Lista criteriilor de divizibilitate

Aceasta este o listă de criterii de divizibilitate pentru numerele scrise în zecimale , prime sau puteri de prim, mai mici de 100.

Aceste criterii sunt prezentate fără demonstrație. Pentru demonstrații sau metodele care au făcut posibilă stabilirea acestor criterii, consultați articolul „ Criteriul de divizibilitate ”.

Pentru divizibilitatea cu un număr compus a cărui descompunere în produs a factorilor primi este cunoscută n = p 1 k 1 ... p r k r , este suficient să se aplice regula generală: un număr este divizibil cu n dacă și numai dacă este divizibil cu fiecare dintre p i k i . De exemplu: un număr este divizibil cu 12 dacă și numai dacă este divizibil cu 3 și cu 4.

De-a lungul acestui articol, un număr natural cu n + 1 cifre este reprezentat de un n ... a 1 a 0 , unde un 0 este cifra, un 1 este zeci, un 2 este sute și așa mai departe.

Puteri de 2, 5 și 10

Orice număr întreg este divizibil cu 1.

Criteriul de divizibilitate cu 2 n

Un număr este divizibil cu 2 n dacă și numai dacă ultimele sale n cifre formează un număr divizibil cu 2 n .

Exemple Un număr este divizibil cu 16 = 2 4 dacă și numai dacă numărul format din ultimele sale 4 cifre este divizibil cu 16. Un număr este divizibil cu 32 = 2 5 dacă și numai dacă numărul format din ultimele sale 5 cifre este divizibil cu 32. De exemplu: 87.753 216.864 este divizibil cu 32 deoarece 16.864 este divizibil cu 32.

Criteriul de divizibilitate cu 5 n

Un număr este divizibil cu 5 n dacă și numai dacă ultimele sale n cifre formează un număr divizibil cu 5 n .

Exemple Un număr este divizibil cu 25 = 5 2 dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 25, adică dacă scrierea sa „se termină” cu 00, 25, 50 sau 75. De exemplu: 258 975 este divizibil cu 25 deoarece se termină în 75. 543 257 625 este divizibil cu 5 3 = 125 deoarece 625 este divizibil cu 125.

Criteriul de divizibilitate cu 10 n

Un număr este divizibil cu 10 n dacă și numai dacă ultimele sale n cifre sunt egale cu 0.

Exemplu 652.500.000 este divizibil cu 10 5, deoarece ultimele sale 5 cifre sunt 0.

Numere întregi mai mici de 10

Divizibilitate după:	Declarație de criteriu:	Exemplu:
2	Un număr este par , adică divizibil cu 2 = 2 1 , dacă și numai dacă cifra sa este 0, 2, 4, 6 sau 8.	168 este egal pentru că se termină cu 8 care este egal.
3	Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3. (Prin inducție , aceasta implică faptul că reziduul său este 3, 6 sau 9.)	168 este divizibil cu 3 deoarece 1 + 6 + 8 = 15, 1 + 5 = 6 și 6 este divizibil cu 3.
4	Un număr este divizibil cu 4 = 2 2 dacă și numai dacă 2 a 1 + a 0 este divizibil cu 4.	2.548 este divizibil cu 4 deoarece 2 × 4 + 8 = 16 care este divizibil cu 4.
5	Un număr este divizibil cu 5 = 5 1 dacă și numai dacă cifra sa este 0 sau 5.	235 este divizibil cu 5 deoarece se termină cu 5.
6	Un număr este divizibil cu 6 dacă și numai dacă este divizibil cu 2 și cu 3.	168 este divizibil cu 6 deoarece este egal și divizibil cu 3.
7	a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 7 dacă și numai dacă a n ... a 1 - 2 a 0 este (pentru alte criterii, a se vedea secțiunea următoare ).	182 este divizibil cu 7 deoarece 18 - 2 × 2 = 14 este.
8	Un număr este divizibil cu 8 = 2 3 dacă și numai dacă 4 a 2 + 2 a 1 + a 0 este divizibil cu 8.	636.136 este divizibil cu 8 deoarece 4 × 1 + 2 × 3 + 6 = 16 care este divizibil cu 8.
9	Un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.	423 este divizibil cu 9 deoarece 4 + 2 + 3 = 9 este.
10	Un număr este divizibil cu 10 = 10 1 dacă și numai dacă cifra sa este 0.	270 este divizibil cu 10 deoarece se termină cu 0.

