Metrica Cayley-Klein

În matematică, o metrică Cayley-Klein este o metrică definită pe complementul unui cvadric fix al unui spațiu proiectiv , cvadricul absolut, folosind raportul transversal . Această valoare a fost construită de Arthur Cayley în 1859; construcția a fost finalizată de Felix Klein între 1871 și 1873. Metricele Cayley-Klein oferă un cadru unificat pentru diferitele geometrii euclidiene și neeuclidiene , definind noțiunea de distanță prin aceeași construcție în toate cazurile.

Istoric

Printre ideile care au stat la baza construcției Cayley-Klein, se numără „ algebra jeturilor (în) ” creată de Karl von Staudt în 1847, o abordare a geometriei care nu implică distanțe sau unghiuri și care utilizează numai conceptele de diviziune armonică și raportul încrucișat . În 1853, Edmond Laguerre a obținut un alt rezultat important (în) , arătând că unghiul dintre două linii (în geometria euclidiană) poate fi calculat dintr-un raport transversal. În cele din urmă, în 1859, Arthur Cayley a formulat în articolul său Despre teoria distanței, relații care exprimă distanțele față de calcule (în geometrie proiectivă ) legate de un cvadric definit de el ca absolut al geometriei studiate. Felix Klein , în articolele din 1871 și 1873, apoi într-o serie de lucrări, a preluat opera lui von Staudt, a eliminat ultimele referințe la distanța euclidiană și a combinat-o cu teoria lui Cayley pentru a defini noua metrică ca logaritmul unei cruci -ratio, eliminând riscul unei definiții circulare și arătând că geometriile neeuclidiene ar putea fi, la fel ca geometria euclidiană, din această metrică.

Geometria Cayley-Klein (urmând principiile programului Erlangen ) este studiul grupului izometrie pentru această valoare; demonstrăm că acesta este subgrupul transformărilor proiective lăsând cvadricul absolut invariant la nivel global ; fiecare alegere a cvadricului corespunde uneia dintre geometriile clasice ( euclidiene , hiperbolice , eliptice etc.).

Definiție

Fixăm un Q cvadric al unui spațiu proiectiv E pe câmpul complexelor; Q se numește cvadricul absolut al geometriei pe care vrem să o definim. Dacă a și b sunt două puncte distincte în E , nu în Q , dreapta ( a, b ) intersectează Q în alte două puncte p și q . Distanța Cayley - Klein d ( a , b ) este proporțională cu logaritmul raportului transversal ( a, b; p, q ) :, unde este o constantă. ${\ displaystyle d (a, b) = C \ ln (a, b; p, q)}$ $VS$

Dacă raportul încrucișat este pozitiv, este real (aceasta corespunde unei geometrii hiperbolice ; valoarea 1/2 dă o curbură ); dacă nu, este necesar să luați complex (unul este atunci în cazul unei geometrii eliptice ). $VS$ ${\ displaystyle K = -1}$ $VS$

Pentru calculele algebrice (și prin utilizarea unei forme mai moderne de reprezentare), cineva se plasează în coordonate omogene și se fixează o formă pătratică ; vom nota asociat formularul biliniar , numit în acest context formă polară , definit de . Ecuația cvadrică absolută (în mod specific , fiind un punct de coordonată , cu în cazul planului și în spațiu, în plus, matricea este simetrică, noi ); apoi dovedim că distanța Cayley - Klein între puncte și este: ${\ displaystyle Q}$ $B$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle B (u, v) = {\ frac {1} {2}} \ left (Q (u + v) -Q (u) -Q (v) \ right)}$ ${\ displaystyle Q (x) = 0}$ ${\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ $X$ $x_ {i}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3,4 \}}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha \ beta} = q _ {\ beta \ alpha}}$ $X$ $y$

{\ displaystyle d = C \ ln {\ frac {B (x, y) + {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}} {B (x, y) - {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}}}}

; cu această notație .

{\ displaystyle B (x, y) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}}

Luând pentru simplitate, deducem că, în cazul hiperbolic: ${\ displaystyle C = 1/2}$

{\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

iar în cazul eliptic (luare ): ${\ displaystyle C = i / 2}$

{\ displaystyle d = \ operatorname {arccos} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

Formele normale ale cvadricului absolut

În cazul real, orice cvadric definit prin ecuație poate fi pus prin schimbarea (liniară) a variabilei în formă , cu ( reducere gaussiană ), numărul fiecărui tip nu depinde de schimbarea variabilei, conform legii inerția lui Sylvester . Obținem în spațiul euclidian obișnuit următoarea clasificare (a se vedea articolul cvadric și articolele detaliate pentru ilustrații): ${\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ ${\ displaystyle Q (X) = \ sum \ epsilon _ {i} X_ {i} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i} \ in \ {0,1, -1 \}}$ $\ epsilon _ {i}$

Clasificarea cvadricelor I. Cadrice regulate . 1 .. Suprafață goală.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}

2 .. Suprafețe similare topologic sferei.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Ellipsoid (fără intersecție cu planul infinitului). b) Paraboloid eliptic (tangent la planul infinitului). c) Hiperboloid cu două straturi (secant cu planul infinitului). 3 .. Suprafețe similare topologic cu sticla Klein .

