Lemniscatul lui Bernoulli

Lemniscate Bernoulli este o curbă plană unicursal . Este numit după matematicianul și fizicianul elvețian Jacques Bernoulli .

Istorie

Lemniscatul lui Bernoulli face parte dintr-o familie de curbe descrise de Jean-Dominique Cassini în 1680, ovalele Cassini . Jacques Bernoulli a redescoperit-o în 1694 în timp ce lucra la elipsă și a botezat-o lemniscus ( „panglică”  în latină ). Problema lungimii arcurilor lemniscatului a fost tratată de Giulio Fagnano în 1750.

Definiție geometrică

Un lemniscat Bernoulli este setul de puncte M care verifică relația:

MF×MF′=OF2{\ displaystyle {\ rm {MF \ times MF '= OF ^ {2}}}}

unde F și F ′ sunt două puncte fixe și O punctul lor mediu . Punctele F și F ′ sunt numite focarele lemniscatului, iar O centrul său.

Alternativ, putem defini un lemniscat Bernoulli ca setul de puncte M care verifică relația:

|MF-MF′|=OM2.{\ displaystyle {\ rm {| MF-MF '| = OM \, {\ sqrt {2}}.}}} Demonstrație

(MF-MF′)2=MF2+MF′2-2MF⋅MF′=(OM2+OF2-2OM⋅OFcos⁡θ)+(OM2+OF′2+2OM⋅OF′cos⁡θ)-2MF⋅MF′=2(OM2+OF2-MF⋅MF′){\ displaystyle {\ begin {align} {\ rm {(MF-MF ') ^ {2}}} & = {\ rm {MF ^ {2} + MF' ^ {2} -2 \, MF \ cdot MF '}} \\ & = {\ rm {(OM ^ {2} + OF ^ {2} -2 \, OM \ cdot OF \ cos \ theta) + (OM ^ {2} + OF' ^ {2 } +2 \, OM \ cdot OF '\ cos \ theta) -2 \, MF \ cdot MF'}} \\ & = {\ rm {2 (OM ^ {2} + OF ^ {2} -MF \ cdot MF ')}} \ end {align}}}

Putem vedea asta:

MF⋅MF′=OF2  ⇔  (MF-MF′)2=2OM2.{\ displaystyle {\ rm {MF \ cdot MF '= OF ^ {2} ~~ \ Leftrightarrow ~~ (MF-MF') ^ {2} = 2 \, OM ^ {2}.}}}

Prima relație se numește „ecuație bipolară”, iar a doua „ecuație tripolară”.

Curba astfel definită face parte din familia lemniscatelor (curbe cu 8 forme ), din care este cel mai cunoscut exemplu și cel mai bogat în proprietăți. Pentru definiția sa, este cel mai remarcabil exemplu de oval Cassini . De asemenea, reprezintă secțiunea unui anumit tor printr-un plan tangent intern.

Ecuații în diferite sisteme de coordonate

Prin intermediul distanței focale jumătate OF = d

Fie OF = d . În coordonatele polare (axa polară fiind OF ), lemniscatul lui Bernoulli admite ca o ecuație:

ρ2=2d2cos⁡2θ (-π4≤θ[π]≤+π4).{\ displaystyle \ rho ^ {2} = 2d ^ {2} \ cos {2 \ theta} ~ \ left (- {\ tfrac {\ pi} {4}} \ leq \ theta \, [\ pi] \ leq + {\ tfrac {\ pi} {4}} \ right).} Demonstrație

Relația MF MF ′ = OF 2 poate fi scrisă MF 2 MF ′ 2 = OF 4 prin urmare:

(OM2+OF2-2OM⋅OFcos⁡θ)(OM2+OF′2+2OM⋅OF′cos⁡θ)=OF4{\ displaystyle {\ rm {(OM ^ {2} + OF ^ {2} -2 \, OM \ cdot OF \ cos \ theta) (OM ^ {2} + OF '^ {2} +2 \, OM \ cdot OF '\ cos \ theta) = OF ^ {4}}}}

adică :

(ρ2+d2-2ρdcos⁡θ)(ρ2+d2+2ρdcos⁡θ)-d4=0.{\ displaystyle (\ rho ^ {2} + d ^ {2} -2 \ rho d \ cos \ theta) (\ rho ^ {2} + d ^ {2} +2 \ rho d \ cos \ theta) - d ^ {4} = 0.}

sau:

