Grup derivat

În matematică , în algebră într-un grup G , grupul derivat , notat D ( G ) sau [ G , G ], este cel mai mic subgrup normal pentru care grupul coeficient G / [G, G] este abelian . Grupul derivat din G este banal dacă și numai dacă grupul G este abelian. Gruparea câtul a G de derivatul său de grup este abelianization de G .

Procesul de abelianizare face adesea posibilă demonstrarea faptului că două grupuri nu sunt izomorfe. El este, de asemenea, implicat în geometrie .

Comutatoare

Comutatorul de două elemente și este , prin definiție , elementul definit prin: $g \ în G$ ${\ displaystyle h \ în G}$ ${\ displaystyle [g, h]}$

{\ displaystyle [g, h] = ghg ​​^ {- 1} h ^ {- 1} \,}

Comutatorul măsoară defecțiunea de comutare a elementelor g și h :

{\ displaystyle gh = [g, h] hg}

Așadar :

{\ displaystyle [g, h] = e \ Leftrightarrow gh = hg}

În special, într-un grup abelian, toate comutatoarele sunt egale cu elementul neutru . $e$

Inversa comutatorului g și h este comutatorul lui h și g :

{\ displaystyle [g, h] ^ {- 1} = [h, g]}

Setul de comutatoare este stabil prin orice endomorfism al lui G : pentru toate g și h în G , $\ psi$

{\ displaystyle \ psi ([g, h]) = [\ psi (g), \ psi (h)]}

Pentru toate g , h și k din G , avem:

{\ displaystyle [g, hk] = [g, h] .h [g, k] h ^ {- 1}}

Grup derivat

Setul de comutatoare este stabil prin invers, dar nu neapărat prin compoziție. Nu este , în general , un subgrup al lui G . Subgrupul generat de întrerupătoarele se numește grupa derivată de la G , notat cu D ( G ) sau [ G , G ].

{\ displaystyle D (G) = [G, G] = \ langle \ {[g, h] \ mid (g, h) \ in G ^ {2} \} \ rangle.}

În special, orice element al lui D (G) este un produs finit al comutatoarelor. Deoarece imaginea unui comutator de către un grup de endomorphism este un comutator, grupul derivat este stabil prin orice endomorphism de G : este un subgrup complet caracteristică a G . În special, este un subgrup caracteristic, și , prin urmare , normală la G .

Exemple:

Grupul derivat din grupul simetric S n este grupul alternativ A n .
Grupul derivat din grupul liniar general GL ( n, K ) este grupul liniar special SL ( n, K ), cu excepția cazului în care n = 2 și K = F 2 .
Toate grupurile SL ( n, K ) sunt perfecte (adică fiecare este egal cu subgrupul său derivat) cu excepția SL (2, F 2 ) și SL (2, F 3 ).

Proprietăți

Grupul derivat dintr-o sumă directă a grupurilor G i este suma directă a grupelor derivate D ( G i ).
Grupul derivat dintr-un produs direct al grupurilor G i este, în produsul direct al grupelor derivate D ( G i ), subgrupul format din elementele g pentru care există un număr întreg n g astfel încât, pentru toate i , componenta g i of g este un produs de n g switch-uri.

Abelianizat

Deoarece [ G , G ] este un subgrup normal de G , putem defini coeficientul lui G cu [ G , G ], prin definiție abelianizat de G :

{\ displaystyle Ab (G) = G ^ {ab} = G / [G, G]}

. Exemple

Dacă G este comutativ, atunci G ab este egal cu G / {1} deci este identificat cu canonicește G .
Dacă G este grupul multiplicativ al atern * cuaternionilor lui Hamilton diferit de zero, atunci [ G , G ] este grupul cuaternionului standard 1 care este altul decât sfera unitară S 3 din ℝ 4 . Funcția a ↦ ║ a ║, a lui ℍ * în grupul multiplicativ ℝ * + al numerelor reale strict pozitive, este un morfism al grupurilor surjective cu nucleu S 3 , iar trecând la coeficient obținem un izomorfism al lui (ℍ *) ab = ℍ * / S 3 pe ℝ * + .

Pentru orice grup G , Ab-ul său abelianizat ( G ) este un grup abelian.

Este chiar cel mai mare coeficient abelian al lui G în sensul următor (ceea ce dovedește că „cel mai mic subgrup normal pentru care grupul coeficientului G / [G, G] este abelian”, menționat în introducere, există și este egal cu derivatul grup definit mai sus):

Dacă H este un subgrup de normale G , coeficientul G / H este abelian dacă și numai dacă H conține gruparea derivată de la G .

Într-adevăr, G / H este abelian dacă și numai dacă, pentru toate elementele g și h ale lui G , există x în H astfel încât: gh = xhg , adică dacă și numai dacă (pentru toate g și h ) [ g , h ] aparține h .

Proprietatea anterioară este reformulată în termeni de morfisme:

Orice morfism de la G la un grup abelian este luat în considerare prin Ab ( G ).

Abelianizarea unui grup este primul său grup de omologie cu coeficienți întregi : G ab = H 1 ( G , ℤ).

Suită derivată

Secvența derivată din G este secvența subgrupurilor de G definite prin inducție după cum urmează:

{\ displaystyle D ^ {0} (G) = G}

și

{\ displaystyle D ^ {k} (G) = D \ left [D ^ {k-1} (G) \ right] = [D ^ {k-1} (G), D ^ {k-1} ( G)]}

Subgrupurile lui G care apar în secvența sa derivată sunt subgrupuri complet caracteristice ale lui G.
Dacă această secvență este staționară la , adică dacă există un n natural astfel încât , se spune că grupul este rezolvabil . $\ {e \}$ ${\ displaystyle D ^ {n} (G) = \ {e \}}$

Note și referințe

Unele lucrări definesc comutatorul lui g și h ca ; nu este convenția adoptată aici. ${\ displaystyle g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$
(în) WR Scott, Teoria grupului , Dover ,1987( 1 st ed. 1964) ( linia citit ) , p. 60, exerc. 3.4.13.
Pentru o demonstrație, a se vedea, de exemplu, cursul despre Wikiversitate .
(în) DJS Robinson (de) , Un curs în teoria grupurilor , Springer , al. „ GTM ” ( nr . 80)1996, A 2 -a ed. ( DOI 10.1007 / 978-1-4419-8594-1 , citit online ) , p. 124.

Vezi și tu