Conectivitate prin arcuri

În matematică și mai ales în topologie , conectivitatea prin arcuri este un rafinament al noțiunii de conectivitate . Se spune că un spațiu topologic este conectat prin arcuri dacă oricare două puncte pot fi întotdeauna conectate printr-o cale . Deși conectivitatea este noțiunea fundamentală, conectivitatea prin arcuri este mai intuitivă și foarte des se găsește cea mai bună modalitate de a dovedi conexiunea.

Căi

Înainte de a defini conectivitatea prin arcuri, este necesar să definiți ceea ce se numește „conectați-vă printr-o cale”. În funcție de setarea în care te găsești, poți lua în considerare anumite căi.

Dacă E este un spațiu topologic și dacă x și y sunt două puncte ale lui E , numim originea x și calea finală y orice hartă continuă astfel încât și . γ:[0,1]→E{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow E}γ(0)=X{\ displaystyle \ gamma (0) = x}γ(1)=y{\ displaystyle \ gamma (1) = y}

Spunem că x și y sunt conectate dacă există o cale de origine x și sfârșitul y .

Relația „  x este conectat la y  “ este o relație de echivalență pe E , ale cărei clase de echivalență sunt numite componente legate de arce de E .

Demonstrație

• x este legat de x , datorită căii constante pentru toate;γ(t)=X{\ displaystyle \ gamma (t) = x}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}
• dacă x este legat de y, atunci y este legat de x , datorită căii opuse pentru toate  ;γ¯(t)=γ(1-t){\ displaystyle {\ overline {\ gamma}} (t) = \ gamma (1-t)}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}
• dacă x este legat de y și y este legat de z atunci x este legat de z . Într-adevăr, dacă conectează x la y și conectează y la z, atunci calea compusă definită de si și si conectează x la z .γ1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}γ2{\ displaystyle \ gamma _ {2}} γ=γ2⋆γ1{\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {2} \ star \ gamma _ {1}}γ(t)=γ1(2t){\ displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {1} (2t)}0≤t≤1/2{\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1/2}γ(t)=γ2(2t-1){\ displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {2} (2t-1)}1/2≤t≤1{\ displaystyle 1/2 \ leq t \ leq 1}

Căi într-un spațiu vector normalizat

Dacă spațiul ambiental E este un spațiu vector normalizat , se poate specifica natura căilor care leagă punctele.

• Căi drepte: se spune că o cale este dreaptă dacă poate fi scrisă pentru orice . Vectorul se numește vectorul director al . Suportul traseului este apoi un segment de linie.γ(t)=X+ttu→{\ displaystyle \ gamma (t) = x + t {\ vec {u}}}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}γ{\ displaystyle \ gamma}
• Căi poligonale: se spune că o cale este poligonală dacă este scrisă ca un compus dintr-un număr finit de căi rectilinii. De exemplu, o plimbare în Manhattan este o cale poligonală.
• Căi de clasă  : o cale poate fi de clasă cu . De fapt, orice cale este de clasă, adică continuă, dar putem avea niveluri mai ridicate de regularitate. O cale de clasă , cu va fi spus să fie mai regulat în cazul în care pentru tot . Se spune că o cale obișnuită de clasă este o cale netedă .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈NU{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}VS0{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈NU∗{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}γ′(t)≠0{\ displaystyle \ gamma '(t) \ neq 0}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}

Conectivitate prin arcuri

Aceste diferite tipuri de căi vor face posibilă definirea diferitelor tipuri de conectivitate prin arcuri, în funcție de caz.

Definiție

Un spațiu topologic E se spune calea de legătură în cazul în care fiecare pereche de puncte E este conectat printr - o cale în care suportul este inclus în E .

Partea A a E (furnizat cu topologia indusă ) este calea conectată dacă și numai dacă fiecare pereche de puncte de A este conectat printr - o cale care rămâne în A .

