {i}))}}![{\ displaystyle M (x_ {i}) \ to M_ {1} (x_ {i} + dx_ {i}) \ to M_ {2} (x_ {i} + dx_ {i} + \ delta (x_ {i } + dx_ {i}))}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e50a28142af3592d56dca661b211c326dfc724d)
2 e cale:
M(Xeu)→M1′(Xeu+δXeu)→M2′(Xeu+δXeu+d(Xeu+δXeu)){\ displaystyle M (x_ {i}) \ to M '_ {1} (x_ {i} + \ delta x_ {i}) \ to M' _ {2} (x_ {i} + \ delta x_ {i } + d (x_ {i} + \ delta x_ {i}))}![{\ displaystyle M (x_ {i}) \ to M '_ {1} (x_ {i} + \ delta x_ {i}) \ to M' _ {2} (x_ {i} + \ delta x_ {i } + d (x_ {i} + \ delta x_ {i}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc97b414d15b0f567d9508a3060ae980ff9f348c)
Pentru ca aceste două căi să se termine în același punct, presupunem că , ceea ce este realizabil deoarece geodezicele utilizate din puncte și sunt arbitrare.
dδXeu=δdXeu{\ displaystyle \ d \ delta x_ {i} = \ delta dx_ {i}}
M1{\ displaystyle \ M_ {1}}
M1′{\ displaystyle \ M '_ {1}}![{\ displaystyle \ M '_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9e6ab8cd633afe3245eab789c21a2a897e19fa)
- Să studiem variațiile coordonatelor unui vector transportat în paralel de-a lungul fiecărei căi:(LAeu){\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}
![{\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef7dccc1d79c206bf74bad7f2a25f36953a0852)
1 st cale:
LAeu→LAeu+dVeu→LAeu+dLAeu+δ(LAeu+dLAeu)=LAeu+dLAeu+δLAeu+δdLAeu=Weu{\ displaystyle \ A_ {i} \ to A_ {i} + dV_ {i} \ to A_ {i} + dA_ {i} + \ delta (A_ {i} + dA_ {i}) = A_ {i} + dA_ {i} + \ delta A_ {i} + \ delta dA_ {i} = W_ {i}}![{\ displaystyle \ A_ {i} \ to A_ {i} + dV_ {i} \ to A_ {i} + dA_ {i} + \ delta (A_ {i} + dA_ {i}) = A_ {i} + dA_ {i} + \ delta A_ {i} + \ delta dA_ {i} = W_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8249a42177e6681cfa34f8c45f5b3d1e8f46f08e)
2 e cale:
LAeu→LAeu+δLAeu→LAeu+δLAeu+d(LAeu+δLAeu)=LAeu+δLAeu+dLAeu+dδLAeu=Weu′{\ displaystyle \ A_ {i} \ to A_ {i} + \ delta A_ {i} \ to A_ {i} + \ delta A_ {i} + d (A_ {i} + \ delta A_ {i}) = A_ {i} + \ delta A_ {i} + dA_ {i} + d \ delta A_ {i} = W '_ {i}}![{\ displaystyle \ A_ {i} \ to A_ {i} + \ delta A_ {i} \ to A_ {i} + \ delta A_ {i} + d (A_ {i} + \ delta A_ {i}) = A_ {i} + \ delta A_ {i} + dA_ {i} + d \ delta A_ {i} = W '_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28e7358dd9a8741343f03c3402582b4cf561936)
Avem :
Weu-Weu′=δdLAeu-dδLAeu=δ(-ΓkeujLAeudXj)-d(-ΓkeujLAeuδXj){\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = \ delta dA_ {i} -d \ delta A_ {i} = \ delta (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ { j}) - d (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} \ delta x_ {j})}![{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = \ delta dA_ {i} -d \ delta A_ {i} = \ delta (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ { j}) - d (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} \ delta x_ {j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ec4f266c890713c7ea61d92b4c8757235945dc)
După câteva calcule, obținem:
Weu-Weu′=(∂jΓeulk-∂lΓeujk+ΓplkΓeujp-ΓpjkΓeulp)dXjδXkLAl{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = (\ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ {p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}) dx_ {j} \ delta x_ { k} A_ {l}}
- Definim tensorul Riemann prin:Reujkl=∂jΓeulk-∂lΓeujk+ΓplkΓeujp-ΓpjkΓeulp{\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}
Egalitatea indică faptul că acest tensor măsoară diferența dintre doi vectori care rezultă din același vector original prin transport paralel pe două căi diferite.
