Numărul Harshad

În matematica recreativă , un număr Harshad sau un număr Niven sau un număr multinumeric este un număr întreg care este divizibil cu suma cifrelor sale într-o bază dată. Numele Harshad le-a fost dat de matematicianul Dattatreya Ramachandra Kaprekar și în sanscrită înseamnă mare bucurie . Numele „de Niven” este un omagiu adus matematicianului Ivan Niven care a publicat un articol și a prezentat o conferință în teoria numerelor pe tema lor în 1977. În baza b , toate numerele de la 0 la b și toate puterile lui b sunt Harshad numere.

Numărul Harshad în baza zece

În baza zece, primele douăzeci de numere Harshad strict mai mari decât 10 sunt (continuare A005349 din OEIS ):

12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 și 81 .

Cotații obținuți pot fi găsiți în suita A113315 a OEIS.

Ce numere pot fi numere Harshad?

Luând testul pentru divizibilitate cu numărul 9 , s-ar putea fi tentați să generalizăm că toate numerele divizibile cu 9 sunt, de asemenea, numere Harshad. Dar pentru a determina dacă n este Harshad, cifrele lui n pot fi adăugate o singură dată și n trebuie să fie divizibil cu această sumă; în caz contrar, nu este un număr Harshad. De exemplu, 99 , nu este un număr Harshad, deoarece 9 + 9 = 18 și 99 nu este divizibil cu 18.

Niciun număr prim p strict mai mare de 10 nu este Harshad. Într-adevăr, suma cifrelor sale este strict între 1 și p, deci nu poate împărți p .

În baza zece, factorialele întregi mai mici sau egale cu 431 sunt numere Harshad. Numărul 432! este primul factorial care nu este un număr Harshad. Iată câteva altele: 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!.

Numere consecutive Harshad

Cooper și Kennedy au demonstrat că în baza zece există 20 de numere întregi consecutive (care depășesc 10 44 363 342 786 ) care sunt toate numerele Harshad, dar nu există 21.

Estimarea densității numerelor Harshad

Dacă notăm cu N ( x ) numărul de numere Harshad mai mici sau egale cu x , atunci

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} N (x) {\ frac {\ ln (x)} {x}} = {\ frac {14} {27}} \ ln (10) \ simeq 1 {,} 1939.}

Numărul Harshad în alte baze

Un număr Harshad din baza b este adesea numit un număr b- Harshad (notația Grundman 1994 ).

În baza b ca în baza zece, avem:

toate numerele întregi mai mici sau egale cu b sunt numere b -Harshad;
niciun număr prim strict mai mare decât b nu este b- Harshad;
există o infinitate de secvențe de 2 b numere consecutive b- Harshad, pentru b = 2 și pentru b = 3 (aceste două rezultate au fost dovedite de T. Tony Cai (en) în 1996).

Număr complet Harshad

Un număr întreg care este un număr Harshad în orice bază se spune că este complet Harshad (sau complet Niven); există doar patru numere complet Harshad, 1 , 2 , 4 și 6 .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia în engleză intitulat „ Harshad number ” (a se vedea lista autorilor ) .

(în) Curtis Cooper și Robert E. Kennedy, „ We Niven consecutive numbers ” , Fibonacci Quart. , vol. 31, n o 21993, p. 146-151 ( zbMATH 0,776.11003 , citiți on - line ).
(în) Helen G. Grundman (în) , „ Secvențe ale numerelor consecutive Niven ” , Fibonacci Quart. , vol. 32,1994, p. 174-175 ( citește online ).
(ro) Jean-Marie De Koninck , Nicolas Doyon și Imre Katai (hu) , „ Despre funcția de numărare pentru numerele Niven ” , Acta Arith. , vol. 106, nr . 3,2003, p. 265-275 ( DOI 10.4064 / aa106-3-5 ).

Link extern

(ro) Eric W. Weisstein , „ Harshad number ” , pe MathWorld