Curbură

Intuitiv, curba este opusă dreptului : curbura unui obiect geometric este o măsură cantitativă a caracterului „mai mult sau mai puțin curbat” al acestui obiect. De exemplu :

în planul euclidian , o linie dreaptă este un obiect cu o dimensiune de curbură zero și un cerc un obiect de curbură constantă pozitivă, egal cu 1 / R (inversul razei);
în spațiul euclidian tridimensional obișnuit, un plan este un obiect bidimensional cu curbură zero, iar o sferă este un obiect bidimensional cu o curbură constantă pozitivă. Pe Dimpotrivă, un „ șa cal “ are un punct de curbură negativă.

Această noțiune intuitivă de curbură devine mai precisă și admite o generalizare a spațiilor de orice dimensiuni în cadrul geometriei riemanniene .

După cum a arătat Gauss pentru cazul suprafețelor ( teorema egregium ), este foarte remarcabil faptul că curbura unui obiect geometric poate fi descrisă într-un mod intrinsec , adică fără nicio referire la un „spațiu de încorporare” în care obiectul ar fi localizat. De exemplu, faptul că o sferă obișnuită este o suprafață de curbură pozitivă constantă este complet independent de faptul că de obicei vedem această sferă ca fiind scufundată în spațiul nostru euclidian tridimensional. Curbura acestei sfere ar putea fi foarte bine măsurată de ființe inteligente bidimensionale care trăiesc pe sferă (tipuri de „furnici bidimensionale”), din măsurători de lungimi și unghiuri efectuate pe sferă. Legenda spune că Gauss se întreba despre aceste întrebări atunci când se confrunta cu dificultățile de cartografiere a Pământului.

Curbura unui arc

Curbura unui arc plan într-un punct

Putem defini curbura unui arc al planului euclidian în mai multe moduri echivalente. Există totuși două convenții în utilizare, una făcând curbura o cantitate neapărat pozitivă, cealaltă oferind o versiune algebrică a curburii. Se calculează în fiecare punct al curbei, sub rezerva anumitor ipoteze privind derivatele funcțiilor utilizate pentru a o defini.

Cantitatea pozitivă de curbură poate fi văzută ca norma vectorului de accelerație pentru un corp în mișcare care traversează curba cu viteză constantă egală cu 1. Este, de asemenea, inversul razei cercului oscilant , cercul urmând să urmeze curba la fel de atent posibil în vecinătatea punctului de studiu. Acesta este motivul pentru care inversul curburii se numește rază de curbură. În acest sens, curbura indică tendința curbei de a se comporta ca un cerc cu o rază mai mult sau mai puțin mare, adică să formeze o viraj mai puțin sau mai strâns.

Pentru a introduce versiuni algebrate ale curburii, este necesar să se asigure planul și curba cu o orientare și să se introducă o referință mobilă (in) adaptată mișcării: referința Frenet . Semnul curburii este apoi interpretat ca indicarea direcției în care este rotită concavitatea curbei. Curbura desemnează, de asemenea, rata (pe unitate de abscisă curbiliniară) la care vectorii cadrului de referință Frenet se rotesc în raport cu o direcție fixă. În punctele de inflexiune , curbura schimbă semnul.

Curbura unui arc stâng

Curbura poate fi apoi generalizată la curbe din stânga (curbe desenate în spațiu tridimensional). Există din nou un cerc oscilant care este o foarte bună aproximare locală a curbei. Acest cerc este inclus în planul oscilant și are pentru rază inversul curburii. Dar aceleași motive care împiedică orientarea într-un mod compatibil cu toate planurile spațiului împiedică definirea unei curburi algebrice; prin urmare, este convențional întotdeauna pozitiv. Curbura este însoțită de un alt invariant, torsiunea care indică tendința arcului de a se îndepărta de planul osculant.