ρ2[ρ2-2d2(2cos2⁡θ-1)]=0{\ displaystyle \ rho ^ {2} \, [\ rho ^ {2} -2d ^ {2} (2 \ cos ^ {2} \ theta -1)] = 0}

ceea ce dă bine, din moment ce     : cos⁡2θ=2cos2⁡θ-1{\ displaystyle \ cos {2 \ theta} = 2 \ cos ^ {2} \ theta -1}

{ρ=0 (∀θ)ρ2=2d2cos⁡2θ (-π4≤θ≤+π4,modtuloπ){\ displaystyle {\ begin {cases} \ rho = 0 ~ (\ forall \, \ theta) \\\ rho ^ {2} = 2d ^ {2} \ cos {2 \ theta} ~ \ left (- {\ tfrac {\ pi} {4}} \ leq \ theta \ leq + {\ tfrac {\ pi} {4}}, \, \ mathrm {modulo} \, \ pi \ right) \ end {cases}}}

În coordonatele carteziene (axa x fiind OF ), lemniscatul lui Bernoulli are ecuația (implicită)  :

(X2+y2)2=2d2(X2-y2).{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = 2d ^ {2} \, (x ^ {2} -y ^ {2}).} Demonstrație

Să trecem de la coordonatele polare la coordonatele carteziene:

ρ2=X2+y2{\ displaystyle \ rho ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}  și     așa  cos⁡θ=XX2+y2{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}}cos⁡2θ=2cos2⁡θ-1=X2-y2X2+y2.{\ displaystyle \ cos {2 \ theta} = 2 \ cos ^ {2} \ theta -1 = {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2 }}}.}

Ecuația polară     devine astfel     ceea ce este într-adevăr echivalent cu  ρ2=2d2cos⁡2θ{\ displaystyle \ rho ^ {2} = 2d ^ {2} \ cos {2 \ theta}}X2+y2=2d2X2-y2X2+y2,{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 2d ^ {2} \, {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2} }},}(X2+y2)2=2d2(X2-y2).{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = 2d ^ {2} \, (x ^ {2} -y ^ {2}).}

Abscisa x descrie intervalul (limitele sunt atinse pentru y = 0 ). Ordonanța y descrie intervalul (pentru că limitele sunt atinse  ). [-d2,d2]{\ displaystyle \ left [-d \, {\ sqrt {2}}, d \, {\ sqrt {2}} \ right]}[-d2,d2] {\ displaystyle \ left [- {\ tfrac {d} {2}}, {\ tfrac {d} {2}} \ right] ~}X=±d32{\ displaystyle x = \ pm \, d \, {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}}}

Este posibil să explicăm y în funcție de x  :

y=±d1+4(Xd)2-[1+(Xd)2]  (|X|≤d2){\ displaystyle y = \ pm \, d \, {\ sqrt {{\ sqrt {1 + 4 \ left ({\ frac {x} {d}} \ right) ^ {2}}} - \ left [1 + \ left ({\ frac {x} {d}} \ right) ^ {2} \ right]}} ~~ \ left (| x | \ leq d {\ sqrt {2}} \ right)} Demonstrație

Fie Y = y 2  ; ecuația implicită devine:

(X2+Da)2=2d2(X2-Da){\ displaystyle (x ^ {2} + Y) ^ {2} = 2d ^ {2} \, (x ^ {2} -Y)}

adică prin dezvoltarea:

Da2+2(d2+X2)Da-X2(2d2-X2)=0.{\ displaystyle Y ^ {2} +2 (d ^ {2} + x ^ {2}) Yx ^ {2} (2d ^ {2} -x ^ {2}) = 0.}

Această ecuație pătratică are doar o soluție ( Y nu trebuie să fie negativ):

Da=-(d2+X2)+(d2+X2)2+X2(2d2-X2)  cu conditia ca 2d2-X2≥0  adică  |X|≤d2  (dacă nu Da<0)=-(d2+X2)+d2(d2+4X2)=d2{1+4(Xd)2-[1+(Xd)2]}{\ displaystyle {\ begin {align} Y & = - (d ^ {2} + x ^ {2}) + {\ sqrt {(d ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2} + x ^ {2} (2d ^ {2} -x ^ {2})}} ~~ {\ text {cu condiția ca}} ~ 2d ^ {2} -x ^ {2} \ geq 0 ~~ {\ text { c.}} ~~ | x | \ leq d {\ sqrt {2}} ~~ ({\ text {else}} ~ Y \! <0) \\ & = - (d ^ {2} + x ^ {2}) + {\ sqrt {d ^ {2} (d ^ {2} + 4x ^ {2})}} \\ & = d ^ {2} \ left \ {{\ sqrt {1 + 4 \ left ({\ frac {x} {d}} \ right) ^ {2}}} - \ left [1+ \ left ({\ frac {x} {d}} \ right) ^ {2} \ right] \ right \} \ end {align}}}

