Media aritmetico-geometrică
Media aritmetico-geometrică a două reale pozitive este o valoare intermediară obținută ca limită a două secvențe adiacente care satisfac o relație de recurență care utilizează formulele mijloacelor aritmetice și geometrice .
Convergența pătratic acestor secvențe permite o rapidă aproximare a mediei aritmetice-geometrice , care este în special asociat cu lungimea unei elipse în funcție de lungimile axelor.
Definiție
Având în vedere două reale pozitive și , definim două secvențe pozitive și , de primii termeni , și satisfacerea relațiilor de recurență:
la{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}(tunu){\ displaystyle (u_ {n})}(vnu){\ displaystyle (v_ {n})}tu0=la{\ displaystyle u_ {0} = a}v0=b{\ displaystyle v_ {0} = b}
tunu+1=tunuvnu{\ displaystyle u_ {n + 1} = {\ sqrt {u_ {n} v_ {n}}}}
vnu+1=tunu+vnu2{\ displaystyle v_ {n + 1} = {\ frac {u_ {n} + v_ {n}} {2}}}.
Cele două suite și sunt adiacente :
(tunu)nu≥1{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geq 1}}(vnu)nu≥1{\ displaystyle (v_ {n}) _ {n \ geq 1}}vnu≥tunu{\ displaystyle v_ {n} \ geq u_ {n}}pentru toți (pentru că ), deci crește ( ), scade ( ) și așa .nu≥1{\ displaystyle n \ geq 1}vnu+1-tunu+1=(vnu-tunu)22{\ displaystyle v_ {n + 1} -u_ {n + 1} = {\ frac {({\ sqrt {v_ {n}}} - {\ sqrt {u_ {n}}}) ^ {2}} { 2}}}(tunu)nu≥1{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geq 1}}tunu+1≥tunu{\ displaystyle u_ {n + 1} \ geq u_ {n}}(vnu)nu≥1{\ displaystyle (v_ {n}) _ {n \ geq 1}}vnu+1≤vnu{\ displaystyle v_ {n + 1} \ leq v_ {n}}
0≤vnu+1-tunu+1≤vnu+1-tunu=vnu-tunu2{\ displaystyle 0 \ leq v_ {n + 1} -u_ {n + 1} \ leq v_ {n + 1} -u_ {n} = {\ frac {v_ {n} -u_ {n}} {2} }}vnu-tunu→0{\ displaystyle v_ {n} -u_ {n} \ to 0}
Conform teoremei secvențelor adiacente și , prin urmare, au o limită comună ,, numită medie aritmetico-geometrică a lui și .
(tunu){\ displaystyle (u_ {n})}(vnu){\ displaystyle (v_ {n})}M(la,b){\ displaystyle M (a, b)}la{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
Media aritmetico-geometrică este într-adevăr o medie
Având în vedere două realități pozitive și , arătăm că:
la{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
-
M(la,b)=M(la+b2,lab){\ displaystyle M (a, b) = M \ left ({\ frac {a + b} {2}}, {\ sqrt {ab}} \ right)} ;
- prin urmare ,;M(la,b)=M(b,la){\ displaystyle M (a, b) = M (b, a)}
- direct din definiția pentru că , . Această proprietate, alăturată celei precedente, înseamnă că media aritmetico-geometrică este (la fel ca toate celelalte mijloace) o funcție simetrică și omogenă de ordinul 1 în și ;t≥0{\ displaystyle t \ geq 0}M(tla,tb)=tM(la,b){\ displaystyle M (ta, tb) = tM (a, b)}la{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
-
min(la,b)≤lab≤M(la,b)≤la+b2≤max(la,b){\ displaystyle \ min (a, b) \ leq {\ sqrt {ab}} \ leq M (a, b) \ leq {\ frac {a + b} {2}} \ leq \ max (a, b) }, egalitatea apare doar atunci când .la=b{\ displaystyle a = b}
Viteza convergenței
Să presupunem și să presupunem .
