Asistent operator

În matematică , un operator asistent este un operator pe un spațiu preilbertian care este definit, atunci când este posibil, de la un alt operator A și pe care îl notăm cu A * . Se spune de asemenea că A * este adjuncta a operatorului A .

Acest operator asistent face posibilă pentru a face operatorul A trece de partea dreapta a produsului scalar care definește spațiul prehilbertian la partea stângă a produsului scalar. Prin urmare, este o generalizare a noțiunii de matrice transpusă în spații de dimensiune infinită.

Dacă operatorul inițial este continuu și dacă spațiul vectorial este complet , adjunctul este întotdeauna definit. Astfel, în cazul dimensiunii finite, asistentul oricărui operator este bine definit. Aplicația care își asociază adjunctul cu un operator este o izometrie semi-liniară  (en) și involutivă .

Noțiunea de adjuvant face posibilă definirea unui set de operatori care au o anumită compatibilitate cu produsul scalar, operatorii navetând cu adjuvantul lor. Se spune apoi că sunt normale . Printre acești operatori, există trei cazuri particulare importante, cel al unui operator auto- asistent (asistent al lui însuși), anti-auto- asistent (asistent al opusului său) și unitar (inversul asistentului său). Pe un spațiu vectorial real, termenii folosiți sunt respectiv: simetric , antisimetric și ortogonal . Pe un spațiu vectorial complex, spunem, respectiv: hermitian (sau ermitic ), antihermitian (sau antihermitic) și unitar .

Conceptul de asistent pentru un operator are multe aplicații. În dimensiunea finită și pe câmpul numerelor complexe, structura endomorfismelor normale este simplă, ele putând fi diagonalizate pe o bază ortonormală . Cazul dimensiunii infinite este mai complex. Este important în analiza funcțională . Cazul autoadjunct este studiat în special, oferă cel mai simplu cadru al teoriei spectrale , care este el însuși în centrul mecanicii cuantice . În teoria operatorilor , o C * -algebră este un spațiu Banach prevăzut cu o lege de compoziție internă similară compoziției operatorilor și o operație stelară având aceleași proprietăți ca aplicația care își asociază adjunctul cu un operator.

Definiții

Asistentul unui operator este o noțiune corespunzătoare unor situații foarte diferite. Poate fi aplicat în cazul unui spațiu euclidian sau hermitian , adică în dimensiune finită . Este, de asemenea, utilizat în cel mai simplu context de analiză funcțională , adică într-un spațiu Hilbert sau într-un spațiu prehilbertian . În cele din urmă, poate fi aplicat într-un cadru foarte general spațiilor Banach . Din acest motiv, două definiții coexistă.

Prehilbertian

Această definiție acoperă în practică două cadre teoretice oarecum diferite. Acea dimensiune finită și aceea în care nu se face nicio presupunere asupra dimensiunii. De asemenea, corespunde unui prim caz de analiză funcțională, cel mai simplu. În general, spațiul vectorial ales este un spațiu Hilbert, adică un spațiu prehilbertian complet . Deoarece este relativ ușor să se completeze un spațiu preilbertian și teoremele disponibile sunt mult mai numeroase, acest cadru este utilizat pe scară largă. O singură definiție acoperă aceste două cazuri:

Fie H un spațiu preilbertian peste un câmp K egal cu acel ℝ al numerelor reale sau ℂ al complexelor. Produsul punct este notat (⋅ | ⋅) în acest articol. Fie a și a * să fie doi operatori pe H , adică două hărți liniare ale lui H în sine.

Definiție  -  Operatorul este declarat a fi adjunctul lui în cazul în care : La∗{\ displaystyle a ^ {*}}La{\ displaystyle a}

∀X,y∈H(La(X)|y)=(X|La∗(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)).}

C * -algebra

Așa cum restul articolului arată harta *, care își asociază adjuvantul cu un endomorfism, este o hartă semi-liniară a spațiului endomorfismului. Acest spațiu are, cu compoziția endomorfismelor, o structură algebrică . O aplicație *, având aceleași caracteristici ca apendicele și definită pe o algebră este cadrul unei structuri numite C * -algebră. Imaginea unui element a de către aplicația * se numește asistentul lui a .