Weu-Weu′=ReujkldXjδXkLAl{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = R_ {i} ^ {jkl} dx_ {j} \ delta x_ {k} A_ {l}}
(LAeu){\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}
Reujkl=∂jΓeulk-∂lΓeujk+ΓplkΓeujp-ΓpjkΓeulp{\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}
- Ricci tensorul este o contracție a tensorului Riemann:Reuj=Rkeukj{\ displaystyle R ^ {ij} = R_ {k} ^ {ikj}}
Formula sa arată că este un tensor simetric:
Reuj=Rjeu{\ displaystyle \ R ^ {ij} = R ^ {ji}}
- Riemannian curbura este numărul obținut prin contracția tensorului Ricci: R=geujReuj{\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}
- Toate egalitățile utilizate în „ detaliile metodei lui Élie Cartan ” fiind independente de cadrul de referință ales, și acesta este și cazul definițiilor tensorilor Riemann și Ricci (de aceea ne permitem să le numim tensor ). Acesta este și cazul curburii, care este, prin urmare, un candidat pentru a fi scalarul invariant al câmpului gravitațional. R{\ displaystyle \ R}
Λ{\ displaystyle \ \ Lambda}![\ \ Lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32e417c91957174c71af812f812a05d3ac3c2e0)
-
Élie Cartan a demonstrat că scalarii invarianți prin schimbarea cadrului de referință sunt de formă . αR+β {\ displaystyle \ \ alpha R + \ beta ~}
![{\ displaystyle \ \ alpha R + \ beta ~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b787d5877ecbea62c9d87ac5f9fc17b03d7714b)
α{\ displaystyle ~ \ \ alpha}![{\ displaystyle ~ \ \ alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e089c03621b8df53f237e5b5f694ce462affc2b7)
indică pur și simplu că o schimbare de unitate este întotdeauna posibilă, permite introducerea
constantei cosmologice .
β{\ displaystyle \ \ beta}![{\ displaystyle \ \ beta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76b9bdff3e27343f8157af06a1008c9688a3f46)
Instrumente analitice
O aplicație a principiului inerției în spațiul curbat
Astfel încât lucrarea noastră este într-adevăr o consecință a principiului celei mai mici acțiuni, metoda utilizată aici constă în determinarea proprietăților varietății din metrica spațiilor sale tangente.
- Spațiile vectoriale tangente (de dimensiunea 4) sunt prevăzute cu baza lor „naturală” { }: dacă este punctul în care considerăm spațiul tangent, punem ; ceea ce scriem deseori . e→ 0;e→ 1;e→ 2;e→ 3{\ displaystyle \ \ {{\ vec {e}} ^ {~ 0}; {\ vec {e}} ^ {~ 1}; {\ vec {e}} ^ {~ 2}; {\ vec {e }} ^ {~ 3}}}
M(X0;X1;X2;X3){\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}
e→ eu=( ∂Xj∂Xeu )j=0,1,2,3{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ left (~ {\ frac {\ partial x_ {j}} {\ partial x_ {i}}} ~ \ right) _ {j = 0, 1,2,3}}
e→ eu=∂ ∂Xeu{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ frac {\ partial ~} {\ partial x_ {i}}}}![{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ frac {\ partial ~} {\ partial x_ {i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a917a4edae2d08a49b1455f6d00bf437ac37c25)
Ecuațiile geodezice sunt proprietăți legate de coordonatele sau de cvadri-viteza de-a lungul acestei traiectorii, nu oferă o indicație pentru variația (derivarea) unui cvadri-vector de la un punct la altul al spațiului, sau chiar pentru derivarea a vectorului cvadri-viteză .