de unde deducem y scriind  y=±Da.{\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {Y}}.}

dar este, în general, mai convenabil să se manipuleze ecuația implicită decât să se utilizeze această expresie explicită a lui y .

Reprezentări parametrice

Pornind de la ecuația în coordonate polare ρ 2 = 2 d 2 cos2 θ putem reprezenta lemniscatul lui Bernoulli prin următoarele două ecuații, luând unghiul polar θ ca parametru  :

{X=dcos⁡θ2cos⁡2θy=dpăcat⁡θ2cos⁡2θ{\ displaystyle {\ begin {cases} x = d \, \ cos \ theta \, {\ sqrt {2 \ cos 2 \ theta}} \\ y = d \, \ sin \ theta \, {\ sqrt {2 \ cos 2 \ theta}} \ end {cases}}} Demonstrație

Trecem de la coordonatele polare la coordonatele carteziene prin relațiile x = ρ cos θ și y = ρ sin θ . Din ρ 2 = 2 d 2 cos2 θ deducem | ρ | . Putem păstra doar valoarea pozitivă, deoarece este echivalentă cu schimbarea semnului lui ρ sau cu creșterea lui θ cu π .

Cu toate acestea, această reprezentare are dezavantajul că, pentru a călători prin lemniscat odată este necesar să variați θ de la –π / 4 la + π / 4 apoi de la 5π / 4 la 3π / 4 , o variație care nu este nici continuă, nici monotonă .

O reprezentare parametrică mai bună este dată de:

{X=d2păcat⁡φ1+cos2⁡φy=d2păcat⁡φcos⁡φ1+cos2⁡φ{\ displaystyle {\ begin {cases} x = d {\ sqrt {2}} \; {\ dfrac {\ sin \ varphi} {1+ \ cos ^ {2} \ varphi}} \\\\ y = d {\ sqrt {2}} \; {\ dfrac {\ sin \ varphi \ cos \ varphi} {1+ \ cos ^ {2} \ varphi}} \ end {cases}}} Demonstrație

Să începem de la reprezentarea anterioară și să exprimăm totul în funcție de tan θ (vezi de exemplu articolul Identitate trigonometrică ):

cos⁡θ=11+bronzat2⁡θ, păcat⁡θ=bronzat⁡θ1+bronzat2⁡θ, cos⁡2θ=1-bronzat2⁡θ1+bronzat2⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}, ~ \ sin \ theta = {\ frac {\ tan \ theta} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}, ~ \ cos 2 \ theta = {\ frac {1- \ tan ^ {2} \ theta} {1+ \ tan ^ {2} \ theta}} }

prin urmare:

X=d21-bronzat2⁡θ1+bronzat2⁡θ, y=d2bronzat⁡θ1-bronzat2⁡θ1+bronzat2⁡θ{\ displaystyle x = d {\ sqrt {2}} \; {\ frac {\ sqrt {1- \ tan ^ {2} \ theta}} {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}, ~ y = d {\ sqrt {2}} \; {\ frac {\ tan \ theta \, {\ sqrt {1- \ tan ^ {2} \ theta}}} {1+ \ tan ^ {2} \ theta} }}

Fie cos φ = tan θ  :

X=d21-cos2⁡φ1+cos2⁡φ, y=d2cos⁡φ1-cos2⁡φ1+cos2⁡φ{\ displaystyle x = d {\ sqrt {2}} \; {\ frac {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ varphi}} {1+ \ cos ^ {2} \ varphi}}, ~ y = d {\ sqrt {2}} \; {\ frac {\ cos \ varphi \, {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ varphi}}} {1+ \ cos ^ {2} \ varphi} }}

Rămâne doar de înlocuit     cu  1-cos2⁡φ{\ displaystyle {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ varphi}}}păcat⁡φ.{\ displaystyle \ sin \ varphi.}

Lemniscatul este parcurs o singură dată variind φ de la - π la + π . Parametrul φ este direct legat de unghiul polar prin relația cos φ = tan θ sau θ = arctan (cos φ ) .