Banach

În analiza funcțională, nu toate spațiile au un produs dot. Abordarea deputaților rămâne totuși fructuoasă. Operatorul a are proprietăți mai slabe decât cele din paragraful anterior.

În cazul general, nu mai este delimitat, adică nu există neapărat o limită superioară a normei imaginii unui vector al mingii unitare. Astfel, derivata unei funcții a variabilei reale în mulțimea reală cu suport compact , infinit diferențiată și crescută în valoare absolută cu una nu este mărită de o constantă independentă de funcție. Acest spațiu prevăzut cu norma convergenței uniforme este important pentru definirea distribuțiilor . Derivata este un operator liniar nelimitat care joacă un rol important în analiza funcțională.

Un operator a nu este neapărat definit pe întreg Banach. Astfel, operatorul de derivare nu este definit pentru nicio funcție de] –1/2, 1/2 [în ℝ și integrabil în valoare absolută. Din același motiv ca cel din paragraful anterior, este totuși util să ia în considerare acest operator.

În această secțiune, E și F desemnează două Banach are un operator de nemărginit de la E la F , E * și F * denota duali topologice ale E și F . În restul articolului, termenul dual înseamnă dual topologic. Este într-adevăr mai utilizat decât dualul algebric în acest context. Termenul D ( a ) reprezintă domeniul unui , care este de a spune subspațiul vectorul pe care o este definit. Se presupune dens în E . Notația 〈⋅, ⋅〉E (resp. 〈⋅, ⋅〉F ) denotă paranteză de dualitate , corespunde cu harta biliniară a lui E * × E (resp. F * × F ) care unei perechi formate din d ' o formă liniară și un vector al lui E (resp. F ) asociază un scalar.

Definiție  -  Domeniul notat D ( a *) a operatorului Adjoint unei este următorul subset de F *:

D(La∗)={y∗∈F∗,∃vs.≥0,∀X∈D(La)|⟨y∗,La(X)⟩F|≤vs.‖X‖}{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) = \ {y ^ {*} \ în F ^ {*}, \; \ există c \ geq 0, \; \ forall x \ in { \ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} | \ leq c \ | x \ | \}}

Această definiție permite următoarele:

Definiție  -  Operatorul Adjoint un * al unui este operatorul D ( a *) în E * egalitatea de verificare:

∀X∈D(La),∀y∗∈D(La∗)⟨y∗,La(X)⟩F=⟨La∗(y∗),X⟩E{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a), \; \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \ quad \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} = \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle _ {E}}

Este obișnuit ca E și F să fie confuze; asistentul este apoi operator al lui E *.

Spațiul Hilbert

Presupunem în toată această secțiune că H este un spațiu Hilbert , adică un spațiu prehilbertian complet . În acest caz, topologice dublă identifică cu spațiul H . Rezultatele obținute în cazul formelor biliniare se aplică fără prea multe modificări.

Cazul dimensiunii finite este puțin mai simplu, deoarece orice hartă liniară este continuă, iar izomorfismul dintre spațiu și dualul său este mai evident. O abordare mai didactică este disponibilă în articolul Spațiul euclidian pentru cazul real și spațiul hermitian pentru cazul complex.

Notă: În cazul în care corpul care stă la baza H este cel al complexelor, produsul punct este sesquiliniar . Convenția aleasă în articol este că forma este liniară pentru prima variabilă și semi-liniară pentru a doua. Conjugat al unei λ scalare este notat cu λ . În mod implicit, declarațiile sunt date pentru spații complexe. Ele rămân adevărate pentru real și aplicația combinată devine identitate.

Existența (și unicitatea)