Criterii de divizibilitate cu 7

Leme de divizibilitate cu 7

Prima metodă: un număr este divizibil cu 7 dacă și numai dacă suma numărului său de zeci și de cinci ori cifra sa este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 56 (= 7 × 8). Numărul este divizibil cu 7 dacă și numai dacă rezultatul final este.

Exemplu 17.381 este divizibil cu 7 deoarece 1738 + 5 × 1 = 1743, 174 + 5 × 3 = 189, 18 + 5 × 9 = 63 și 6 + 5 × 3 = 21 = 7 × 3.

A doua metodă: Un număr este divizibil cu 7 dacă și numai dacă diferența dintre numărul său de zeci și dublul cifrelor sale este. Dacă această diferență este negativă, ea poate fi înlocuită cu valoarea sa absolută . Repetând această transformare până la obținerea unui rezultat strict mai mic de 14, numărul inițial este divizibil cu 7 dacă și numai dacă rezultatul final este 0 sau 7.

Exemplu 17.381 este divizibil cu 7 deoarece 1738 - 2 × 1 = 1736, 173 - 2 × 6 = 161, 16 - 2 × 1 = 14 și | 1 - 2 × 4 | = 7.

Criteriu pentru un număr mare

O metodă, bazată doar pe faptul că 10 3 este congruent cu –1 modulo 7 , este separarea acestui număr în trepte de 3 cifre începând de la unități și inserarea - și + alternativ între felii. Operația astfel scrisă este efectuată și acest rezultat este divizibil cu 7 dacă și numai dacă numărul de pornire a fost.

Exemplu Fie numărul 5 527 579 818 992. Îl separăm în trepte de trei cifre de unități: 5 | 527 | 579 | 818 | 992. Alternăm alternativ - și +: 5 - 527 + 579 - 818 + 992. Efectuăm operațiunea astfel scrisă: 5 - 527 + 579 - 818 + 992 = 231. Vedem dacă 231 este divizibil folosind lema divizibilității cu 7: 23 + 5 × 1 = 28 este divizibil cu 7 deci 5.527.579 818.992 este.

Deoarece 1001 este produsul 7, 11 și 13, aceeași metodă se aplică pentru 11 și 13.

Metoda lui Toja

Această metodă se bazează pe faptul că 10 3 este congruent cu –1 modulo 7, din care deducem asta

{{\ rm {si}}} \ quad x = 100 ^ {m} b_ {m} + \ ldots + 100 ^ {2} b_ {2} + 100b_ {1} + b_ {0} \ quad {{\ rm {et}}} \ quad y = 10 ^ {m} b_ {0} -10 ^ {{m-1}} b_ {1} +10 ^ {{m-2}} b_ {2} \ ldots + (-1) ^ {m} b_ {m}

{{\ rm {then}}} \ quad 10 ^ {m} x \ equiv y {\ pmod 7}

de aceea x este divizibil cu 7 dacă și numai dacă y este. Desigur, putem înlocui trecând fiecare b i cu orice număr întreg care îi este congruent modulul 7. Prin urmare, principiul este de a tăia numărul x cu felii de 2 cifre și de a găsi distanța dintre fiecare număr de 2 cifre și multiplul de 7 cel mai apropiat (alternativ prin exces și implicit).

Exemplu Fie numărul 5 527 579 818 992. Îl separăm în trepte de două cifre de unități: 5 | 52 | 75 | 79 | 81 | 89 | 92.

Din dreapta, cel mai apropiat multiplu implicit de 7 este 91: distanța 92 - 91 = 1.
Pentru a doua pereche, cel mai apropiat exces multiplu de 7 este 91: distanța 91 - 89 = 2.
Pentru a treia pereche, cel mai apropiat multiplu de 7 în mod implicit este 77: distanța 81 - 77 = 4
Pentru a patra pereche, distanța: 84 - 79 = 5 etc.

Numărul de pornire este multiplu de 7 dacă și numai dacă 1 | 2 | 4 | 5 | 5 | 4 | 5 este multiplu de 7 (diferitele „resturi” sunt scrise în ordine inversă). De asemenea, constatăm că divizibilitatea cu 7 din 1.245.545 este echivalentă cu cea a 3.136, apoi a 14, deci 5.527.579.818.992 este divizibil cu 7.

Metoda rapidă

Ca și în calculul numărului modulo 7 prin metoda Toja, vom grupa cifrele în grupuri de 2, începând din dreapta. Aici vom folosi faptul că 100 este 2 modulo 7.