dXeudto{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {dt_ {o}}}}
dXeuds{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {ds}}}
e→ eu{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i}}
V→=Veue→ eu{\ displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}![{\ displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53150d56aef71bb7efa8252438040f93b4a0ee7c)
Pentru aceasta, putem folosi un principiu fizic rescris personalizat pentru relativitatea generală:
-
Principiul inerției : de-a lungul unei geodezii și, în absența intervenției externe, vectorul de viteză (cvadri-) al unei particule este constant.
Adică:
dV→=0→{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}![{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38cd774105322fc76ebc1ce7dc0dab5e6c4a592)
Primim:
dV→=0→=dVeu.e→ eu+Veu.de→ eu=-ΓeujkdXjVk.e→ eu+Veu.de→ eu{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}} = dV_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec {e} } ^ {~ i} = - \ Gamma _ {i} ^ {jk} dx_ {j} V_ {k}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec { e}} ^ {~ i}}![{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}} = dV_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec {e} } ^ {~ i} = - \ Gamma _ {i} ^ {jk} dx_ {j} V_ {k}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec { e}} ^ {~ i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323fc15bbdaefa77f788e950bd10c68f5d08770c)
Viteza inițială cvadri-vector fiind arbitrară, se obține:
de→ eu=ΓkeujdXje→ k{\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {j} {\ vec {e}} ^ {~ k}}
Analizând ecuațiile geodeziei sau luând în considerare faptul că „axele” coordonatelor nu sunt neapărat geodezice, nu putem afirma că coordonatele vectorului cvadri-viteză sunt constante.
Despre alegere
dV→=0→{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}
- A deriva înseamnă „a determina linia care indică direcția mișcării”. Întreaga problemă este să știm ce este o linie dreaptă atunci când sistemul de coordonate este arbitrar, chiar și într-un spațiu curbat; odată ce liniile au fost determinate, derivarea poate fi definită.
- În cadrul care ne interesează, atunci când experimentatorul se află într-un spațiu Minkowski și a ales orice sistem de coordonate, care poate induce acolo gravitația, liniile derivării sunt cele ale spațiului Minkowski, care sunt și cele ale mișcării inerțiale. Dacă nu definiți o nouă derivare, egalitatea este esențială.dV→=0→{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}
![{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38cd774105322fc76ebc1ce7dc0dab5e6c4a592)
- Când experimentatorul se află într-un cadru de referință în care există gravitație și în absența informațiilor cu privire la cauzele acestei gravitații (datorită unei mase sau datorită unui cadru de referință accelerat sau ambelor) singurele linii drepte către care el are acces, ca fizician, sunt cele ale mișcării inerțiale: derivarea este deci definită de .dV→=0→{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}
![{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38cd774105322fc76ebc1ce7dc0dab5e6c4a592)
Dar această alegere se bazează pe presupunerea că, în cadrul său de referință, mișcarea inerțială urmează într-adevăr o linie dreaptă. Dacă experimentatorul alege axele cadrului său de referință drept linii drepte, el impune , prin urmare , mișcarea „inerțială” observată nu este dreaptă ( ) și poate fi interpretată ca urmare a unei forțe (de gravitație).
de→ eu=0→{\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ vec {0}}}
dV→≠0→{\ displaystyle d {\ vec {V}} \ neq {\ vec {0}}}![{\ displaystyle d {\ vec {V}} \ neq {\ vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2656b0303d13255eb755e7febc76e29faf36d590)
Aceste două opțiuni, la fel ca altele pe care ni le putem imagina, sunt valabile doar local: prima asimilează local gravitația unui cadru de referință accelerat într-un spațiu Minkowski, a doua ipotezează o forță într-un spațiu inițial corect; două alegeri care îndreaptă spațiul-timp în felul lor, care se pot face doar local.