• Orice operator delimitat a de pe H admite un asistent (unic).
  Într-adevăr, să fie y un vector al lui H , harta care la un vector x asociază ( a ( x ) | y ) este o formă liniară continuă. Riesz Reprezentarea teorema atunci garantează existența unui (unic) vector z astfel încât continuă să coincidă formă liniară cu cererea x asociați ( x | z ). Cererea a * la care acesta combină z este atunci asistentul are .
• Dimpotrivă, dacă oricare două hărți satisfacLa,La∗:H→H{\ displaystyle a, a ^ {*}: H \ to H}∀X,y∈H(La(X)|y)=(X|La∗(y)){\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y))}atunci a , a * sunt atât liniare, cât și continue .
  Să-l arătăm de exemplu pentru un *.
  • Liniaritatea este o consecință directă a proprietăților bilinearității și nedegenerării produsului punct. Folosim asta:∀X,y1,y2∈H,∀λ∈K(X|La∗(y1+λy2))=(La(X)|y1+λy2)=(La(X)|y1)+λ¯(La(X)|y2){\ displaystyle \ forall x, y_ {1}, y_ {2} \ in H, \; \ forall \ lambda \ in K \ quad (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2 })) = (a (x) | y_ {1} + \ lambda y_ {2}) = (a (x) | y_ {1}) + {\ bar {\ lambda}} (a (x) | y_ {2})}Putem deduce:(X|La∗(y1+λy2))=(X|La∗(y1))+(X|λLa∗(y2))asa de(1)(X|La∗(y1)+λLa∗(y2)-La∗(y1+λy2))=0.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = (x | a ^ {*} (y_ {1})) + (x | \ lambda a ^ { *} (y_ {2})) \ quad {\ text {so}} \ quad (1) \; (x | a ^ {*} (y_ {1}) + \ lambda a ^ {*} (y_ { 2}) - a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = 0.}Egalitatea (1) este adevărată pentru toate valorile lui x, ceea ce arată că termenul din dreapta este zero. Această nulitate demonstrează caracterul liniar al unui *.
  • Pentru a arăta continuitatea unui * este suficient, grație teoremei grafului închis , să verificăm dacă x n tinde spre x și dacă a * (x n ) tinde spre y atunci a * ( x ) = y . Acum aceste două ipoteze implică (folosind ecuația adunării) că pentru toate z , ( z | a * ( x n )) tinde atât către ( z | a * ( x )), cât și către ( z | y ), astfel încât a * ( x ) - y este zero (deoarece ortogonal la toate z ).

Exemplu Pentru toți vectorii , asistentul operatorului este operatorul .X,y∈H{\ displaystyle x, y \ în H}X⊗y:z↦⟨z,y⟩X{\ displaystyle x \ otimes y: z \ mapsto \ langle z, y \ rangle x}y⊗X{\ displaystyle y \ otimes x}

Proprietăți elementare

În multe feluri, asistentul este o imagine în oglindă a operatorului.

• Asistentul operatorului a este liniar.

Acest rezultat (care nu implică liniaritatea lui a ) a fost demonstrat mai sus.

În dimensiunea finită, matricea de adjunctul unui este adjunctul matricei unui . Într - adevăr, să o matrice are o bază ortonormală de H și X (resp. Y ) matricea unui vector x (resp. Y) H .

(X|La∗(y))=(La(X)|y)=t(LAX)Da¯=tX(tLADa¯)=tXtLA¯Da¯.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = {} ^ {t} \! (AX) {\ overline {Y}} = ^ {t} \! X (^ {t} A {\ overline {Y}}) = ^ {t} \! X {\ overline {^ {t} {\ overline {A}} Y}}.}

• În cazul în care operatorul A este mărginit , atunci asistentul este mărginit de asemenea și de norma operatorul este egală cu cea a unui .

Termenul mărginit aici , înseamnă că imaginea de unitate mingea este mărginită. Un operator este delimitat dacă și numai dacă este continuu.

Continuitatea adjunctului a fost demonstrată mai sus fără a presupune că a este mărginită, folosind puternica teoremă a graficului închis. Presupunând că este limitat, dovezile sunt mai elementare: tocmai am observat că standardul a fost la fel ca și cel al asistentului este cel al formei biliniare sau sesquiliniare în asociații x și y ( a ( x ) | y ) = ( x | a * ( y )).

• Norma compusului din a și a adjunctului său este egală cu pătratul din cel al lui a  :

‖La∘La∗‖=‖La‖2.{\ displaystyle \ | a \ circ a ^ {*} \ | = \ | a \ | ^ {2}.}

Aplicație asistent

Izometria * , a lui ℒ ( H ) în sine, care operatorului o asociază asistentul a *, se numește harta asistentă .