Primul pas, care este valabil și pentru toate metodele, constă în înlocuirea tuturor cifrelor cu valoarea lor modulo 7. Cu alte cuvinte, înlocuirea 7 cu 0, 8 cu 1, 9 cu 2.

Fie numărul 5 527 579 818 992. Se înlocuiește cu 5 520 502 111 222.

În al doilea pas, numerele sunt grupate la 2 pentru a crea numere de la 0 la 66.

5 | 52 | 05 | 02 | 11 | 12 | 22.

Le calculăm modulul 7

5 | 3 | 5 | 2 | 4 | 5 | 1.

Este scrierea numărului de bază 2, cu cifre de la 0 la 6. Vom folosi metoda lui Horner : descărcăm cifra cea mai îndepărtată la stânga pe care o adăugăm la numărul curent (0 la început) și înmulțim cu 2.

{\ displaystyle 5 \ cdot 2 + 3 \ rightarrow 3 + 3 \ rightarrow 6}

{\ displaystyle 6 \ cdot 2 + 5 \ rightarrow 5 + 5 \ rightarrow 10 \ rightarrow 3}

{\ displaystyle 3 \ cdot 2 + 2 \ rightarrow 8 \ rightarrow 1}

{\ displaystyle 1 \ cdot 2 + 4 \ rightarrow 6}

{\ displaystyle 6 \ cdot 2 + 5 \ rightarrow 5 + 5 \ rightarrow 10 \ rightarrow 3}

{\ displaystyle 3 \ cdot 2 + 1 \ rightarrow 7 \ rightarrow 0}

Fiecare linie de calcul se face cu ușurință la cap și fiecare rezultat intermediar poate fi introdus pe o a doua linie:

5 | 3 | 5 | 2 | 4 | 5 | 1 5 | 6 | 3 | 1 | 6 | 3 | 0

Obținem 0, numărul este divizibil cu 7.

Folosind o diagramă

Această tehnică se bazează pe scrierea numărului din baza 10 și pe congruențe modulo 7. Utilizarea unei diagrame a fost propusă în 2009 de David Wilson. Pe un cerc, avem toate numerele de la 0 la 6, adică toate resturile posibile de modulo 7. Conectăm apoi printr-o săgeată fiecare rest r cu restul de modulo 7 de r × 10.

Diagrama este apoi utilizată după cum urmează: pentru întregul a n ... a 1 a 0 , egal cu $(... (( a n \times 10 + a n -1 ) \times 10 + a n -2 ) \times 10 + ...) \times 10 + un 0$ ,

ne plasează pe noi înșine pe pătrat 0 și vom trece pe cercul de o n pătrate. Obținem astfel restul unui n modulo 7;
apoi urmează săgeata care duce din caseta unde este situată și, din punctul final al săgeții, se deplasează pe cercul unei casete n -1 . Obținem astfel restul unui n × 10 + a n –1 modul 7;
apoi reia procesul (împrumutând o săgeată, apoi deplasați-vă pe cerc) la un 0 . Obținem apoi modulul 7 restul de $(... (( a n \times 10 + a n -1 ) \times 10 + a n -2 ) \times 10 + ...) \times 10 + a 0$ .

Numărul este divizibil cu 7 dacă și numai dacă celula finală este celula 0.

Exemplu Pentru numărul 17381.

Trecem de la 0 la 1.
Luăm săgeata care duce de la 1 la 3 și mișcăm 7 pătrate ( adică rămânem unde suntem). Suntem în 3.
Luăm săgeata care duce de la 3 la 2 și deplasăm 3 spații. Suntem în 5.
Împrumutăm săgeata care duce de la 5 la 1 și mutăm 8 pătrate (adică mutăm un pătrat). Suntem în 2.
Luăm săgeata care duce de la 2 la 6 și ne deplasăm un spațiu. Suntem în 0. Numărul este divizibil cu 7.

Notă: această metodă poate fi generalizată la orice altă divizibilitate cu d și la orice altă bază b prin construirea diagramei adaptate (numerele de la 0 la d - 1 pe cerc, săgeți care conectează r la modulul d restul lui r × b ) .

Criteriul de divizibilitate cu 11

Prima metodă

Pentru a determina dacă un număr N este divizibil cu 11:

se calculează suma A a numerelor în poziție impar;
se calculează suma B a cifrelor în poziție pare ;

N este divizibil cu 11 dacă și numai dacă diferența A - B (sau B - A ) este divizibilă cu 11.

Aceasta înseamnă a efectua suma alternativă a cifrelor sale.

Exemplu

Luați în considerare numărul 19 382.