Derivatul covariant
Fie un quadri-vector în spațiu tangent la punct .
LA→(X)=LAeue→ eu{\ displaystyle {\ vec {A}} (x) = A_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}
M(X0;X1;X2;X3){\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}![{\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69d4af04f8910bf1612b81c173f4480324d71fb)
Avem : dLA→(X)=(dLAeu)e→ eu+LAeud(e→ eu)=(∂jLAeu+LAkΓeujk)e→ eudXj=DjLAeu.e→ eudXj{\ displaystyle d {\ vec {A}} (x) = (dA_ {i}) {\ vec {e}} ^ {~ i} + A_ {i} d ({\ vec {e}}} ^ { ~ i}) = (\ partial ^ {j} A_ {i} + A_ {k} \ Gamma _ {i} ^ {jk}) {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j} = D ^ {j} A_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j}}
Prin definirea derivatului covariant ca:
DjLAeu=∂jLAeu+ΓeujkLAk{\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ partial ^ {j} A_ {i} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {k}}
Proprietate:
DjLAeul=∂jLAeul+ΓeujkLAkl+ΓljkLAeuk{\ displaystyle D ^ {j} A_ {il} = \ partial ^ {j} A_ {il} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {kl} + \ Gamma _ {l} ^ {jk} A_ {ik}}
DjLAeul=∂jLAeul+ΓeujkLAkl-ΓkjlLAeuk{\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} ^ {l} = \ partial ^ {j} A_ {i} ^ {l} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {k} ^ {l} - \ Gamma _ {k} ^ {jl} A_ {i} ^ {k}}
Și așa mai departe cu toți indicii unui tensor, în funcție de pozițiile lor.
Unde găsim tensori Riemann etc.
Folosind derivatul covarianta, și după câteva calcule, vom găsi: .
(DeuDj-DjDeu)LAk=Rkl,eujdXeudXjLAl{\ displaystyle \ left (D ^ {i} D ^ {j} -D ^ {j} D ^ {i} \ right) A_ {k} = R_ {k} ^ {l, ij} dx_ {i} dx_ {j} A_ {l}}![{\ displaystyle \ left (D ^ {i} D ^ {j} -D ^ {j} D ^ {i} \ right) A_ {k} = R_ {k} ^ {l, ij} dx_ {i} dx_ {j} A_ {l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7464d32d28cd6c2cd7bb52bcea3537778de993b)
Obținem astfel conceptele deja introduse „în maniera lui Elie Cartan”.
Egalități și proprietăți utile
- Teorema lui Ricci: și Dkgeuj=0 {\ displaystyle \ D_ {k} g ^ {ij} = 0 ~ \ quad ~}
Dkgeuj=0 {\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}
- Poziționând , avem: g=det(geuj){\ displaystyle \ g = \ det (g ^ {ij}) \ qquad}
|g|=-ggeuj.geuj=δeueu=4 dg=g geuj dgeuj{\ displaystyle | g | = -g \ qquad g ^ {ij} .g_ {ij} = \ delta _ {i} ^ {i} = 4 \ qquad \ dg = g ~ g_ {ij} ~ dg ^ {ij }}
- Teorema lui Ostrogradski:, când este un tensor.∫V-g DeuLAeu dΩ=∮∂V-gLAeu dSeu{\ displaystyle \ int _ {V} {\ sqrt {-g}} ~ D_ {i} A ^ {i} ~ d \ Omega = \ anint _ {\ partial V} {\ sqrt {-g}} A ^ {i} ~ dS_ {i}}
LAeu{\ displaystyle \ A ^ {i}}![{\ displaystyle \ A ^ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855901b47d5a281a58bd5dc46b646c3e1cf978da)
Proiecte de demonstrații ale egalității
- Suma, diferența și suma Einstein a tensorilor definiți în același spațiu tangent dau un tensor; pe de altă parte, dacă este vorba despre tensori definiți în diferite spații tangente, nu este sigur că acest lucru dă un tensor.