O parte A a unui spațiu vector normalizat se spune că este conectată prin arcuri poligonale (respectiv prin arcuriVSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} ) dacă oricare două puncte ale lui A pot fi conectate printr-o cale poligonală (respectiv de clasă ). VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Exemple

• Într-un spațiu vector normalizat, o parte convexă sau stelară este conectată prin arcuri.
• Un cerc este conectat prin arcuri, dar nu prin arcuri poligonale.VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Un pătrat este conectat prin arcuri poligonale, dar nu prin arcuri .VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Avionul privat de o parte numărabil (sau chiar „  numai  “ care nu are puterea continuului ) este conectat prin arce poligonale și prin arce C ∞ .
• Grupul special ortogonal SO ( n , ℝ) și grupul liniar general GL ( n , ℂ) sunt conectate prin arcuri (pentru topologia indusă de o normă pe M n (ℂ)).
• Grupul liniar general GL ( n , ℝ) are două componente conectate prin arcuri.

Legătură cu conexiunea

Orice spațiu conectat prin arcuri este conectat , dar inversul este fals. Iată un contraexemplu clasic. Definim o funcție f prin

f:]0,1]→RX↦păcat⁡(1X).{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: &] 0,1] & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ dreapta). \ end {matrix}}}

Această funcție este continuă pe] 0, 1]. Notăm prin Γ său grafic și C adeziunea de Γ: Γ={(X,f(X))|X∈]0,1]},VS=Γ¯=Γ∪({0}×[-1,1]).{\ displaystyle \ Gamma = \ {(x, f (x)) | x \ in] 0,1] \}, \ quad C = {\ overline {\ Gamma}} = \ Gamma \ cup \ left (\ { 0 \} \ ori [-1,1] \ dreapta).}

Apoi connected este conectat (ca grafic al unei funcții continue pe un interval real ) deci aderența sa C , dar C nu este conectată prin arcuri.

La fel, curba sinusoidală a topologului Γ ∪ {(0, 0)} este conectată, dar nu este conectată prin arcuri.

In orice caz:

• în ℝ , prevăzut cu topologia obișnuită, părțile conectate ( intervalele ) sunt conectate prin arcuri;
• mai general, orice spațiu conectat și conectat local prin arcuri (de exemplu: orice spațiu deschis conectat al unui spațiu vector normalizat, cum ar fi spațiul euclidian ) este conectat prin arcuri.

Legătură cu continuitatea

Conectivitatea prin arcuri, precum conectivitatea, este conservată prin mapări continue . Dacă este o hartă continuă între două spații topologice și dacă spațiul de pornire E este conectat prin arcuri, atunci imaginea sa f ( E ) este conectată prin arcuri. f:E→F{\ displaystyle f: E \ rightarrow F}

Demonstrație

Dacă , atunci există a și b în E astfel încât și . Spațiul E fiind conectat prin arcuri, există o cale care leagă a la b . Harta compus este continuă și se conectează x la y , care arată că f ( X ) este conectat prin arce. (X,y)∈f(E)2{\ displaystyle (x, y) \ în f (E) ^ {2}}X=f(la){\ displaystyle x = f (a)}y=f(b){\ displaystyle y = f (b)}γ:[0,1]→X{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow X} γ′=f∘γ:[0,1]→f(E){\ displaystyle \ gamma '= f \ circ \ gamma: [0,1] \ rightarrow f (E)}

Avem rezultate similare pentru tipurile mai specifice de conectare prin arcuri:

• conexiunea prin arcuri poligonale este păstrată de hărțile liniare și de hărțile afine  ;
• legătura prin arcuri este păstrată de - difeomorfisme .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Produs

Orice produs al spațiilor conectate prin arcuri este conectat prin arcuri.

Într-adevăr, dacă x și y sunt două puncte ale și dacă sunt conectate prin arcuri, există pentru fiecare index i o cale cu valori astfel încât: , . Calea definită de atunci unește x cu y . E=∏eu∈EuEeu{\ displaystyle E = \ prod _ {i \ in I} E_ {i}}Eeu{\ displaystyle E_ {i}}γeu{\ displaystyle \ gamma _ {i}}Eeu{\ displaystyle E_ {i}}γeu(0)=Xeu{\ displaystyle \ gamma _ {i} (0) = x_ {i}}γeu(1)=yeu{\ displaystyle \ gamma _ {i} (1) = y_ {i}}γ:[0,1]→E{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ to E}γ(t)=(γeu(t))eu∈Eu{\ displaystyle \ gamma (t) = (\ gamma _ {i} (t)) _ {i \ in I}}

Notă

1. Vezi de exemplu acest exercițiu corectat pe Wikiversitate .

Vezi și tu

Conectivitate simplă

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">