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Hiperboloid cu o singură foaie (secantă cu planul infinitului). b) Paraboloid hiperbolic (tangent cu planul infinitului). II. Conuri . 1 .. „Conuri” goale.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Con redus la vârf. b) Cilindru gol (vârf în plan la infinit). 2 .. „Conuri” obișnuite.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Con b) Cilindru eliptic (vârf în plan la infinit) c) Cilindru parabolic (linie dublă în plan infinit) d) Cilindru hiperbolic (două linii în plan la infinit) III. Cupluri de planuri . 1 .. Planuri imaginare conjugate.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Intersecție la distanță finită. b) Planuri paralele. 2 .. Planuri reale.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Intersecție la distanță finită. b) Planuri paralele. c) Un plan la distanță finită și planul infinitului. IV. Plan dublu. 1 ..

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = 0}

a) Plan dublu la distanță finită. b) Planul infinitului numărat de două ori.

De Transformările proiective bijective (a collineations ) lăsând invariantă aceste forme sunt legate de transformări Mobius . Aceste forme conduc la ecuații simple pentru distanța Cayley-Klein; planul euclidian are astfel pentru absolut liniile izotrope (sau, dacă se preferă, punctele ciclice ). La fel, planul hiperbolic are ca absolut cercul unitar și ca distanță Cayley-Klein . ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0, \ x_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}}}$

Relativitatea

În prelegerile sale din 1919 și 1920 (publicate postum în 1926) despre istoria matematicii, Klein a scris:

„Cazul (sau , a rămâne în trei dimensiuni și a utiliza coordonate omogene ) a dobândit recent o semnificație specială prin teoria relativității . " ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}$

Cu alte cuvinte, conice (sau Quadric) geometria hiperbolică absolută, sau corespunde intervalelor sau spațiu-timp , și lăsarea transformări invariante Quadric absolute sunt în concordanță cu transformările Lorentz . La fel, ecuațiile cercului sau ale sferei unitare în geometria hiperbolică corespund vitezei fizice sau care, în relativitate, sunt limitate de viteza luminii c , prin urmare, pentru orice vector de viteză fizică v , raportul v / c trebuie să rămână în interiorul sferei unitare, care formează absolutul acestei geometrii. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}$

Alte aspecte ale acestei relații între metrica Cayley - Klein pentru spațiul hiperbolic și cea a spațiului Minkowski în relativitatea specială au fost evidențiate de Klein în 1910, precum și în ediția din 1928 a prelegerilor sale despre geometria neeuclidiană .

CK-geometrie afină

În 2008, Horst Martini și Margarita Spirova au generalizat prima teoremă a lui Clifford pe cercuri (în) și alte teoreme ale geometriei euclidiene folosind geometria afină asociată cu o metrică a lui Cayley-Klein: ideea este de a aplica aceeași construcție pentru a degenera conica absolută ( format din produsul unei linii și linia infinitului); rolul jucat de complexe în geometria euclidiană este transferat pentru a împărți complexe în construcțiile lor.

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Cayley - Klein metric ” (a se vedea lista autorilor ) .

Klein și Rosemann (1928), p. 163
Klein și Rosemann (1928), p. 138
Cayley (1859), p 82, §§209-229
Klein și Rosemann (1928), p. 303
Pierpont (1930), p. 67ff
Klein (1871, 1873), Klein (1893ab), Fricke / Klein (1897), Klein (1910), Klein / Ackerman (1926/1979), Klein / Rosemann (1928)
Klein & Rosemann (1928), pp. 163, 304
Russell (1898), pagina 32
Campo și Papadopoulos (2014)
Dacă această linie este tangentă la Q , avem p = q .
Klein și Rosemann (1928), p. 164
Klein și Rosemann (1928), p. 167ff
Veblen & Young (1918), p. 366
Veblen & Young (1918), p. 372
Klein și Rosemann (1928), p. 68; vezi și clasificările de la paginile 70, 72, 74, 85 și 92.
Klein & Rosemann (1928), capitolul III
Klein & Rosemann (1928), pp. 132f
Klein & Rosemann (1928), pp. 185, 251
Klein / Ackerman (1926/1979), p. 138
Klein (1910)
Klein & Rosemann (1928), capitolul XI, §5
Martini și Spirova (2008)

