În matematică , o ecuație între diferite variabile în care o variabilă nu este explicată în raport cu celelalte se numește ecuație implicită . O funcție implicită este o funcție care este dedusă implicit dintr-o astfel de ecuație.
Mai exact dacă f este o funcție a lui E × F în G, unde E, F și G sunt spații vectoriale normalizate sau mai simplu intervale de R , ecuația f ( x , y ) = 0 definește o funcție implicită dacă se poate exprimă una dintre variabile în funcție de cealaltă pentru toate perechile ( x , y ) care satisfac ecuația.
Sau din nou, ecuația f ( x , y ) = 0 definește o funcție implicită de la E la F, dacă există o așa-numită funcție implicită φ astfel încât, pentru toate ( x , y ) de la E × F, f ( x , y ) = 0 este echivalent cu y = φ ( x ) . Aceasta înseamnă a spune că graficul relației binare: x R y if f ( x , y ) = 0 este graficul unei funcții.
Uneori este posibil să se demonstreze existența locală a unei funcții implicite pentru o ecuație care afectează două variabile reale, fără a o explica în mod explicit, condițiile suficiente de existență și unicitatea unei astfel de funcții sunt detaliate în articol: teorema funcțiilor implicite .
Uneori este posibil și mai simplu să se obțină o funcție implicită în forma sa neexplicită.
Dacă f este o funcție numerică a două variabile reale, continuă în vecinătatea lui ( x 0 , y 0 ) și diferențiată în ( x 0 , y 0 ) , iar dacă derivata parțială a lui f față de a doua variabilă este continuă și nu dispare în ( x 0 , y 0 ) , derivata lui φ în x 0 este:
Această formulă poate fi explicată notând că gradientul lui f la ( x 0 , y 0 ) are pentru coordonate:
și indică direcția celei mai mari variații a lui f , în timp ce vectorul ceea ce este normal pentru aceasta indică direcția variației zero, adică direcția tangentei la curba ecuației f ( x , y ) = 0 .
Exemplu: ecuația x 2 + y 2 = 1 este asociată cu funcția f : ( x , y ) → x 2 + y 2 - 1 care este din clasa C 1 , adică este diferențial diferențial continuu. La fel de și , pentru orice punct ( x 0 , y 0 ) , cu y 0 = φ ( x 0 ) nu zero, avem
O astfel de derivare poate fi utilă în cazul în care funcția este imposibil de explicat
Exemplu: Ecuația y 5 + x 2 y + 2 = 0 este asociată cu o funcție f din clasa C 1 . Graficul ecuației este cel al unei funcții, deoarece, pentru orice valoare a lui x, există cel mult o valoare a lui care face ca egalitatea să fie adevărată. La fel de și pentru orice punct ( x 0 , y 0 ) , cu y 0 = φ ( x 0 ) , avem În special, pentru x0 = 1 și y0 = –1 , φ ' (1) = 1/3