Teorema  -  Izometria a ↦ a *, a lui ℒ ( H ) în sine:

• verificat(La∘b)∗=b∗∘La∗ ;{\ displaystyle (a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*} ~;}
• este semi-liniar:(La+λb)∗=La∗+λ¯b∗ ;{\ displaystyle (a + \ lambda b) ^ {*} = a ^ {*} + {\ overline {\ lambda}} b ^ {*} ~;}
• este involutiv  :La∗∗=La.{\ displaystyle a ^ {**} = a.}

Demonstrații

• Adjunct al unui compus:∀X,y∈H(La∘b(X)|y)=(b(X)|La∗(y))=(X|b∗∘La∗(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a \ circ b (x) | y) = (b (x) | a ^ {*} (y)) = (x | b ^ {*} \ circ a ^ {*} (y)).}
• Semi-liniaritate:∀X,y∈H((La+λb)(X)|y)=(La(X)|y)+λ(b(X)|y)=(X|(La∗+λ¯b∗)(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad ((a + \ lambda b) (x) | y) = (a (x) | y) + \ lambda (b (x) | y) = (x | (a ^ {*} + {\ bar {\ lambda}} b ^ {*}) (y)).}
• Involutivitate:∀X,y∈H(La(X)|y)=(X|La∗(y))=(La∗(y)|X)¯=(y|La∗∗(X))¯=(La∗∗(X)|y).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)) = {\ overline {(a ^ {*} (y) | x )}} = {\ overline {(y | a ^ {**} (x))}} = (a ^ {**} (x) | y).}

Ca endomorfism involutiv al spațiului vectorial real, este deci o simetrie, adică este diagonalizabilă cu valorile proprii 1 și –1 (mai multe detalii sunt date în § „Simetria” articolului despre diagonalizare ).

Se spune că un operator egal (resp. Opus) asistentului său este hermitian sau auto-asistent (resp. Antihermitian sau anti-auto-asistent). Un astfel de operator este normal , adică schimbă cu asistentul său. O altă familie de operatori normali este cea a automorfismelor ortogonale .

Endomorfismele normale ale unui spațiu hermitian și endomorfismele auto-îmbinate ale unui spațiu euclidian sunt diagonalizabile.

Ortogonalitate

Proprietățile ortogonalității asociate formelor biliniare sunt prezente în acest context:

• Nucleul de un * este ortogonală a imaginii a unui  :KerLa∗=(SuntLa)⊥.{\ displaystyle {\ text {Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}Intr-adevar, ∀X∈H,X∈KerLa∗⇔∀y∈H(La∗(X)|y)=0⇔∀y∈H(X|La(y))=0⇔X∈(SuntLa)⊥.{\ displaystyle \ forall x \ in H, \; x \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftrightarrow \ forall y \ in H \ quad (a ^ {*} (x) | y ) = 0 \ Leftrightarrow \ forall y \ in H \ quad (x | a (y)) = 0 \ Leftrightarrow x \ in ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}Un corolar imediat - de asemenea demonstrabil matricial - este acela că în dimensiunea finită a și a * au același rang, deoarece orice subspațiu vectorial este apoi închis, astfel încât ortogonalul său este unul suplimentar .

Luând ortogonalul celor doi membri se deduce din aceasta:

• Ortogonala nucleului lui a * este adeziunea imaginii lui a  :(KerLa∗)⊥=SuntLa¯.{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {Im}} \, a}}.}Aderența unui set E , notat E , este cea mai mică închisă care îl conține. De exemplu, dacă a * este injectiv , atunci a are o imagine densă în H , ceea ce, în dimensiune infinită, nu înseamnă că a este surjectiv .
• Fie E un subspatiu stabil cu a , ortogonalul lui E este stabil cu un *.
  Într-adevăr, să fie y un element al ortogonalei lui E , imaginea sa de a * este ortogonală a lui E deoarece∀X∈E(X|La∗(y))=(La(X)|y)=0.{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = 0.}În dimensiunea infinită, dacă E nu este închisă, inversul este fals (de exemplu, dacă E este un hiperplan neînchis, ortogonalul său este întotdeauna stabil cu un * - deoarece este redus la vectorul zero - în timp ce E n 'nu este stabil de a în general).

Spectru

Spectrul unui operator a este setul de scalari λ astfel încât harta a - λId nu este bijectivă (Id care desemnează harta identității). În dimensiunea finită, spectrul este setul de valori proprii . În dimensiune infinită, acesta poate fi mai larg (vezi articolele Spectrum of a linear operator and Spectral value ).