A = 1 + 3 + 2 = 6 B = 9 + 8 = 17 B - A = 17 - 6 = 11 este divizibil cu 11 deci 19.382 este și el.

Putem efectua și calculul: 1 - 9 + 3 - 8 + 2 = –11.

„Mini-criteriu”

Un număr din trei cifre este divizibil cu 11 dacă și numai dacă suma celor două cifre extreme este egală cu cifra din mijloc ( a 2 + a 0 = a 1 ) sau 11 plus cifra din mijloc ( a 2 + a 0 = 11 + a 1 ).

Exemple 374 este divizibil cu 11 deoarece 3 + 4 = 7. Verificare: 374 = 11 × 34. 825 este divizibil cu 11 deoarece 8 + 5 = 11 + 2. Verificare: 825 = 11 × 75.

A doua metodă

Numărul este separat în trepte de două cifre de unități prin inserarea + și se efectuează operația obținută. Rezultatul este divizibil cu 11 dacă și numai dacă numărul de pornire a fost.

Exemplu Să ne întoarcem la exemplul anterior 19.382; noi obținem : 1 + 93 + 82 = 176. Deoarece rezultatul are mai mult de două cifre, începem din nou: 1 + 76 = 77. 77 este divizibil cu 11, deci 19.382 este, de asemenea.

A treia metodă

Un număr este divizibil cu 11 dacă și numai dacă diferența dintre numărul său de zeci și numărul său de unități este divizibilă cu 11.

Exemple

3432 este divizibil cu 11 deoarece 343-2 = 341, 34-1 = 33 și 33 este divizibil cu 11.

73108 nu este divizibil cu 11 deoarece 7310 - 8 = 7302, 730-2 = 728, 72 - 8 = 64 și 64 nu este multiplu de 11.

Demonstrație

Fie n un întreg natural atunci n se scrie într-un mod unic n = 10 a + b unde a este numărul zecilor și b numărul celor.

n = 11a + b - a și, prin urmare, n congruent la 0 modul 11 este echivalent cu b - a congruent la 0 modul 11.

Criteriul divizibilității cu 13

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 13 dacă și numai dacă a n ... a 1 + 4 a 0 este. Pentru a vedea dacă un număr este divizibil cu 13, este suficient să repetăm această transformare până la obținerea unui rezultat strict mai mic de 52 (= 4 × 13). Numărul inițial este divizibil cu 13 dacă și numai dacă rezultatul final este 13, 26 sau 39.

Exemple

312 este divizibil cu 13 deoarece 31 + 4 × 2 = 39.
1.664 este divizibil cu 13 deoarece 166 + 4 × 4 = 182 și 18 + 4 × 2 = 26.

Criteriu pentru un număr mare

Pentru a ști dacă un număr mare este divizibil cu 13, este suficient, deoarece 10 3 este congruent cu –1 modul 13 ca modul 7, să aplicăm aceeași reducere ca în al doilea dintre cele trei criterii de mai sus de divizibilitate cu 7 : separați acest număr în trepte de 3 cifre începând de la unități și inserând alternativ - și + între benzi.

Operațiunea scrisă astfel se efectuează și rezultatul este divizibil cu 13 dacă și numai dacă numărul mare considerat a fost.

Exemplu Fie numărul 1 633 123 612 311 854. Îl separăm în grupuri de trei de unități: 1 | 633 | 123 | 612 | 311 | 854. Alternăm alternativ - și +: 1 - 633 + 123 - 612 + 311 - 854. Efectuăm operațiunea astfel scrisă: 1 - 633 + 123 - 612 + 311 - 854 = –1 664. Rezultatul este negativ, dar putem lua valoarea sa absolută 1664 și să continuăm. Conform exemplului anterior, 1664 este divizibil cu 13, astfel încât 1633 123 612 311 854 este, de asemenea.

Criteriul de divizibilitate cu 17

Un număr a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 17 dacă și numai dacă a n ... a 1 - 5 a 0 (sau valoarea sa absolută) este. Pentru a vedea dacă un număr este divizibil cu 17, este suficient să se repete această transformare până la obținerea unui rezultat strict mai mic de 51 (= 3 × 17). Numărul inițial este divizibil cu 17 dacă și numai dacă rezultatul final este 0, 17 sau 34.

Exemple

3.723 este divizibil cu 17 deoarece 372 - 5 × 3 = 357 și 35 - 5 × 7 = 0.
5.933 este divizibil cu 17 deoarece 593 - 5 × 3 = 578 și 57 - 5 × 8 = 17.

