Grup modular

În matematică , numim grup modular grupul PSL (2, ℤ), coeficientul de speciale de grup liniar SL (2, ℤ) de său centru { Id , -id}. Se identifică cu imaginea SL (2, ℤ) din grupul Lie PGL (2, ℝ) . De multe ori îl denotăm Γ (1) sau pur și simplu Γ.

Acțiune pe jumătatea planului Poincaré

Acest nume provine din acțiunea stângă și fidelă a lui Γ (1) prin omografii pe jumătatea planului Poincaré ℋ a numerelor complexe ale părții imaginare strict pozitive.

Această acțiune este doar restricția acțiunii PGL (2, ℂ) asupra liniei proiective complexe P 1 (ℂ) = ℂ ∪ { $\infty$ }: matricea acționează asupra lui P 1 (ℂ) prin transformarea Möbius care trimite $z$ către . În coordonate omogene , [ z : t ] este trimis către [ az + bt : cz + dt ]. $\ left ({\ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix}} \ right)$ ${\ frac {az + b} {cz + d}}$

Deoarece grupul PGL (2, ℝ) stabilizează linia proiectivă reală P 1 (ℝ) = ℝ ∪ { $\infty$ } din P 1 (ℂ), acest grup stabilizează și complementul. Deoarece PGL (2, ℝ) este conectat suplimentar , acesta stabilizează, de asemenea, fiecare dintre cele două componente ale P 1 (ℂ) \ P 1 (ℝ) , în special ℋ. Prin urmare, este același lucru pentru subgrupul modular Γ (1).

Acțiune pe discul Poincaré

Grupul PSU (1, 1) acționează prin omografii pe discul Poincaré, prin izometrii directe; cu toate acestea, grupul PSU (1, 1) este izomorf pentru grupul PSL (2, ℝ), deci acesta din urmă acționează pe discul Poincaré.

Reamintim că grupul special unitar SU (1, 1) este ansamblul elementelor SL (2, ℂ) lăsând invariantă o formă de semnătură hermitiană (1,1); SU (1, 1) poate fi văzut ca ansamblul matricilor în care $α$ și $β$ sunt numere complexe care satisfac relația $α$ 2 - $β$ 2 = 1. $\ left ({\ begin {matrix} \ alpha & \ beta \\\ overline {\ beta} & \ overline {\ alpha} \ end {matrix}} \ right)$

Curba modulara

Coeficientul semiplanului Poincaré de către grupul modular este suprafața Riemann Γ \ ℋ ("Gamma sub H"), adesea remarcată - care, conform convențiilor, poate fi considerată un abuz de notație - ℋ / Γ ("H pe Gamma ”).

Această suprafață Riemann este adesea numită curbă modulară , deoarece parametrează clasele de izomorfism ale curbelor eliptice complexe. De fapt, această curbă modulară este linia complexă ℂ. Fiecare complex eliptic curba E corespunde unui număr complex, un j -invariant , notat j ( E ) sau j E . Acest număr caracterizează curba eliptică E până la izomorfism. Se spune că este modulul său.

În orice punct $τ$ al semiplanului Poincaré asociem coeficientul toro E $τ$ = ℂ / (ℤ + $τ$ ℤ). Este o curbă eliptică. Prin urmare, putem considera modulul său j ( E $τ$ ). Obținem astfel o funcție de valoare complexă definită pe ℋ: este j -invariant. Este o funcție holomorfă pe ℋ. Deoarece E $τ$ depinde doar de rețeaua ℤ + $τ$ ℤ, funcția este constantă pe orbitele lui Γ: spunem că se deplasează pe acțiunea lui Γ. Astfel, funcția j induce trecând către coeficient o hartă a lui Γ \ ℋ în ℂ. Această hartă este bijectivă și biholomorfă, ceea ce justifică denumirea curbei modulare dată coeficientului Γ \ ℋ.

Prezentarea grupului modular

Grupul modular este generat de cele două transformări

S: z \ mapsto -1 / z {\ text {și}} T: z \ mapsto z + 1.

S este inversiune în raport cu cercul unitate, urmat de reflecția cu privire la linia Re ( z ) = 0 și
T acționează prin traducerea unei unități spre dreapta.

Același lucru este să spunem că Γ este generat de elementele S (de ordinul 2) și U = TS (de ordinul 3, care acționează prin z ↦ 1 - 1 / z ). Mai precis, cele două relații S 2 = 1 și U 3 = 1 genera toate relațiile dintre S și U . Apoi spunem că avem două prezentări ale grupului modular, date de generatori și relații, ale formei

\ Gamma \ simeq \ langle S, U \ mid S ^ {2}, U ^ {3} \ rangle \ simeq \ langle S, T \ mid S ^ {2}, (TS) ^ {3} \ rangle.

Formula acestui mijloc de mai sus că orice element al Γ este unic scris ca produs al S , U și U 2 , unde factorii U și U 2 sunt încă separate de factori S . De asemenea, spunem că grupul modular este produsul liber al subgrupului generat de S (izomorf la grupul ciclic C 2 de ordinul 2) de către subgrupul generat de U (izomorf la grupul ciclic C 3 de ordinul 3):

\ Gamma \ cong C_ {2} * C_ {3}.

Demonstrație

Să desemnăm prin aceleași litere „matricile” (în ±) reprezentative pentru S și T :

S = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad T = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}

și arată prin inducție pe c că orice matrice

A = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ in {{\ rm {SL}}} (2, \ mathbb {Z}) {\ text {cu}} c \ geq 0

este (aproape de ±) generate de S și T .

Dacă c = 0, atunci 1 = ad - bc = anunțul , prin urmare , a = d = ± 1 și A este în limitele de ± aproape, o putere T . Dacă c > 0, presupuneți că proprietatea este adevărată până la c - 1 și arătați-o pentru c . Să o = cq + r fi diviziunea euclidiană a unui prin c . Apoi, 0 ≤ r < c și

ST ^ {{- q}} A = {\ begin {pmatrix} -c & -d \\ r & b-qd \ end {pmatrix}}

Prin urmare , ținând cont de ipoteza de inducție, ST -q A este (în limitele de ±) generate de S și T , astfel încât A prea.

În grupul Γ, subgrupul generat de 〈S〉 = C 2 și 〈U〉 = C 3 este, prin urmare, egal cu întregul grup. Pentru a arăta că este produsul gratuit al lui 〈S〉 și 〈U〉, este suficient să se aplice aceeași tehnică ca în lema ping-pong (en) la

X_ {1} =] 0, + \ infty [{\ text {și}} X_ {2} =] - \ infty, 0 [,

folosind acel S ( X 1 ) ⊂ X 2 și U ( X 2 ), U 2 ( X 2 ) ⊂ X 1 .

Vezi și tu

Articole similare

SL 2 (ℝ) (ro)
Transformarea Möbius

linkuri externe

Frédéric Paulin, „ Grup modular, fracții continue și aproximare diofantină în caracteristica p ”, Geom. Dedicata , vol. 95,2002, p. 65-85 ( citiți online [ps] )
(ro) Gilles Lachaud, „Fracții continuate, forme binare pătratice, câmpuri pătratice și funcții zeta” , în Algebra and Topology 1988 , Taejon , Korea Inst. Tehnologie. ,1988( citiți online ) , p. 1-56