• Spectrul operatorului a * este conjugat cu cel al lui a .

Proprietățile spectrului sunt specificate dacă H este de dimensiune finită:

• Dacă H este de dimensiune finită, determinantul (resp. Polinomul caracteristic) a unui * este conjugat din cea a unui .

• Dacă H este de dimensiune finită, polinomul minimal al unei * este conjugat din cea a unui .

În consecință, dacă λ este valoarea proprie a multiplicității m a operatorului a (adică rădăcina de ordinul m a polinomului său caracteristic) atunci conjugatul lui λ este valoarea proprie a multiplicității m a operatorului a * și, de asemenea, dacă λ este rădăcina de ordinul m al polinomului minim al lui a (care echivalează cu a spune că m este cel mai mic întreg astfel încât nucleul lui ( a - λId) m este egal cu nucleul lui ( a - λId) m + 1 ), atunci conjugatul lui λ este rădăcina de ordinul m a polinomului minim al unui *.

Demonstrații

• Spectrul operatorului a * este conjugat cu cel al lui a  :

Un operator este bijectiv dacă și numai dacă adjunctul său este (conform proprietății ). Aplicând acest lucru la un - λId, rezultatul este dedus. (La∘b)∗=b∗∘La∗{\ displaystyle (a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*}}

• Dacă H este de dimensiune finită, determinantă (. Resp Polinomul caracteristic) a unui * este conjugat din aceea a unui  :

Articolul Determinant (matematică) demonstrează că o matrice pătrată are același determinant ca și transpunerea sa. În plus, determinantul unei matrice conjugate este conjugat determinantului. Faptul că determinantul unui endomorfism este egal cu cel al matricei sale arată că determinantul adjunctului lui a este conjugat celui al lui a . Aceleași proprietăți aplicate endomorfismului a - λId arată egalitatea polinoamelor caracteristice.

• Dacă H este de dimensiune finită, polinomul minimal al unei * este conjugatul de cea a unui  :

Fie P ( X ) polinomul minim al lui a . Endomorphism P ( a ) este zero și conjugatul său este de asemenea zero, ceea ce arată că polinomul conjugat al P ( X ) anulează adjuvantă conjugatul său este , prin urmare , un multiplu al polinomului de un *. Arătăm, de asemenea, că polinomul conjugat al polinomului minim al adjunctului anulează a . Cele două polinoame sunt multiple între ele, ambele sunt unitare, ceea ce face posibilă concluzia că există egalitate.

Spațiul Banach

Fondul acestui articol de matematică trebuie verificat (decembrie 2016).

Îmbunătățiți-l sau discutați lucruri de verificat . Dacă tocmai ați aplicat bannerul, vă rugăm să indicați punctele de verificat aici .

Comparați cu articolul din limba engleză din: Operator nelimitat

Multe proprietăți, valabile pentru Hilbert, pot fi generalizate. Analiza asistentului unui operator în cadrul mai general al lui Banach are anumite analogii cu cazul anterior. Tehnicile utilizate sunt totuși puțin diferite. În această secțiune E și F reprezintă Banach și are un operator de nemărginit de la E la F .

Termenul „operator nelimitat” desemnează o hartă liniară fără precizie pe caracterul continuu al operatorului. Matematicianul Haïm Brezis specifică: Prin urmare, se poate întâmpla ca un operator nelimitat să fie delimitat. Terminologia nu este foarte fericită, dar este folosită pe scară largă și nu provoacă confuzie!

Existența și unicitatea

Ca și până acum, orice operator a admis un singur adjunct. Mai precis :

• Pentru orice operator nelimitat a din D ( a ) în F există un adjunct unic, iar adjunctul este liniar.

Se pune întrebarea dacă D ( o *) este dens în dualul F .

• În cazul în care o este un operator închis, atunci topologia slabă a dualul F , D ( a *) este dens în dualul F . Dacă în plus F este reflexiv atunci D ( a *) este dens pentru topologia obișnuită.

Demonstrație

• Pentru orice operator nelimitat a din D ( a ) în F există un adjunct unic, iar adjunctul este liniar.