Măsuri globale

Curbura se măsoară în fiecare punct. Sinuozitate unui arc, pe de altă parte, descrie plierea generală a arcului: este raportul dintre lungimea arcului și distanța dintre capetele sale. În termeni picturali, compară lungimea traiectoriei obținute prin urmărirea arcului cu distanța pe care o zboară cioara. De exemplu, este posibil să se măsoare sinuozitatea unei figuri formate din mai multe arcuri ale unui cerc conectat cu puncte de inflexiune , care corespunde alternanțelor curburilor negative și pozitive.

Curbura unei suprafețe de R 3

Pentru a avea introduse versiuni algebrate ale tuturor conceptelor de curbură, este recomandabil să luați în considerare o suprafață orientată. În fiecare punct al suprafeței, sunt definite noile curburi și direcții principale, noțiuni geometrice intuitive obținute din curbele trasate pe suprafață. Dar într-un mod mai profund, aceste obiecte pot fi obținute ca valori proprii și vectori proprii ai unui endomorfism al planului tangent, endomorfismul lui Weingarten , care permite definirea altor noțiuni de curbură: curbura medie și curbura Gaussiană.

Curburile principale într-un punct

Într-un punct M al suprafeței, considerăm un plan rotativ, perpendicular în M față de planul tangent la suprafață. Local, acest plan intersectează suprafața considerată într-o curbă. La fiecare curbe bine construite asociate curbură M .

Valorile minime și maxime ale curburii se numesc curburi principale . În general, ele sunt diferite și, în acest caz, planurile corespunzătoare celor două curburi principale sunt perpendiculare una pe cealaltă. Intersecția lor cu planul tangent definește direcțiile principale . În ilustrația opusă, curburile principale sunt de semn opus, deoarece una dintre curbe își întoarce concavitatea în direcția vectorului normal și cealaltă în direcția opusă.

Introducerea curburilor într-un punct din endomorfismul Weingarten

Gaussian Harta asociază vectorul normal de orientat cu fiecare punct al suprafeței. Într-un punct M al suprafeței, putem considera diferențialul acestei hărți, care constituie un endomorfism al planului tangent numit endomorfism Weingarten . Intuitiv, acest endomorphism prezintă fluctuații mici ale vectorului obișnuit în apropierea punctului M .

Este vorba despre un endomorfism simetric , din care curburile principale și direcțiile principale sunt valorile proprii și vectorii proprii. Direcțiile principale sunt, prin urmare, destul de ortogonale.

Curbura medie a curburilor principale se numește curbură medie , adică . $\ gamma \,$ ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ gamma _ {max} + \ gamma _ {min}} {2}}}$

Aceasta este jumătatea urmei endomorfismului lui Weingarten .

Se numește curbură gaussiană produsul curburilor principale, adică . $\ gamma \,$ ${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {max}. \ gamma _ {min}}$

Acesta este determinantul endomorfismului de la Weingarten. Cu toate acestea, Theorema egregium a lui Gauss arată o diferență de natură între curburile principale și curbura medie, pe de o parte, care depind de modul în care suprafața este scufundată în spațiul ambiental R 3 și curbura Gaussiană, pe de altă parte. rămâne invariant de orice izometrie locală (deformare respectând lungimile). Prin urmare, curbura gaussiană are un aspect „intrinsec” și acest concept se generalizează la dimensiuni superioare pentru a da naștere noțiunii de curbură a unei varietăți . Acesta este motivul pentru care uneori se numește pur și simplu curbură .

În plus, anumiți autori desemnează curbura lui Gauss prin curbură totală , denumire în conflict cu următoarea denumire.

Curbura totală a suprafeței

Curbura totală a unei suprafețe orientate S a spațiului este integrala curburii Gaussiene de la suprafață. Poate fi interpretat și ca zona (algebrică) măturată de vectorul normal al unității pe sfera unității. Valoarea sa este dată de formula Gauss-Bonnet : depinde doar de topologia suprafeței.

Curbura unui soi riemanian

În geometria Riemanniană , curbura este un tensor introdus din noțiunea de conexiune . Acest obiect a apărut ca fiind cel mai relevant, dar poate fi dificil de înțeles datorită formalismului necesar introducerii sale. Curbura secțională a unui soi Riemannian, la început mai simplă, transmite la fel de multe informații ca tensorul de curbură și face posibilă legătura cu curbura Gaussiană.