De asemenea, putem converti reprezentarea anterioară, trigonometrică , într-o reprezentare parametrică rațională  :

{X=d2t+t31+t4y=d2t-t31+t4 .{\ displaystyle {\ begin {cases} x = d {\ sqrt {2}} \; {\ dfrac {t + t ^ {3}} {1 + t ^ {4}}} \\\\ y = d {\ sqrt {2}} \; {\ dfrac {tt ^ {3}} {1 + t ^ {4}}} ~. \ end {cases}}} Demonstrație

Să începem de la reprezentarea anterioară și să exprimăm totul în funcție de t = tan ( φ / 2) (vezi de exemplu articolul Identitate trigonometrică ):

păcat⁡φ=2t1+t2, cos⁡φ=1-t21+t2, 1+cos2⁡φ=2(1+t4)(1+t2)2{\ displaystyle \ sin \ varphi = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, ~ \ cos \ varphi = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2 }}}, ~ 1 + \ cos ^ {2} \ varphi = {\ frac {2 (1 + t ^ {4})} {(1 + t ^ {2}) ^ {2}}}}

prin urmare:

X=d2t(1+t2)1+t4, y=d2t(1-t2)1+t4.{\ displaystyle x = d {\ sqrt {2}} \; {\ frac {t (1 + t ^ {2})} {1 + t ^ {4}}}, ~ y = d {\ sqrt {2 }} \; {\ frac {t (1-t ^ {2})} {1 + t ^ {4}}}.}

Lemniscatul este parcurs o singură dată variind t de la –∞ la + ∞ . Parametrul t este direct legat de unghiul φ prin relația t = tan ( φ / 2) .

Prin intermediul semi-axei OA = a

Majoritatea ecuațiilor anterioare sunt puțin mai simple și mai naturale dacă se pune   (jumătate de axă a lemniscatului). la=d2{\ displaystyle a = d \, {\ sqrt {2}}}

În coordonatele polare (axa polară fiind OA ), lemniscatul lui Bernoulli admite ca o ecuație:

ρ2=la2cos⁡2θ (-π4≤θ[π]≤+π4).{\ displaystyle \ rho ^ {2} = a ^ {2} \ cos {2 \ theta} ~ \ left (- {\ tfrac {\ pi} {4}} \ leq \ theta \, [\ pi] \ leq + {\ tfrac {\ pi} {4}} \ right).}

În coordonatele carteziene (axa x fiind OA ), lemniscatul lui Bernoulli are ecuația (implicită)  :

(X2+y2)2=la2(X2-y2).{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = a ^ {2} \, (x ^ {2} -y ^ {2}).}

Abscisa x descrie intervalul [- a , a ] (limitele sunt atinse pentru y = 0 ). Ordonanța y descrie intervalul (pentru că limitele sunt atinse  ). Jumătatea distanței focale este[-la22,la22] {\ displaystyle \ left [- {\ tfrac {a} {2 {\ sqrt {2}}}}, {\ tfrac {a} {2 {\ sqrt {2}}}} \ right] ~}X=±la64{\ displaystyle x = \ pm \, a \, {\ tfrac {\ sqrt {6}} {4}}}OF=OF′=la2.{\ displaystyle \ mathrm {OF} = \ mathrm {OF '} = {\ tfrac {a} {\ sqrt {2}}}.}

Este posibil să explicăm y în funcție de x  :

y=±la21+8(Xla)2-[1+2(Xla)2]  (|X|≤la){\ displaystyle y = \ pm \, {\ frac {a} {\ sqrt {2}}} \, {\ sqrt {{\ sqrt {1 + 8 \ left ({\ frac {x} {a}} \ dreapta) ^ {2}}} - \ left [1 + 2 \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} \ right]}} ~~ (| x | \ leq a) }

dar este, în general, mai convenabil să se manipuleze ecuația implicită decât să se utilizeze această expresie explicită a lui y .

Reprezentări parametrice

Pornind de la ecuația în coordonate polare ρ 2 = a 2 cos2 θ putem reprezenta lemniscatul lui Bernoulli prin următoarele două ecuații, luând unghiul polar θ ca parametru  :

{X=lacos⁡θcos⁡2θy=lapăcat⁡θcos⁡2θ{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \, \ cos \ theta \, {\ sqrt {\ cos 2 \ theta}} \\ y = a \, \ sin \ theta \, {\ sqrt {\ cos 2 \ theta}} \ end {cases}}}

Cu toate acestea, această reprezentare are dezavantajul că, pentru a călători prin lemniscat odată este necesar să variați θ de la –π / 4 la + π / 4 apoi de la 5π / 4 la 3π / 4 , o variație care nu este nici continuă, nici monotonă .