Rețineți mai întâi că D ( a *) este un spațiu vectorial. Fie y 1 * (resp. Y 2 *) un vector al lui D ( a *), λ un element al lui K și c 1 (resp. C 2 ) o constantă care îndeplinește următoarea proprietate:

∀X∈D(La)|⟨y1∗,La(X)⟩|≤vs.1‖X‖și|⟨y2∗,La(X)⟩|≤vs.2‖X‖{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {1} \ | x \ | \ quad {\ text {and}} \ quad | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {2} \ | x \ | |

Următoarea creștere arată că y 1 * + λ y 2 * este într-adevăr un element al lui D ( a *).

∀X∈D(La)|⟨y1∗+λ.y2∗,La(X)⟩|≤|⟨y1∗,La(X)⟩|+λ.|⟨y2∗,La(X)⟩|≤(vs.1+|λ|.vs.2).‖X‖{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*} + \ lambda .y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | + \ lambda. | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq (c_ { 1} + | \ lambda | .c_ {2}). \ | X \ |}

Fie y * un element al lui D ( a *). În mod implicit, un * ( y *) este o formă liniară continuă peste D ( a ). Setul de sosiri K este complet, forma este continuă, prin urmare cauchy-continuă și este extinsă prin continuitate într-un mod unic. Astfel, harta a * ( y *) este într-adevăr un element al lui E *.

Linearitatea unui * vine direct de la bilinearity de <⋅, ⋅>.

Continuitatea asistentului

Graficului închis teorema indică faptul că un operator o este continuă dacă și numai dacă ei grafic este închis. Graficul lui a este subspaiul vectorial al lui E x F format din punctele ( x , a ( x )) pe măsură ce x traversează D ( a ). Se spune că un operator având un grafic închis este închis , ceea ce înseamnă a spune mărginit sau continuu. Din motive stilistice, este mai frecvent să vorbim despre un operator închis nelimitat decât despre un operator nelimitat nelimitat, chiar dacă semnificațiile sunt aceleași.

• Un operator nelimitat a cu domeniu dens are un asistent închis.

Demonstrație

Fie ( v n *) o secvență a lui D ( a *) care converge la v * în dualul lui F și astfel încât și secvența (a * ( v n *)) converge, dar de data aceasta spre u * în dual din E . Obiectivul este de a arăta că ( v *, u *) este un element al graficului adjunctului lui a . Se verifică următoarea egalitate:

∀X∈E,∀nu∈NU⟨vnu∗,La(X)⟩=⟨La∗(vnu∗),X⟩{\ displaystyle \ forall x \ in E, \; \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ langle v_ {n} ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle a ^ {*} ( v_ {n} ^ {*}), x \ rangle}

O trecere la limită arată că:

∀X∈E⟨v∗,La(X)⟩=⟨tu∗,X⟩≤‖tu∗‖.‖X‖{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad \ langle v ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle u ^ {*}, x \ rangle \ leq \ | u ^ {*} \ |. \ | x \ |}

Ultima creștere arată că v * este un element al lui D ( a *) și ultima egalitate arată că u * este imaginea lui v * de către un *. În consecință, punctul ( v *, u *) este un element al graficului unui *, care dovedește propoziția.

Ortogonalitate

Dacă a este închis și are un domeniu dens, atunci proprietățile de ortogonalitate corespunzătoare situației Hilbert rămân adevărate:

• Nucleul lui a este egal cu ortogonalul imaginii lui a * și nucleul lui a * este egal cu ortogonalul imaginii lui a .

KerLa=(SuntLa∗)⊥șiKerLa∗=(SuntLa)⊥{\ displaystyle {\ text {Ker}} \, a = ({\ text {Im}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} \ quad {\ text {și}} \ quad {\ text { Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}}

Situația diferă ușor pentru ortogonalul nucleelor.

• Ortogonală a nucleului unui conține adeziunea imaginii adjunct al unei și ortogonală a nucleului de adjunct al unei este aderența imaginii unei .

(KerLa)⊥⊃SuntLa∗¯și(KerLa∗)⊥=SuntLa¯{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}} \ quad {\ text {și} } \ quad ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {Im}} \, a}}}

Dacă spațiul E este reflexiv, atunci ortogonalul nucleului lui a este egal cu aderența imaginii lui a *; în caz contrar, egalitatea nu este garantată.

