Inel topologic

În matematică , un inel topologic este un inel prevăzut cu o topologie compatibilă cu operațiile interne , adică astfel încât adunarea, harta opusă și multiplicarea sunt continue .

Un câmp topologic este un câmp prevăzut cu o topologie care face ca adunarea, multiplicarea și aplicarea inversă să fie continue.

Aceste structuri extind noțiunea de grup topologic .

Exemple

• Toate câmpurile numerice obișnuite ( rațional , real , complex , p -adic ) au una sau mai multe topologii clasice care le fac câmpuri topologice. Acestea sunt în esență topologii induse de distanța obișnuită sau distanța p -adică .
• Setul de aplicații de la un set la un inel topologic constituie un inel topologic pentru topologia convergenței simple . Când setul este el însuși un spațiu topologic, subinelul funcțiilor continue este un inel topologic pentru topologia compact-deschisă .X{\ displaystyle X}X{\ displaystyle X}
• Orice algebră normală este un inel topologic.
• Orice subinel al unui inel topologic este un inel topologic pentru topologia indusă.
• Orice inel prevăzut cu topologia discretă sau topologia grosieră constituie un inel topologic.

I- topologie radicală

Având în vedere un inel comutativ și un ideal de , topologia -adică a este definită de baza vecinătăților la fiecare punct al formei :, unde descrie toate numerele întregi naturale. R{\ displaystyle R} Eu{\ displaystyle I}R{\ displaystyle R}Eu{\ displaystyle I}R{\ displaystyle R}X{\ displaystyle x}R{\ displaystyle R}X+Eunu{\ displaystyle x + I ^ {n}}nu{\ displaystyle n}

Această topologie face inelul un inel topologic, care este separat dacă și numai dacă intersecția puterilor idealului este redusă la elementul zero: R{\ displaystyle R}Eu{\ displaystyle I}

⋂nu∈NUEunu={0}{\ displaystyle \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} I ^ {n} = \ {0 \}}.

În acest caz, topologia poate fi măsurată printr-o distanță ultrametrică definită după cum urmează:

pentru toate ≠ elementele ,X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}R{\ displaystyle R} d(X,y)=1/2k{\ displaystyle d (x, y) = 1/2 ^ {k}} unde este cea mai mare putere a idealului care conține diferența .k{\ displaystyle k}X-y{\ displaystyle xy}

P -adic topologia pe numere întregi relative este astfel construit cu idealul de multipli întregi . Eu{\ displaystyle I}p{\ displaystyle p}

Finalizarea unui inel metrizabil

Când o topologie a inelului este măsurabilă, operațiile se extind continuu (unic) până la finalizarea sa metrică , care devine astfel inelul finalizat  (în) .

Note

1. Continuitatea aplicației opuse este verificată automat dacă inelul este unitar .
2. Există, totuși, inele topologice care sunt corpuri fără a satisface această ultimă condiție.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">