De exemplu: simbolul
Christoffel este definit din tensorul metric. Ecuația geodezică ne arată că poate fi definită folosind care, deși tensor, este construit printr-o diferență între doi tensori (quadri-vectori și ) definiți în două spații tangente diferite: simbolul Christoffel, el, nu este un tensor (cu excepția cazuri particulare), așa cum se poate arăta folosind formula sa de definiție.
Γeujk.Vk=∂jVeu{\ displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} .V_ {k} = \ partial ^ {j} V_ {i}}
∂jVeu{\ displaystyle \ \ partial ^ {j} V_ {i}}
Vl(Xm){\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m})}
Vl(Xm+dXm){\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m} + dx_ {m})}![{\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m} + dx_ {m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9164d048084e9812f1e8d066a165abb45a9396d)
- O egalitate tensorială demonstrată în orice moment, dar folosind un anumit cadru de referință, este o adevărată egalitate în acest moment și pentru toate cadrele de referință: acesta este principalul interes al utilizării tensorilor.
De exemplu, în orice moment există un cadru de referință în greutate (în cădere liberă în câmpul gravitațional), adică pentru care . Într-un astfel de cadru de referință, avem și când este un tensor: care este mai simplu de utilizat pentru a justifica o egalitate tensorială care va fi adevărată indiferent de cadrul de referință.
Γeujk=0{\ displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} = 0}
Reuj,kl=∂jΓeulk-∂lΓeujk{\ displaystyle R_ {i} ^ {j, kl} = \ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk}}
DjLAeu=∂jLAeu{\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ partial ^ {j} A_ {i}}
LAeu{\ displaystyle \ A_ {i}}![{\ displaystyle \ A_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f402ff8059031f6c485312e35156419e5d15808)
Ecuațiile lui Einstein ale câmpului gravitațional în cazul exterior
Tensorii sunt folosiți pentru a se asigura că egalitățile sunt adevărate indiferent de punctul de observație al fizicianului și oricare ar fi cadrul său de referință. Tensorii transportă doar informații legate de punctul de observare și spațiul său tangent, brusc, informațiile care sunt folosite acolo și care sunt produse din acesta sunt doar locale: sunt informații despre tensori, în afară de datele universal valabile, cum ar fi constant c, G și altele care pot fi găsite acolo.
Primul caz al ecuațiilor câmpului este cazul în care nu există materie (local): se vorbește despre „caz extern”, implicat „cu materia”.
În acest caz, singura componentă a acțiunii este componenta câmpului gravitațional , unde este o constantă legată de alegerea unităților: pentru unitățile MKSA se ia , semnul se datorează principiului minimizării acțiunii .
Sg=K.∫-g.R.dΩ{\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}
K{\ displaystyle \ K}
K=-vs.34πG{\ displaystyle \ K = - {\ frac {c ^ {3}} {4 \ pi G}}}
-{\ displaystyle \ -}![{\ displaystyle \ -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6805530f305c6b7f4b9d4ab5cc72ed75f5cef8)
Pentru a găsi ecuațiile câmpului gravitațional sub formă de tensori de densitate a energiei care sunt simetrici, este mai simplu să transformați Lagrangianul sub integrala acțiunii decât să folosiți ecuațiile lui Euler-Lagrange. Principiul variațional se aplică prin modificarea termenilor metricei , care este manifestarea lagrangiană a gravitației, în conformitate cu principiul echivalenței aplicat mai sus.
