Spațiul pseudometric

În matematică , un spațiu pseudometric este un set prevăzut cu un pseudometric . Este o generalizare a noțiunii de spațiu metric .

Pe un spațiu vector , la fel ca o normă induce o distanță , o semi-normă induce una pseudometrică. Din acest motiv, în analiza funcțională și disciplinele matematice conexe, termenul de spațiu semimetric este utilizat sinonim cu spațiu pseudometric (în timp ce „ spațiu semimetric ” are un alt sens în topologie).

Definiție

Un pseudometric pe un set este o aplicație $X$

{\ displaystyle \ mathrm {d}: X \ times X \ to \ mathbb {R} _ {+}}

astfel încât pentru orice , ${\ displaystyle x, y, z \ în X}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, x \ right) = 0}$ ;
${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = \ mathrm {d} \ left (y, x \ right)}$ (simetrie);
${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, z \ right) \ leq \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) + \ mathrm {d} \ left (y, z \ right)}$ ( inegalitate triunghiulară ).

Cu alte cuvinte, o pseudometrică este o deviație cu valoare finită.

Un spațiu pseudometric este un set prevăzut cu unul pseudometric.

Spre deosebire de cele ale unui spațiu metric, punctele unui spațiu pseudometric nu sunt neapărat perceptibile - adică se pot avea ca puncte distincte . ${\ mathrm d} (x, y) = 0$ $x \ ne y$

Exemple

Dacă este o abatere pe un set , atunci este o pseudometrică pe ; ${\ mathrm d}$ $X$ ${\ displaystyle \ min (1, \ mathrm {d})}$ $X$
Dacă este o semi-normă peste un spațiu vectorial , atunci este o peste pseudometrică . Dimpotrivă, orice pseudometric invariant de traducere omogen provine dintr-o semi-normă. Un exemplu concret al unei astfel de situații se află pe spațiul vectorial al funcțiilor cu valori reale : alegând un punct , putem defini un pseudometric prin . $p$ $V$ ${\ mathrm d} \ left (x, y \ right) = p \ left (xy \ right)$ $V$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $x_ {0} \ în X$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (f, g \ right) = | f \ left (x_ {0} \ right) -g \ left (x_ {0} \ right) |}$

Topologia pseudometrică asociată cu una pseudometrică este cea indusă de setul de bile deschise: ${\ mathrm d}$

{\ displaystyle B_ {r} \ left (p \ right) = \ {x \ in X \ mid \ mathrm {d} \ left (p, x \ right) <r \}}

Se spune că un spațiu topologic este „pseudometrizabil” dacă există un pseudometric a cărui topologie asociată coincide cu cea a spațiului.

Notă: Un spațiu este metrizabil dacă (și numai dacă) este pseudometrizabil și T 0 .

Identificarea metrică

Citând un spațiu pseudometric prin relația de echivalență de anulare a pseudometricului, obținem un spațiu metric . Mai explicit, definim

{\ displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = 0}

și vom obține o distanță pe de setare: ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {*}}$ $X ^ {*} = X / \ sim ~$

{\ mathrm d} ^ {{*}} \ left (\ left [x \ right], \ left [y \ right] \ right) = {\ mathrm d} \ left (x, y \ right)

Topologia spațiului metric este topologia coeficientului celei din . ${\ displaystyle (X ^ {*}, \ mathrm {d} ^ {*})}$ ${\ displaystyle (X, \ mathrm {d})}$

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Spațiul pseudometric ” ( vezi lista autorilor ) .

(în) „ Topologie pseudometrică ” pe PlanetMath .

Bibliografie

(ro) AV Arkhangelskii și LS Pontryagin , Topologie generală I , Springer ,1990, 202 p. ( ISBN 978-3-540-18178-1 )
(ro) Eric Schechter (ro) , Manual de analiză și fundamentele sale , Academic Press ,1997, 883 p. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , citit online )
Laurent Schwartz , Curs de analiză , vol. 2, Hermann ,nouăsprezece optzeci și unu, 475 p. ( ISBN 978-2-7056-5765-9 )
(ro) Lynn Arthur Steen și J. Arthur Seebach, Jr. , contraexemple în topologie , Dover ,1995, 244 p. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , citit online ) , p. 34