Bibliografie

Surse primare

(de) Karl von Staudt , Geometrie der Lage , Nürnberg F. Korn,1847( citește online )
Edmond Laguerre , „ Notă despre teoria focarelor ”, Analele noi ale matematicii , vol. 12,1853, p. 57–66 ( citiți online )
(ro) Arthur Cayley , „ A six memoir upon quartics ” , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 149,1859, p. 61–90 ( DOI 10.1098 / rstl.1859.0004 , citiți online )
(de) Felix Klein , „ Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie ” , Mathematische Annalen , vol. 4, n o 4,1871, p. 573–625 ( DOI 10.1007 / BF02100583 , citiți online )
(de) Felix Klein, „ Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie ” , Mathematische Annalen , vol. 6, n o 21873, p. 112–145 ( DOI 10.1007 / BF01443189 , citiți online )
(de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90 , Göttingen, Schilling, Fr.,1893( citește online )
(de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890 , Göttingen, Schilling, Fr.,1893( citește online )

Surse secundare

(de) Killing, W., Die nicht-euklidischen Raumformen , Leipzig, Teubner,1885( citește online )
(de) R. Fricke și F. Klein , Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen , Leipzig, Teubner,1897( citește online )
(ro) Bertrand Russell (1898) An Essay on the Foundations of Geometry , reeditat în 1956 de Dover Books
(ro) Alfred North Whitehead (1898) Universal Algebra , Cartea VI Capitolul 1: Teoria distanței, pp. 347–70, în special Secțiunea 199 Teoria distanței Cayley.
(de) Hausdorff, F., „ Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie ” , Leipziger Math.-Phys. Berichte , voi. 51,1899, p. 161–214 ( citește online )
(ro) Duncan Sommerville (1910/11) "Cayley - Klein metrics in n -dimensional space", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 28: 25–41.
(de) Klein, Felix, „ Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe ” , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , vol. 19,1910, p. 533–552 ( ISBN 978-3-642-51898-0 , DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )Reeditat în Klein, Felix, Gesammelte mathematische Abhandlungen , vol. 1,1921, 533–552 p. ( DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )Traducere în engleză de David Delphenich: Pe fundațiile geometrice ale grupului Lorentz
(ro) Veblen, O. și Young JW, Geometrie proiectivă , Boston, Ginn,1918( citește online )
(de) Liebmann, H., Nichteuklidische Geometrie , Berlin & Leipzig, Berlin W. de Gruyter,1923( citește online )
(de) Klein, F. și Neugebauer, O., Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert , Berlin, Springer,1926( citește online ); Traducere în limba engleză: Development of Mathematics in the 19th Century de M. Ackerman, Math Sci Press
(de) Klein, F., Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie , Berlin, Springer,1928( citește online )
(ro) Pierpont, J., „ Non-euclidean geometry, a retrospect ” , Buletinul Societății Americane de Matematică , vol. 36, n o 21930, p. 66–76 ( DOI 10.1090 / S0002-9904-1930-04885-5 )
(ro) JE Littlewood , miscelana lui Littlewood , Cambridge University Press ,1986( 1 st ed. 1953) ( ISBN 978-0-521-33058-9 , Math Recenzii 872 858 , citi on - line )
(ro) Harvey Lipkin (1985) Metrical Geometry de la Georgia Institute of Technology
(ro) Horst Struve și Rolf Struve , „ Projective spaces with Cayley - Klein metrics ” , Journal of Geometry , vol. 81, n o 1,2004, p. 155–167 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-004-1679-5 , Recenzii matematice 2134074 )
(en) Martini Horst, Spirova Margarita, „ Circle geometry in affine Cayley-Klein planes ” , Periodica Mathematica Hungarica , vol. 57, n o 22008, p. 197-206 ( DOI 10.1007 / s10998-008-8197-5 )
(ro) Horst Struve și Rolf Struve , „ Non-euclidean geometries: the Cayley - Klein approach ” , Journal of Geometry , vol. 89, n o 1,2010, p. 151-170 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-010-0053-z , Recenzii matematice 2739193 )
(ro) A'Campo, N. și Papadopoulos, A., Sophus Lie și Felix Klein: Programul Erlangen și impactul său în matematică și fizică ,2014, 91–136 p. ( ISBN 978-3-03719-148-4 , DOI 10.4171 / 148-1 / 5 , arXiv 1406.7309 ) , „Pe așa-numita geometrie non-euclidiană a lui Klein”
(ro) Frank Nielsen , Boris Muzellec și Richard Nock , 2016 IEEE International Conference on Image Processing (ICIP) ,2016, 241–245 p. ( ISBN 978-1-4673-9961-6 , DOI 10.1109 / ICIP.2016.7532355 ) , „Clasificare cu amestecuri de metrice curbe ale mahalanobis”

Complimente

(ro) Jan Drösler (1979) „Fundamentele scalării metrice multidimensionale în geometriile Cayley-Klein”, British Journal of Mathematical and Statistical Psychology 32 (2); 185-211