geuj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
Dovada ecuațiilor lui Einstein în cazul exterior
Folosind egalitatea , avem
R=geujReuj{\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}![{\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec3ea78b2ae84f246c6981bfebd23ff9db760e2)
δSg=K.∫δ(-g.geuj.Reuj)dΩ{\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ delta \ left ({\ sqrt {-g}}. g_ {ij} .R ^ {ij} \ right) d \ Omega}
=K[∫δ(-g)geujReujdΩ+∫-g.δ(geuj).ReujdΩ+∫-g.geuj.δ(Reuj)dΩ]{\ displaystyle = K [\ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. \ delta (g_ {ij }). R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. G_ {ij}. \ Delta (R ^ {ij}) d \ Omega]}
Avem pentru căδ(-g)=-δg2-g=-12-gg.geuk.δgeuk=-12-g.geukδgeuk{\ displaystyle \ delta ({\ sqrt {-g}}) = {\ frac {- \ delta g} {2 {\ sqrt {-g}}}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} g.g_ {ik}. \ delta g ^ {ik} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}}. g ^ {ik} \ delta g_ {ik}}
geuk.geuk=4→δ(geuk).geuk=-geuk.δ(geuk){\ displaystyle g ^ {ik} .g_ {ik} = 4 \ to \ delta (g ^ {ik}). g_ {ik} = - g ^ {ik}. \ delta (g_ {ik})}
Pentru 1 st integral a fost ∫δ(-g)geujReujdΩ=∫δ(-g)RdΩ=-12∫geuj.R.-g.δgeujdΩ{\ displaystyle \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega = \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) Rd \ Omega = - { \ frac {1} {2}} \ int g ^ {ij} .R. {\ sqrt {-g}}. \ delta g_ {ij} d \ Omega}
2 nd cravata este lăsată neschimbată.
Pentru integrala a 3 -a , pentru a simplifica calculele, ne plasăm într-un cadru de referință fără greutate și, prin urmare, avem . (Dar, în general, pentru că simbolul Christoffel nu este un tensor).
Reuj=∂lΓleuj-∂euΓllj{\ displaystyle \ R ^ {ij} = \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ partial ^ {i} \ Gamma _ {l} ^ {lj}}
∂lΓleuj≠DlΓleuj{\ displaystyle \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ neq D ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij}}![{\ displaystyle \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ neq D ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1faff72f7e19400f908b31b88f7ad0a6391d06ac)
Prin urmare , presupunând că variația lui lasă cadrul de referință greutate în acest moment, ceea ce lasă încă o infinitate de variații posibile pentru ei .
δ(Reuj)=δ∂lΓleuj-δ∂euΓllj=∂lδΓleuj-∂euδΓllj{\ displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ delta \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ delta \ partial ^ {i} \ Gamma _ {l} ^ {lj} = \ partial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ partial ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}
geuj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}
geuj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
În orice depozit, unde simbolul este simbolul lui Christoffel în același punct ca și cu termenii modificați
δΓleuj=Γleuj-(Γleuj)′{\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '}
(Γleuj)′{\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '}
Γleuj{\ displaystyle \ \ Gamma _ {l} ^ {ij}}
geuj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
avem ceea ce este o diferență între doi tensori definiți în același punct, prin urmare este un tensor (spre deosebire de simbolul Christoffel).
Γkeuj.Vj=∂jVeu→δΓkeuj.Vj=Γleuj.Vj-(Γleuj)′.Vj=∂jVeu-(∂jVeu)′{\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ partial ^ {j} V_ {i} \ to \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} .V_ {j} - \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '. V_ {j} = \ partial ^ {j} V_ {i} - \ stânga (\ partial ^ {j} V_ {i} \ dreapta) '}
δΓkeuj{\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}![{\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c304a797e836f3228259ec1e34283bc55218d2)
Și pentru acest tensor, în cadrul de referință în greutate (și lăsat ca atare, la punctul considerat, prin variația lui ), deci geuj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}
∂lδΓkeuj=DlδΓkeuj{\ displaystyle \ partial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}
δ(Reuj)=∂lδΓleuj-∂euδΓllj=DlδΓleuj-DeuδΓllj{\ displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ partial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ partial ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}
-g.geuj.δReuj=-g.[geuj.DlδΓleuj-geuj.DeuδΓllj]=-g.[Dl(geuj.δΓleuj)-Deu(geuj.δΓllj)]{\ displaystyle {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. [g_ {ij} .D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {ij} .D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}] = {\ sqrt {-g}}. [D ^ {l} \ left ( g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) -D ^ {i} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} \ right)] }
pentru că și de asemenea Dkgeuj=0 {\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}
Dkgeuj=0 {\ displaystyle ~ \ quad D ^ {k} g_ {ij} = 0 ~}
de unde .
