Homeomorfism

In topologie , un homeomorphism se aplica bijective continuu , un spațiu topologic la altul, bijectie inversă este continuă. În acest caz, se spune că cele două spații topologice sunt homeomorfe .

Noțiunea de homeomorphism este noțiunea dreptul de a spune că două spații topologice sunt „la fel“ văzut în mod diferit. Acesta este motivul pentru care homeomorfismele sunt izomorfisme din categoria spațiilor topologice .

Proprietăți

O bijecție continuă este un homeomorfism dacă și numai dacă este deschisă sau închisă (este atunci ambele).
Fie K un spațiu topologic compact , E un spațiu topologic separat și f: K → E o bijecție continuă. Atunci f este un homeomorfism. În special, E este un compact.Într-adevăr, orice F închis al lui K este compact; ca E este separat, imaginea F prin f este compact, a fortiori închis în E . Prin urmare, f este o bijecție continuă închisă, adică un homeomorfism prin punctul anterior.
O bijecție continuă nu este întotdeauna un homeomorfism (a se vedea articolul Compararea topologiilor ). De exemplu, aplicația ${\ displaystyle f: \ left [0,2 \ pi \ right [\ to S ^ {1}, ~ t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}$ este o bijecție continuă, dar reciprocă nu este continuă la $(1, 0)$ . De fapt, nu există homeomorfism între cercul $S 1$ și o parte a lui ℝ (prin argumente de conectivitate sau conexiune simplă ).

Definiții asociate

O hartă f : X → Y este un homeomorfism local (în) dacă orice punct al lui X aparține unui V deschis astfel încât f ( V ) este deschis în Y și că f dă, prin restricție , un homeomorfism al lui V pe f ( V ). O astfel de aplicație este continuă și deschisă.

Exemple

Orice acoperire este un homeomorfism local.
Pentru orice X deschis de Y , includerea X → Y este un homeomorfism local.
Orice compus X → Z al homeomorfismelor locale X → Y și Y → Z este un homeomorfism local.
Orice unire disjunctă ∐ i ∈ I X i → Y a homeomorfismelor locale X i → Y este un homeomorfism local.
Orice coeficient X / ~ → Y al unui homeomorfism local X → Y printr-o relație de echivalență compatibilă și deschisă ~ este un homeomorfism local. (Cf. „ linia reală cu un punct dublu ”.)
Orice difeomorfism local de la o varietate la alta este un homeomorfism local.

O proprietate topologică este o proprietate invariantă de homeomorfisme.

Exemple

Tot difeomorfismul este homeomorfismul.
Riemann sfera privată de polul nord este homeomorf pe planul: o homeomorphism este aici proiecția stereografică .
Torul de dimensiune 1 și cercul unitate (sau oricare alt cerc de rază non-zero) sunt homeomorf.

Referinţă

Jacques Dixmier , Topologie generală , Paris, PUF ,nouăsprezece optzeci și unu, 164 p. ( ISBN 2-13-036647-3 , OCLC 417477300 ) , paragrafele 2.5 p. 31 și 4.2.16 p. 55.

Vezi și tu

Articole similare

Link extern

Homeomorfismul avionului pe un pătrat : animație pe GeoGebra însoțită de un exercițiu