Curbură secțională

Definim o curbură secțională pentru fiecare dintre cele 2 planuri incluse în fiecare dintre spațiile tangente ale unei varietăți riemanniene . În cazul în care P este un astfel de plan de la un punct m , considerăm mai întâi familia geodezic de m ca vectori P . Această familie constituie o suprafață parametrizată inclusă în varietatea, imaginea planului 2 de către harta exponențială .

Curbura secțională a planului 2 este apoi curbura gaussiană a acestei suprafețe. În mod formal, colectarea tuturor curburilor secționale constituie o aplicație pe Grassmannian de 2-planuri, cu valori reale.

Definiția tensorului de curbură

Să fie o varietate afină M de dimensiune , adică o varietate dotată cu o conexiune afină . Din această conexiune, definim tensorul de curbură sau tensorul Riemann . Acest tensor este definit pentru câmpurile vectoriale X, Y și Z de pe colector prin: $nu$ $\ nabla$ ${\ mathcal {R}}$

{\ mathcal {R}} (X, Y) Z \ = \ \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z \ - \ \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z \ - \ \ nabla _ {{[XYZ

unde [X, Y] este cârligul Lie de X și Y. este un endomorphism câmp de fibră tangent spațiu TM : la orice câmp vectorial Z , se asociază un nou câmp vectorial notat R (X, Y) Z . ${\ mathcal {R}} (X, Y)$

Introducerea unei metrici

Înzestrăm varietatea afină M cu un tensor metric g : este apoi o varietate riemanniană și putem defini o curbură cu valori reale prin: $(M, g)$

{\ mathcal {R}} (X, Y, Z, W) \ = \ g ({\ mathcal {R}} (X, Y) Z, W)

În componentele dintr-o bază locală , este vectorul care este scris: ${\ vec {e}} _ {{\ mu}}$ ${\ mathcal {R}} (X, Y) Z$

{\ mathcal {R}} (X, Y) Z \ = \ R _ {{~~ \ nu \ rho \ sigma}} ^ {{\ mu}} \ X ^ {{\ nu}} \ Y ^ { {\ rho}} \ Z ^ {{\ sigma}} \ {\ vec {e}} _ {{\ mu}}

unde sunt componentele tensorului de curbură. Apoi avem: $R _ {{~~ \ nu \ rho \ sigma}} ^ {{\ mu}}$

g ({\ mathcal {R}} (X, Y) Z, W) \ = \ g _ {{\ mu \ lambda}} \ R _ {{~~ \ nu \ rho \ sigma}} ^ {{\ mu}} \ X ^ {{\ nu}} \ Y ^ {{\ rho}} \ Z ^ {{\ sigma}} \ W ^ {{\ lambda}} \ = \ W _ {{\ mu}} \ R_ {{~~ \ nu \ rho \ sigma}} ^ {{\ mu}} \ X ^ {{\ nu}} \ Y ^ {{\ rho}} \ Z ^ {{\ sigma}}

Luând urmele sale (față de X și Y), obținem tensorul de curbură Ricci și luând urma acestuia, obținem curbura scalară (care este o funcție a lui M în ). $\ mathbb {R}$

Curbură scalară sau curbură Ricci

Exemple

Pentru spațiul euclidian, curbura scalară este zero.
Pentru sfera de dimensiune a razei 1, curbura scalară merită . $nu$ $n (n-1)$

Vezi și tu

Articol asociat

Relativitatea generală

linkuri externe

Pierre de la Harpe , „ Spații curbate ” , pe images.math.cnrs.fr ,2004(accesat la 6 septembrie 2018 ) .

Johann Colombano, „ Vizualizarea curburii ” , pe images.math.cnrs.fr ,2017(accesat la 6 septembrie 2018 ) .