Criteriul divizibilității cu 19

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 19 dacă și numai dacă a n ... a 1 + 2 a 0 este. Pentru a vedea dacă un număr este divizibil cu 19, este suficient să se repete această transformare până la obținerea unui rezultat strict mai mic de 38 (= 2 × 19). Numărul inițial este divizibil cu 19 dacă și numai dacă rezultatul final este 19.

Exemplu 6.859 este divizibil cu 19 deoarece 685 + 2 × 9 = 703, 70 + 2 × 3 = 76 și 7 + 2 × 6 = 19.

Criteriul divizibilității cu 21

Criteriu imediat

Un număr este divizibil cu 21 dacă și numai dacă este divizibil cu 7 și cu 3 .

Lema divizibilității cu 21

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 21 dacă și numai dacă a n ... a 1 - 2 a 0 (sau valoarea sa absolută) este. Această transformare este aceeași cu prima indicată pentru divizibilitate cu 7 ( § „Numere întregi mai mici de 10” ). Pentru a vedea dacă un număr este divizibil cu 21, repetați-l până când obțineți un rezultat strict mai mic de 21. Numărul inițial este divizibil cu 21 dacă și numai dacă rezultatul final este 0.

Exemplu 5.271 este divizibil cu 21 deoarece 527 - 2 × 1 = 5 25, 52 - 2 × 5 = 42 și 4 - 2 × 2 = 0.

Criteriu pentru un număr mare

Aceeași metodă ca mai jos pentru 27 , dar în creșteri de 6 cifre (vezi § „Criteriul de divizibilitate cu un factor de 10 n ± 1“ de mai jos ).

Criteriu de divizibilitate cu 23

Prima metodă

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 23 dacă și numai dacă a n ... a 1 + 7 a 0 este. Pentru a vedea dacă un număr este divizibil cu 23, este suficient să repetăm această transformare până la obținerea unui rezultat strict mai mic de 92 (= 4 × 23). Numărul inițial este divizibil cu 23 dacă și numai dacă rezultatul final este 23, 46 sau 69.

Exemplu 3 151 este divizibil cu 23 deoarece 315 + 7 × 1 = 322 și 32 + 7 × 2 = 46.

A doua metodă

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 23 dacă și numai dacă a n ... a 2 + 3 a 1 a 0 este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 322 (= 23 × 14). Numărul este divizibil cu 23 dacă și numai dacă rezultatul final este.

Exemplu Să ne întoarcem la exemplul anterior: 3.151 este divizibil cu 23 deoarece 31 + 3 × 51 = 184 și 184 = 8 × 23.

Criteriul de divizibilitate cu 27

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu 27, îl separăm în trepte de 3 cifre de unități prin inserarea +. Operațiunea obținută se efectuează. Rezultatul este divizibil cu 27 dacă și numai dacă numărul considerat la început a fost.

Exemplu Fie numărul 68 748 098 828 632 990 000. Efectuăm operația: 68 + 748 + 098 + 828 + 632 + 988 + 661 = 4023. Rezultatul având mai mult de 3 cifre, putem începe din nou: 4 + 023 = 27 care este divizibil cu 27, deci 68 748 098 828 632 990 000 este și el.

Criteriul divizibilității cu 29

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 29 dacă și numai dacă a n ... a 1 + 3 a 0 este. Pentru a vedea dacă un număr este divizibil cu 29, este suficient să repetăm această transformare până la obținerea unui rezultat strict mai mic de 58 (= 2 × 29). Numărul inițial este divizibil cu 29 dacă și numai dacă rezultatul final este 29.

Exemplu 75 168 este divizibil cu 29 deoarece 7.516 + 3 × 8 = 7.540, 754 + 3 × 0 = 754, 75 + 3 × 4 = 87 și 8 + 3 × 7 = 29.

Criteriul divizibilității cu 31

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 31 dacă și numai dacă a n ... a 1 - 3 a 0 (sau valoarea sa absolută) este. Pentru a vedea dacă un număr este divizibil cu 31, este suficient să se repete această transformare până la obținerea unui rezultat strict mai mic decât 31. Numărul de pornire este divizibil cu 31 dacă și numai dacă rezultatul final este 0.

Exemplu 15.996 este divizibil cu 31 deoarece 1.599 - 3 × 6 = 1.581, 158 - 3 × 1 = 155 și 15 - 3 × 5 = 0.