0<b≤la{\ displaystyle 0 <b \ leq a}vs.nu: =vnu-tunu{\ displaystyle c_ {n}: = v_ {n} -u_ {n}}
Din creștere rezultă
că acest proces are convergență pătratică .
vs.nu+1=(vnu-tunu)22(vnu+tunu)2≤vs.nu28b{\ displaystyle c_ {n + 1} = {\ frac {(v_ {n} -u_ {n}) ^ {2}} {2 ({\ sqrt {v_ {n}}} + {\ sqrt {u_ { n}}}) ^ {2}}} \ leq {\ frac {c_ {n} ^ {2}} {8b}}}
Relația cu o integrală eliptică
Gauss a stabilit o relație între și o integrală eliptică de primul fel :
M(la,b){\ displaystyle M (a, b)}
M(la,b)=π2/∫0π2dθla2cos2θ+b2păcat2θ=π4⋅la+bK(la-bla+b){\ displaystyle {\ begin {align} M (a, b) & = {\ frac {\ pi} {2}} {\ bigg /} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2} } {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} \\ & = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot {\ frac {a + b} {K \ left ({\ frac {ab} {a + b}} \ right)}} \ end {align}}}unde K ( k ) este integrala eliptică de primul fel:
K(k)=∫0π2dθ1-k2păcat2(θ){\ displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2 } (\ theta)}}}}El a arătat de fapt că integralul verifică și relația . Prin urmare, avem, prin inducție la n , unde u n și v n sunt secvențe aritmetice-geometrice legate de o și b . Apoi, trecând la limită .
Eu(la,b)=∫0π2dθla2cos2θ+b2păcat2θ{\ displaystyle I (a, b) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2 } \ theta + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}}Eu(la,b)=Eu(la+b2,lab){\ displaystyle I (a, b) = I \ left ({\ frac {a + b} {2}}, {\ sqrt {ab}} \ right)}Eu(la,b)=Eu(tunu,vnu){\ displaystyle I (a, b) = I (u_ {n}, v_ {n})}Eu(la,b)=Eu(M(la,b),M(la,b))=π2M(la,b){\ displaystyle I (a, b) = I (M (a, b), M (a, b)) = {\ frac {\ pi} {2M (a, b)}}}
Relația gaussiană și viteza convergenței celor două secvențe aritmetico-geometrice spre medie oferă un mijloc rapid de calcul numeric precis aproximativ al valorii integralei eliptice .
M(la,b){\ displaystyle M (a, b)}Eu(la,b){\ displaystyle I (a, b)}
Istorie
Media aritmetico-geometrică a fost descoperită independent de matematicienii Adrien-Marie Legendre, apoi de Carl Friedrich Gauss, care a folosit-o pentru a calcula într-un mod aproximativ lungimea arcului oricărei elipse, care este exprimată ca o integrală eliptică și chiar se află la originea interesului pentru acest domeniu de analiză. Analizând relația dintre media aritmetică integralele-geometrice și eliptice de 1 st fel, Gauss, în lui Cahiers matematice a atras atenția asupra relației ( care dă lungimea arcului unei lemniscate Bernoulli )
.
π2M(1,2)=∫01dt1-t4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2M (1, {\ sqrt {2}})}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}}}
Note și referințe
Note
-
Vezi, de exemplu, discursul de John Boxall , „ Media aritmetico-geometrică: aplicații și generalizări ” , despre Biblioteca educațională .
-
A se vedea articolul Media generalizată .
-
Cf. Carl Friedrich Gauss , Mathematisches Tagebuch 1796–1814: cu o introducere istorică de Kurt-R. Biermann , Frankfurt pe Main, Harri Deutsch, col. „Klassiker der Ostwalds exakten Wissenschaften” ( nr . 256) ( repr. 2005, ediția a 5- a , revizuită și adnotată de Hans Wussing și Olaf Neumann), „98 (Brunswick, 30 mai 1798)” : „ Terminum medium arithmetico-geometricum inter 1 et esse usque ad figuram undecimam comprobavimus, qua re demonstrata prorsus novus campus in analysi certo aperietur. 2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}=πϖ{\ displaystyle = {\ frac {\ pi} {\ varpi}}} „ De acolo , constanta lemniscatului studiată de Gauss.ϖ: =2∫01dt1-t4{\ displaystyle \ varpi: = 2 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dt} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}}}
Bibliografie
(en) ET Whittaker și GN Watson , Un curs de analiză modernă (en) , Cambridge, col. „Biblioteca matematică Cambridge”,2000, A 4- a ed. ( 1 st ed. 1927), p. 515
Link extern
Antoine Chambert-Loir , „ Destinul fabulos al mediei aritmetico-geometrice ” , la Departamentul de Matematică din Orsay
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">