O reprezentare parametrică mai bună este dată de:

{X=lapăcat⁡φ1+cos2⁡φy=lapăcat⁡φcos⁡φ1+cos2⁡φ{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \; {\ dfrac {\ sin \ varphi} {1+ \ cos ^ {2} \ varphi}} \\\\ y = a \; {\ dfrac {\ sin \ varphi \ cos \ varphi} {1+ \ cos ^ {2} \ varphi}} \ end {cases}}}

Lemniscatul este parcurs o singură dată variind φ de la - π la + π . Parametrul φ este direct legat de unghiul polar prin relația cos φ = tan θ sau θ = arctan (cos φ ) .

De asemenea, putem converti reprezentarea anterioară, trigonometrică , într-o reprezentare parametrică rațională  :

{X=lat+t31+t4y=lat-t31+t4 .{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \; {\ dfrac {t + t ^ {3}} {1 + t ^ {4}}} \\\\ y = a \; {\ dfrac {tt ^ {3}} {1 + t ^ {4}}} ~. \ End {cases}}}

Lemniscatul este parcurs o singură dată variind t de la –∞ la + ∞ . Parametrul t este direct legat de unghiul φ prin relația t = tan ( φ / 2) .

Proprietăți

Lungime

Lungimea lemniscatului lui Bernoulli este:

L=2πlaM(1,2)=4la∫01dt1-t4=22K(12)la=(Γ⁡(1/4))22πla≃5.24412la{\ displaystyle L = {\ frac {2 \ pi \, a} {M (1, {\ sqrt {2}})}} = 4a \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm { d} t} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}} = 2 {\ sqrt {2}} \, K \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right) \, a = {\ frac {\ left (\ operatorname {\ Gamma} (1/4) \ right) ^ {2}} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, a \ simeq 5 {,} 24412 \,la}

unde M ( u , v ) denotă media aritmetico-geometrică a două numere u și v , este o integrală eliptică de primul fel și Γ este funcția gamma . K(1/2){\ displaystyle K (1 / {\ sqrt {2}})}

Zonă

Zona delimitată de lemniscatul lui Bernoulli merită:

S=la2=2d2.{\ displaystyle S = a ^ {2} = 2d ^ {2}.}

Pătrat lemniscatul: imposibil pentru cerc , pătratul exact este posibil pentru lemniscatul lui Bernoulli. Aria sa este de fapt egală cu cea a două pătrate egale (partea pătratelor fiind distanța dintre centru și un focar al lemniscatului). Această zonă este, de asemenea, egală cu aria unui pătrat a cărui latură este distanța dintre centrul unui vârf al lemniscatului.

Curbați familiile

Lemniscatul lui Bernoulli este un caz special de ovalul lui Cassini , lemniscatul lui Booth , spirala sinusoidală și spirala Perseus .

Relația cu hiperbola echilaterală

Poalele unui hiperbolă echilateral în ceea ce privește centrul său este un Bernoulli lemniscate.

Simbolul infinitului?

Lemniscatul lui Bernoulli este adesea gândit ca o curbă care rulează la nesfârșit. Această caracteristică a lemniscatului ar fi la originea simbolului infinitului , ∞ , dar o altă versiune contrazice această ipoteză, invenția simbolului fiind atribuită matematicianului John Wallis , contemporan al lui Bernoulli.

Note și referințe

Note

1. Această distanță OF = OF 'este, de asemenea, egală cu diametrul mic al feretului lemniscatului, adică la grosimea sa perpendiculară pe direcția F'OF.

Referințe

1. (în) Eric W. Weisstein , „  Lemniscate  ” pe MathWorld .
2. John Wallis, De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus (1655), secțiunea I, Prop. 1, p. 4.

Vezi și tu

• Funcția lemniscatică

linkuri externe

• O privire asupra lemniscatului lui Bernoulli, pe site-ul CNRS .
• Lemniscate de Bernoulli, pe MathCurve .
• (ro) Eric W. Weisstein , „  Lemniscate  ” , pe MathWorld