Criteriul de divizibilitate cu 37

Aceeași metodă ca și 27 ( a se vedea § „Criteriul de divizibilitate cu un factor de 10 n ± 1“ de mai jos ).

Dacă numărul este un număr de trei cifre abc , cel mai mic dintre cifre este scăzut pentru a dezvălui unul sau mai multe zerouri. Dacă acest număr conține două zerouri, numărul inițial nu este divizibil cu 37; dacă acest număr este 0, numărul inițial este divizibil cu 37. În caz contrar, acest număr conține un singur zero, care este eliminat pentru a obține un număr din 2 cifre. Dacă 0 era în poziția centrală, totuși, acest număr trebuie returnat. Numărul inițial a fost divizibil cu 37 dacă și numai dacă numărul din două cifre este (și, prin urmare, este egal cu 37 sau 74).

Exemplu 925 este divizibil cu 37 deoarece cel mai mic număr este 2, îl scădem din fiecare număr: 925 - 222 = 703, 0 este central, returnăm numărul primim 307 și eliminăm 0 rezultatul 37 este divizibil cu 37.

Putem folosi, de asemenea, criteriul general al divizibilității : numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 37 dacă și numai dacă a n ... a 1 -11 a 0 este. Pentru a vedea dacă un număr este divizibil cu 37, trebuie doar să repetați această transformare. Numărul inițial este divizibil cu 37 dacă și numai dacă restul este multiplu de 37

Exemplu 19.388 este divizibil cu 37 deoarece 1938-8 × 11 = 1850 185 - 0 × 11 = 185 = 37 × 5

Criteriul divizibilității cu 39

Criteriu imediat

Un număr este divizibil cu 39 dacă și numai dacă este divizibil cu 13 și cu 3 .

Lemă de divizibilitate cu 39

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 39 dacă și numai dacă a n ... a 1 + 4 a 0 este. Această transformare este aceeași cu cea pentru divizibilitatea cu 13 . Pentru a vedea dacă un număr este divizibil cu 39, repetați-l până când obțineți un rezultat strict mai mic de 78 (= 2 × 39). Numărul inițial este divizibil cu 39 dacă și numai dacă rezultatul final este 39.

Exemplu 4.992 este divizibil cu 39 deoarece 499 + 4 × 2 = 507, 50 + 4 × 7 = 78 și 7 + 4 × 8 = 39

Criteriu pentru un număr mare

Aceeași metodă ca și pentru 27 , dar în creșteri de 6 cifre (vezi § „Criteriul de divizibilitate cu un factor de 10 n ± 1“ de mai jos ).

Criteriul de divizibilitate cu 41

Lemă de divizibilitate cu 41

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 41 dacă și numai dacă a n ... a 1 - 4 a 0 (sau valoarea sa absolută) este. Pentru a vedea dacă un număr este divizibil cu 41, este suficient să se repete această transformare până la obținerea unui rezultat strict mai mic de 41. Numărul inițial este divizibil cu 41 dacă și numai dacă rezultatul final este 0.

Exemplu 8.036 este divizibil cu 41 deoarece 803 - 4 × 6 = 779, 77 - 4 × 9 = 41 și 4 - 4 × 1 = 0.

Criteriu pentru un număr mare

Aceeași metodă ca și pentru 27, dar în trepte de 5 cifre (a se vedea § „Criteriul divizibilității cu un factor de 10 n ± 1” de mai jos ).

Criteriul divizibilității cu 43

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 43 dacă și numai dacă a n ... a 2 - 3 a 1 a 0 (sau valoarea sa absolută) este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 215 (= 43 × 5). Numărul este divizibil cu 43 dacă și numai dacă rezultatul final este.

Exemplu 173.161 este divizibil cu 43 deoarece 1731 - 3 × 61 = 1.548 și | 15 - 48 × 3 | = 129 = 43 × 3.

Criteriul divizibilității cu 47

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 47 dacă și numai dacă a n ... a 2 + 8 a 1 a 0 este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 846 (= 47 × 18). Numărul este divizibil cu 47 dacă și numai dacă rezultatul final este.

Exemplu 143.597 nu este divizibil cu 47 deoarece 1.435 + 8 × 97 = 2.211 și 22 + 8 × 11 = 110 = 2 × 47 + 16.

Criteriul divizibilității cu 49

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 49 dacă și numai dacă suma a n ... a 1 + 5 a 0 este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 98 (= 2 × 49). Numărul este divizibil cu 49 dacă și numai dacă rezultatul final este 49.