Bibliografie

Jean-Pierre Bourguignon , Spații curbate [ detaliu ediții ] Superbă introducere non-tehnică a subiectului.
(ro) Lee Carson Loveridge, Interpretări fizice și geometrice ale tensorului Riemann, tensorului Ricci și curburii scalare „ gr-qc / 0401099 ” , text cu acces deschis, pe arXiv .Remarcabil articol educațional scris în 2004 (18 pagini)

Aspecte istorice

Jean-Jacques Szczeciniarz, Invenția curburii . Hermann, 2013.
Luciano Boi, The Mathematical Problem of Space - A Quest for the Intelligible , Springer, 1995 ( ISBN 978-3-54058922-8 ) O istorie filosofică a conceptului matematic de spațiu, de la geometria euclidiană la dezvoltarea geometriilor moderne neeuclidiene, inclusiv versiunea riemanniană, esențială pentru formularea relativității generale. Nivelul minim de licență.
(în) Marvin Jay Greenberg, Geometrii euclidiene și non-euclidiene - Dezvoltare și istorie , Freeman, ed. a 4- a . 2007 ( ISBN 978-0-71679948-1 ) O carte de matematică care urmărește istoria și dezvoltarea geometriilor neeuclidiene, în esență bidimensionale (geometriile lui Gauss, Bolai și Lobachevsky). Accesibil „omului cinstit” cult.
(în) Max Jammer , Concepts of Space - The History of Theories of Space in Physics , Dover, 3 e ed. 1993 ( ISBN 978-0-48627119-4 ) .O istorie învățată a conceptului de spațiu, de la Antichitate până în prezent. Nivel universitar.

Aspecte tehnice

Boris Doubrovine (de) , Anatoli Fomenko și Sergueï Novikov , Geometrie contemporană - Metode și aplicații ,1984[ detaliu ediții ] - Prima parte: geometria suprafețelor, grupurile de transformări și câmpuri (Partea I: Geometria suprafețelor, grupurile de transformare și câmpurile). O introducere foarte educativă la geometrie, cu aplicații la fizică, scrisă de specialiști ruși. Abordarea fiind destul de intuitivă, această carte este accesibilă din primul ciclu al universității pentru un student bine motivat.
Marcel Berger și Bernard Gostiaux , Geometrie diferențială: soiuri, curbe și suprafețe [ detaliul edițiilor ] Carte rezultată dintr-un curs de magisteriu la matematică.
(ro) Michael Spivak , (O introducere cuprinzătoare la) Geometria diferențială [ detaliile edițiilor ] Tratat de referință în cinci volume.
(ro) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry ,2003[ detaliul ediției ] După cum indică titlul său, marele geometru francez ne invită aici la o lungă plimbare panoramică (824 de pagini) în lumea geometriei riemanniene. Diferitele rezultate sunt oferite, în cea mai mare parte, fără demonstrații detaliate, dar cu referințe adecvate pentru cititorul care ar dori să „murdărească mâinile”. Ultimul capitol prezintă bazele tehnice ale domeniului.
(ro) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin și Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ detaliu ediție ] A devenit o referință esențială în geometria riemanniană.

Cărți de fizică teoretică

(în) Theodore Frankel, The Geometry of Physics - An Introduction , Cambridge University Press, 2004, ed. a 2- a . revizuit și ilustrat ( ISBN 978-0-52153927-2 )
(în) Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics , Institutul de Fizică Editura, 2003 2 e ed. ilustrat ( ISBN 978-0-75030606-5 )
(ro) Charles Nash și Siddhartha Sen, Topologie și geometrie pentru fizicieni , Academic Press, 1983 ( ISBN 978-0-12514080-5 )
(ro) Yvonne Choquet-Bruhat și Cécile DeWitt-Morette , Analiză, varietăți și fizică - Partea I: Noțiuni de bază , Olanda de Nord, 1989 ( ISBN 978-0-44486017-0 )

Note și referințe

J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, curs de matematică, t. 3, Geometrie și cinematică, ediția a II-a. , Universitatea Dunod,1977, p 509