-g.geuj.δReuj=-g.Dl(geuj.δΓleuj-glj.δΓeueuj)=-g.DlLAl{\ displaystyle ~ \ quad {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {lj}. \ delta \ Gamma _ {i} ^ {ij} \ right) = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ { l}}![{\ displaystyle ~ \ quad {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {lj}. \ delta \ Gamma _ {i} ^ {ij} \ right) = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ { l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1bee35bc91499e0d23c9cf3715fa4872f1bffa)
Prin urmare, folosind teorema lui Ostrogradski, ∫-g.geuj.δReujdΩ=∫-g.DlLAldΩ=∫-g.LAl.dSl=0{\ displaystyle \ int {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ {l} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. A_ {l} .dS ^ {l} = 0}
Nulitatea ultimei integrale se datorează faptului că este calculată pe suprafața care delimitează volumul de integrare și faptului că variațiile de la zero sunt la marginea integrării.
geuj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
Noi obținem : δSg=K.∫(Reuj-12geujR)-g.δgeujdΩ{\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ left (R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R \ right) {\ sqrt {-g}} . \ delta g_ {ij} d \ Omega}
Principiul celei mai mici acțiuni care spune asta și variațiile fiind oricare, obține ceea ce se scrie (și demonstrează) adesea prin scăderea indicilor.
δSg=0{\ displaystyle \ \ delta S_ {g} = 0}
δgeuj{\ displaystyle \ \ delta g_ {ij}}
Reuj-12geujR=0{\ displaystyle \ R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R = 0}![{\ displaystyle \ R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7da86cf0a208b43e1ad8dfd966345625792396)
Ecuațiile deduse sunt:
Reuj-12geujR=0{\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = 0}
Realizând „contracția” , obținem , ceea ce nu înseamnă că spațiul este plat, ci mai degrabă că este vorba despre o suprafață minimă cu patru dimensiuni, întinsă între diferitele mase care evoluează acolo.
geujReuj-12geuj.geujR=0{\ displaystyle \ g ^ {ij} R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} .g_ {ij} R = 0}
R=0{\ displaystyle \ R = 0}![{\ displaystyle \ R = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1533bc03779acaf1df6980dface0667a62f83408)
Prin urmare, ecuațiile lui Einstein în cazul extern sunt:
Reuj=0{\ displaystyle \ R_ {ij} = 0}
Ecuațiile lui Einstein ale câmpului gravitațional în cazul interior
Al doilea caz al ecuațiilor de câmp este cazul în care există materie (local): vorbim de „caz intern”, adică „în materie”.
În acest caz, acțiunea este compusă din acțiunea câmpului gravitațional și acțiunea materiei, inclusiv câmpul electromagnetic, care este scris .