Exemplu

478515625 este divizibil cu 49 deoarece

47851562 + 5 × 5 = 47851587,

4785158 + 5 × 7 = 4785193,

478519 + 5 × 3 = 478534,

47853 + 5 × 4 = 47873,

4787 + 5 × 3 = 4802,

480 + 5 × 2 = 490 și

49 + 5 × 0 = 49.

Criteriul divizibilității cu 53

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 53 dacă și numai dacă a n ... a 2 - 9 a 1 a 0 (sau valoarea sa absolută) este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 800. Trecem apoi la al doilea criteriu de divizibilitate: numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 53 dacă și numai dacă a n ... a 1 +16 a 0 este. Este suficient să se repete această transformare până când se obține un rezultat strict mai mic de 212 (= 4 × 53). Numărul inițial este divizibil cu 53 dacă și numai dacă rezultatul final este 53, 106 sau 159.

Exemplu 132.023 este divizibil cu 53 deoarece 1.320 - 9 × 23 = 1.113 și | 11 - 9 × 13 | = 106 = 2 × 53.

Criteriul de divizibilitate cu 59

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 59 dacă și numai dacă a n ... a 1 + 6 a 0 este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 118 (= 2 × 59). Numărul este divizibil cu 59 dacă și numai dacă rezultatul final este 59.

Exemplu 1.185 nu este divizibil cu 59 deoarece 118 + 6 × 5 = 148 și 14 + 6 × 8 = 62.

Criteriul de divizibilitate cu 61

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 61 dacă este numai dacă a n ... a 1 - 6 a 0 (sau valoarea sa absolută) este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 61. Numărul este divizibil cu 61 dacă și numai dacă rezultatul final este 0.

Exemplu 5.623 nu este divizibil cu 61 deoarece 562 - 6 × 3 = 544 și 54 - 6 × 4 = 30.

Criteriu de divizibilitate cu 67

Un număr a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 67 dacă și numai dacă a n ... a 2 - 2 a 1 a 0 (sau valoarea sa absolută) este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 134 (= 2 × 67). Numărul este divizibil cu 67 dacă și numai dacă rezultatul final este 0 sau 67.

Exemplu 135.541 este divizibil cu 67 deoarece 1.355 - 41 × 2 = 1.273, | 12 - 73 × 2 | = 134 și | 1 - 34 × 2 | = 67.

Criteriul de divizibilitate cu 71

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 71 dacă și numai dacă a n ... a 1 - 7 a 0 este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 71. Numărul este divizibil cu 71 dacă și numai dacă rezultatul final este 0.

Exemplu : 27 253 nu este divizibil cu 71 deoarece

2.725 - 7 × 3 = 2.704, 270 - 7 × 4 = 242 și 24 - 7 × 2 = 10.

Criteriul divizibilității cu 73

Aceeași metodă ca și pentru 13 , dar cu creșteri de 4 cifre (vezi § „Criteriul de divizibilitate cu un factor de 10 n ± 1“ de mai jos ).

Criteriu de divizibilitate cu 79

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 79 dacă și numai dacă a n ... a 1 + 8 a 0 este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 158 (= 2 × 79). Numărul este divizibil cu 79 dacă și numai dacă rezultatul final este 79.

Exemplu 21.804 este divizibil cu 79 deoarece 2 180 + 8 × 4 = 2 212, 221 + 8 × 2 = 237 și 23 + 8 × 7 = 79.

Criteriu de divizibilitate cu 83

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 83 dacă și numai dacă a n ... a 1 + 25 a 0 este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 332 (= 83 × 4). Numărul este divizibil cu 83 dacă și numai dacă rezultatul final este 83, 166 sau 249.

Exemplu

11537 este divizibil cu 83 deoarece 1153 + 7 × 25 = 1328 și 132 + 8 × 25 = 332 și 33 + 2 × 25 = 83.

Criteriu de divizibilitate cu 89

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 89 dacă și numai dacă a n ... a 1 + 9 a 0 este. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 178 (= 89 × 2). Numărul este divizibil cu 89 dacă și numai dacă rezultatul final este 89.

Exemplu : 7921 este divizibil cu 89 deoarece 792 + 9 × 1 = 801 și 80 + 9 × 1 = 89.

Criteriul de divizibilitate cu 97

Numărul a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 97 dacă și numai dacă | a n ... a 1 - 29 a 0 | balast. Începem din nou până când numărul obținut este strict mai mic de 291 (= 3 × 97). Numărul este divizibil cu 97 dacă și numai dacă rezultatul final este 0, 97 sau 194.

