Poincaré semiplanul este un subset de numere complexe . A permis matematicianului francez Henri Poincaré să facă lumină asupra operei rusului Nikolai Lobachevsky .
Demi-planul Poincaré este format din numerele complexe ale părții imaginare strict pozitive . Oferă un exemplu de geometrie neeuclidiană , mai precis de geometrie hiperbolică .
Considerăm semiplanul superior:
MetricEchipăm semiplanul superior cu metrica :
Această valoare are o curbură scalară negativă constantă :
Revenim de obicei la cazul unei curburi unitare , adică alegem: a = 1 pentru a simplifica ecuațiile.
GeodezieDe geodezicele sunt verticale jumătăți de linii (în sens Euclidian): x = cte (în roșu) și semicercuri (în sensul Euclidian) , perpendicular pe axa abscisei: y = 0 (în albastru):
Grupul de matrici GL 2 + ( R ) , acționează asupra acestui spațiu, prin omografii . Mai precis, fie g un element al GL 2 + ( R ):
Acțiunea sa asupra unui punct z al semiplanului este dată de transformarea Möbius :
Fluxul geodezic pe o varietate Riemanniană cu curbură negativă este cel mai haotic prototip de sistem dinamic în timp continuu. Pentru mai multe detalii, consultați secțiunea „Dinamica haotică” a articolului „Geometrie hiperbolică” .