Sg=K.∫-g.R.dΩ{\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}
Sm=1vs.∫-g.ΛmdΩ{\ displaystyle \ S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ sqrt {-g}}. \ Lambda _ {m} d \ Omega}![{\ displaystyle \ S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ sqrt {-g}}. \ Lambda _ {m} d \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed121240cab5c07ca2b8c08af5970ced951e0030)
Dovada ecuațiilor lui Einstein în cazul interior
Folosind aceeași metodă variațională, știind că , folosind integrarea pe părți, și teorema lui Ostrogradski care permite scrierea într-un cadru de referință în gravitație zero δ∂=∂δ{\ displaystyle \ \ delta \ partial = \ partial \ delta}
∫∂l[∂(-gΛm)∂(∂lgeuk)]dΩ=∫∂l[-g∂(Λm)∂(∂lgeuk)]dΩ=∫-g∂(Λm)∂(∂lgeuk)dSl=0{\ displaystyle \ int \ partial _ {l} [{\ frac {\ partial \ left ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ right)} {\ partial \ left (\ partial _ {l } g_ {ik} \ right)}}] d \ Omega = \ int \ partial _ {l} [{\ sqrt {-g}} {\ frac {\ partial \ left (\ Lambda _ {m} \ right) } {\ partial \ left (\ partial _ {l} g_ {ik} \ right)}}] d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}} {\ frac {\ partial \ left (\ Lambda _ { m} \ right)} {\ partial \ left (\ partial _ {l} g_ {ik} \ right)}} dS_ {l} = 0}
Prin definirea tensorului impuls-energie prin egalitate Teuj{\ displaystyle \ T ^ {ij}}
12Teuj-g=∂(-gΛm)∂geuk-∂l[∂(-gΛm)∂(∂lgeuk)]{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} = {\ frac {\ partial \ left ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ right)} {\ partial g_ {ik}}} - \ partial _ {l} [{\ frac {\ partial \ left ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ right)} {\ partial \ left (\ partial _ {l} g_ {ik} \ right)}}]}
Noi obținem : δSm=1vs.∫12Teuj-gδgeujdΩ{\ displaystyle \ delta S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} \ delta g_ {ij } d \ Omega}
Prin urmare, prin poziție , și concluzionăm în același mod ca și în cazul extern .
χ=-12vs..K{\ displaystyle \ chi = - {\ frac {1} {2c.K}}}![{\ displaystyle \ chi = - {\ frac {1} {2c.K}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1627185b308339c91445ae691614f68b81d26b)
Ecuațiile deduse sunt:
Reuj-12geujR=χTeuj{\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = \ chi T_ {ij}}
Cu contracția similară cu cazul extern , știind asta și prin pozare , avem . Prin urmare, curbura principală este proporțională cu densitatea totală a energiei (sau urma tensorului ).
geujgeuj=4{\ displaystyle \ g_ {ij} g ^ {ij} = 4}
T=geujTeuj{\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}
R=-χT{\ displaystyle \ R = - \ chi T}
T=geujTeuj{\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}
Teuj{\ displaystyle \ T_ {ij}}![{\ displaystyle \ T_ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ab023d2bde740ca2c127dbf6312e637fd2bab1)
Prin urmare, putem scrie și:
Reuj=χ(Teuj-12geujT){\ displaystyle \ R_ {ij} = \ chi \ left (T_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} T \ right)}
Note
-
Jean-Claude Boudenot datează din 1916, pagina 162 din cartea sa Électromagnétisme et gravitation relativistes , ellipse (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 ) ; în Lev Landau și Evgueni Lifchits , Fizică teoretică , t. 2: Teoria câmpului [ detaliile edițiilor ], §93 nota de subsol la începutul paragrafului, se spune că această metodă a fost sugerată de Hilbert încă din 1915, ceea ce confirmă Jean-Paul Auffray p. 247 (paragraful Hilbert merge la pescuit ) din cartea sa Einstein et Poincaré , ediția Le Pommier , 1999, ( ISBN 2 746 50015 9 ) .
-
Elie Cartan, Journal of Pure and Applied Mathematics, 1, 1922, p. 141-203 .
Surse
- Jean-Claude Boudenot; Electromagnetism și gravitație relativistă , Elipsă (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 )
- Jean-Louis Basdevant; Principii variaționale și dinamice, Vuibert (2005), ( ISBN 2711771725 ) .
- Edgard Elbaz; Relativitate generală și gravitație , elipsă (1986).
Bibliografie
- Lev Landau și Evgueni Lifchits , Fizică teoretică , t. 2: Teoria câmpului [ detaliile edițiilor ]
-
Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (în) și Matthew Sands (în) , Feynman Lectures on Physics [ publicare detalii ] , Electromagnetismul (I) , cap. 19, InterEditions, 1979 ( ISBN 2-7296-0028-0 ) ; stuf. Dunod, 2000 ( ISBN 2-10-004861-9 )
- Florence Martin-Robine, Istoria principiului acțiunii mai mici , Vuibert, 2006 ( ISBN 2711771512 )
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">