K -topologie

În matematică , K -topology sau Smirnov topologie a secvenței suprimată , este o anumită topologie pe ℝ set de numere reale , mai fină decât topologia uzuală și pentru care setul K al inversele de diferite de zero întregi naturale este închis ( întrucât pentru topologia obișnuită, 0 , care nu aparține lui K , este un punct de acumulare al lui K ). Alte proprietăți remarcabile ale acestui spațiu îl fac un contraexemplu util în topologia generală .

Definiție

Fie K = {1 / n | n ∈ ℕ *}. Familia tuturor intervalelor reale deschise ] a , b [și toate seturile de forma ] a , b [\ K formează o bază topologie . Topologia generată de această familie se numește K -topologie pe ℝ și acest spațiu topologic este notat aici ℝ K .

Proprietăți

• Această topologie este mai fină decât topologia obișnuită pe ℝ (prin urmare este separată și chiar de Urysohn ca aceasta), dar nu este comparabilă cu topologia liniei Sorgenfrey .
• Are o bază numărabilă (deci separabilă , cu baze numărabile ale cartierelor și Lindelöf ).
• Spațiul ℝ K este conectat , dar nu este conectat prin arcuri, deoarece are două componente conectate prin arcuri: ] −∞, 0] și ] 0, + ∞ [ .
• Prin urmare, nu este conectat local prin arcuri .
• Mai mult, nici măcar nu este conectat local la 0 (ci este în orice alt punct).
• Partea K este infinită și fără punct de acumulare, prin urmare ℝ K nu este compact în mod considerabil (de aceea nici compactă secvențial , deoarece are o bază numărabilă).
• În mod similar, niciun sub spațiu care conține K (precum segmentul [0, 1]) nu este considerabil compact.
• Spațiul coeficient ℝ K / K nu este separat.
• ℝ K nu este regulat ( K închis și punctul 0 nu sunt separate  (în) de două deschideri disjuncte ), dar este un spațiu G δ .
• Nu este paracompact (deoarece nu este normal ), ci doar metacompact  (en) .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia engleză intitulat „  K-topologie  ” ( vezi lista autorilor ) .

1. (ro) James Munkres , Topologie , Prentice Hall ,2000, A 2 -a  ed. ( 1 st  ed. 1975), 537  p. ( ISBN  978-0-13-181629-9 , citit online ) , p.  82 : „  Topologia generată de ℬ“ va fi numit A expirat K-topologia este ℝ. Când ℝ este Având în vedere această topologie, vom nota cu ℝ K .  "
2. (în) Lynn Arthur Steen și J. Arthur Seebach, Jr. , contraexemple în topologie , Dover ,1995( 1 st  ed. Springer , 1978), 244  p. ( ISBN  978-0-486-68735-3 , citit online ), Contraexemplul 64: "  Topologia secvenței șterse a lui Smirnov  "
3. Este de fapt singurul.