Exemplu

46.657 este divizibil cu 97 deoarece

4.665 - 29 × 7 = 4.462, 446 - 29 × 2 = 388 și | 38 - 29 × 8 | = 194.

Metoda panglicii lui Pascal

Această metodă (vezi articolul detaliat) face posibilă testarea divizibilității unui număr N , scris în general în baza zece , cu orice număr întreg d . Principiul este de a înlocui, în numărul N = a n 10 n + ... + a 1 10 + a 0 , fiecare putere de 10 cu restul său r în diviziunea euclidiană cu d (putem lua și r - d în schimb din r ).

Exemple

Pentru d = 7, putem înlocui 1, 10, 100 etc. cu 1, 3, 2, −1, −3, −2, 1, 3, 2, −1, −3, −2 etc. ( secvență periodică ): spunem că o cheie de divizibilitate cu 7 în baza zece este (1, 3, 2, −1, −3, −2). Numărul N = a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 7 dacă și numai dacă următorul număr este:
a 0 + 3 a 1 + 2 a 2 - a 3 - 3 a 4 - 2 a 5 + a 6 + 3 a 7 + 2 a 8 - a 9 ... = A + 3 B + 2 C , cu
A = a 0 - a 3 + a 6 - a 9 ..., B = a 1 - a 4 + a 7 - a 10 ... Și C = a 2 - a 5 + a 8 - a 11 ...
Pentru d = 13, o cheie de divizibilitate de bază zece este (1, –3, - 4, −1, 3, 4) deci a n ... a 1 a 0 este divizibil cu 13 dacă și numai dacă numărul următor este:
a 0 - 3 a 1 - 4 a 2 - a 3 + 3 a 4 + 4 a 5 + a 6 - 3 a 7 - 4 a 8 - a 9 ... = A - 3 B - 4 C , cu
A = a 0 - a 3 + a 6 - a 9 ..., B = a 1 - a 4 + a 7 - a 10 ... și C = a 2 - a 5 + a 8 - a 11 ...

Criteriul de divizibilitate cu un factor de 10 n ± 1

În metoda panglicii, pentru unii d , cheia de divizibilitate este mai simplă atunci când considerăm N scris în baza 10 n pentru un n bine ales. În special, cheia de divizibilitate din baza 10 n va fi (1, −1) dacă d este un divizor de 10 n + 1 și va fi pur și simplu (1) dacă d este un divizor de 10 n - 1. Avem exemple văzute pentru divizibilitatea cu 11 (factor de 10 1 + 1 și de 10 2 - 1) și (pentru un număr "mare") cu 7 sau 13 (factori de 10 3 + 1) sau cu 27 (factor de 10 3 - 1). În concluzie :

Dacă d este un divizor de 10 n + 1, pentru a ști dacă un număr mare este divizibil cu d , este suficient să separați acest număr prin felii de n cifre începând de la unități și să introduceți alternativ - și + între felii. Operația astfel scrisă este efectuată și rezultatul este divizibil cu d dacă și numai dacă numărul luat în considerare la început a fost. Repetăm această transformare cât mai mult posibil. Exemple

Suma alternativă de felii

Divizibilitatea prin	11	101	7	13	77	91	143	73	137	17	19	133	23	121
Dimensiuni felii	1	2	3					4		8	9		11

Dacă d este un divizor de 10 n - 1 (ceea ce este adevărat pentru orice n dacă d = 3 sau 9), același principiu, dar inserând doar + între felii. Exemple

Sumă simplă de felii

Divizibilitatea prin	11	33	99	27	37	111	41	123	21	39	63	117	81	53	79	31
Dimensiuni felii	2			3			5		6				9	13		15

Note și referințe

(în) Gustavo Gerald Toja Frachia, „Metodă succintă pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 7” (versiunea din 26 aprilie 2007 pe Internet Archive ) .
Principiul pe un exemplu este detaliat în (în) Boris A. Kordemsky (în) , The Moscow Puzzles: 359 matematică reconstituiri , Dover Publications , 2014 ( 1 st ed 1971.), P. 140 , previzualizare pe Google Cărți .
(în) David Wilson, „ Divizibilitatea de 7 este o plimbare a fost grafică ” pe blogul de matematică al lui Tanya Khovanova ,11 august 2009(accesat la 7 februarie 2016 ) .
(în) David Wilson, „ Divizibilitatea de 7 este o plimbare a fost grafic. II ” , pe blogul de matematică al lui Tanya Khovanova ,11 august 2010(accesat la 7 februarie 2016 ) .