Cu ipotezele de închidere și densitatea domeniului unui  :

• Următoarele patru proprietăți sunt echivalente:

(1) Imaginea unei este închisă. (2) Imaginea deputatului s- a închis. (3) Imaginea lui a este ortogonală a nucleului adjunct. (4) Imaginea adjunctului este ortogonală a nucleului lui a . Demonstrații

• Nucleul lui a este egal cu ortogonalul imaginii lui a * și nucleul lui a * este egal cu ortogonalul imaginii lui a  :

Observăm că, în calitate de o este continuă, domeniul unui * este dualul număr întreg F , prin urmare:

X∈KerLa⇔∀y∗∈F∗⟨y∗,La(X)⟩=0⇔∀y∗∈D(La∗)⟨La∗(y∗),X⟩=0{\ displaystyle x \ in {\ text {Ker}} \, a \ Leftrightarrow \ forall y ^ {*} \ in F ^ {*} \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0}

Ceea ce demonstrează prima egalitate.

Observăm că, din moment ce D ( a ) este dens în E , un vector al dualului lui E este zero dacă și numai dacă este ortogonal cu D ( a ), prin urmare:

y∗∈KerLa∗⇔∀X∈D(La)⟨La∗(y∗),X⟩=0⇔∀X∈D(La)⟨y∗,La(X)⟩=0{\ displaystyle y ^ {*} \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftrightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0}

Ceea ce demonstrează a doua egalitate.

• Ortogonală a nucleului unui conține adeziunea imaginii adjunct al unei și ortogonală a nucleului de adjunct al unei este adeziunea imaginii unui  :

Studiul formelor biliniare continue arată că ortogonalul unei ortogonale a unui spațiu vectorial conține aderența spațiului inițial. Ortogonală ortogonală a imaginii adjunctul unui conține , prin urmare aderența imaginii adjunctul unui . Propoziția anterioară face posibilă concluzia pentru următoarea includere:

(KerLa)⊥⊃SuntLa∗¯{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}}}

Note și referințe

Note

1. A se vedea de exemplu S. Lang , Analyze Réelle , InterEditions, Paris, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 ) , p.  157 .
2. Jacques Dixmier , Les C * -algebras and their representations , Gauthier-Villars, 1964, reed. J. Gabay, 1996 ( ISBN  978-2-87647-013-2 ) .
3. A se vedea de exemplu Brezis , p.  27.
4. Aceasta este una dintre versiunile teoremei Hellinger-Toeplitz  (în)  : RE Edwards, „  The Hellinger-Toeplitz teorema  ”, J. London Math. Soc. , S. 1, voi. 32, n o  4, 1957 p.  499-501 .
5. Brezis , p.  27.

Referințe

• Walter Rudin , analiză reală și complexă: lecții și exerciții , Dunod, 3 rd ed. 1998 ( ISBN  978-210004004-9 )
• Serge Lang , Algebra [ detaliile edițiilor ]
• Haïm Brezis , Analiza funcțională: teorie și aplicații ,1999 [detaliu ediții]
• (ro) Joram Lindenstrauss și Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces Vol I , Springer, 1996 ( ISBN  978-354060628-4 )
• (ro) Gert Pedersen, C * -algebrele și grupurile lor de automorfism , Academic Press, Londra, New-York, 1979 ( ISBN  978-012549450-2 )

Anexe

Legături interne

• Transformarea Aluthge

linkuri externe

• Adjuvantul unui endomorfism și proprietățile sale de A. Morame de la Universitatea din Nantes 2006. Acest curs tratează cazul real în dimensiune finită.
• Asistent al unui endomorfism al unui spațiu hermitian pe site-ul les-mathematiques.net, de C. Antonini & al. Acest curs tratează cazul complex în principal în dimensiunea finită.
• Asistent al unui site de endomorfism al companiei Cabrilog susținut de CNRS și Universitatea Joseph Fourier din Grenoble. Se ocupă de cazul euclidian al dimensiunii doi.
• Analiza funcțională și teoria spectrală B. Universitatea Maurey din PARIS VII. Acesta corespunde unui curs de masterat și tratează cazul general al Banachului.
• Asistent la un operator de J.Ch. Gilbert din Inria. Acest text se referă doar la cazul Banach.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">