În matematică , grupul Brauer , numit după Richard Brauer , constituie spațiul de clasificare a algebrelor centrale simple pe un câmp comutativ dat k , pentru o anumită relație de echivalență. Înzestrăm acest spațiu cu o structură de grup abelian , identificându-l cu un spațiu de cohomologie Galois .
O algebră centrală simplă peste un câmp comutativ k , este o algebră asociativă de dimensiune finită A , care nu admite niciun ideal bilateral non-banal (simplitate) și al cărui centru este k (centralitate). De exemplu, câmpul numerelor complexe formează o algebră centrală simplă asupra sa, dar nu pe câmpul numerelor reale, deoarece proprietatea centralității lipsește. În contrast, algebra cuaternionului Hamilton este o algebră centrală simplă peste câmpul numerelor reale.
Noi forma produsul tensorial a două algebre A și B prin definirea unei multiplicări pe produsul tensorial al spatiilor vectoriale A ⊗ B , care se extinde prin bilinearity definiției ( a ⊗ b ) ( c ⊗ d ) = ac ⊗ bd . Un produs tensor al două algebre centrale simple este o algebră centrală simplă.
Prima caracterizare importantă a algebrelor centrale simple este că tocmai algebrele cu dimensiune finită A devin izomorfe la o algebră a matricilor M n (K) prin extinderea scalarilor la o extensie finită K a câmpului k ; adică luând în considerare produsul tensorial . Mai mult, teorema lui Wedderburn asigură că orice algebră simplă este izomorfă pentru o algebră de matrice cu coeficienți într-un câmp (necomutativ) D care conține k , câmpul D fiind unic până la izomorfism. Apoi introducem următoarea relație: două algebre centrale simple A și A ' sunt echivalente dacă și numai dacă același câmp D poate fi ales pentru ambele în cele de mai sus. O altă definiție echivalentă constă în a cere să existe numere întregi m și n astfel încât să avem un izomorfism al algebrelor .
Clasele de echivalență pentru această relație formează apoi un grup abelian pentru produsul tensorial numit grup Brauer . Opusul unei clase de echivalență al cărui reprezentant este A este clasa de echivalență a algebrei opuse A op (definită prin schimbarea operației de multiplicare . Prin relația * definită de: a * b = ba ); acest lucru este demonstrat de faptul că morfismul care la a ⊗ b asociază k -endomorfismul pe A care la x asociază axb definește un izomorfism între produsul tensor și un spațiu de k -endomorfisme, adică un spațiu de matrice cu coeficienți în k , deci banal în grupul Brauer.
Grupurile Brauer au fost calculate în mai multe situații.
Grupul Brauer al unui câmp închis algebric este banal ; într-adevăr, toate algebrele centrale simple sunt izomorfe până la algebre matrice.
Teorema Wedderburn spune ca câmpuri finite grupuri Brauer sunt triviale (fără finisaj corp din stânga).
Grupul Brauer al lui ℂ este banal. Grupul Brauer Br (ℝ) al câmpului ℝ al numerelor reale este un grup ciclic de ordinul 2, generat de clasa câmpului cuaternionului Hamilton . Produsul din grupul Brauer se bazează pe produsul tensor : afirmația că ℍ este de ordinul doi în grupul Brauer este echivalentă cu existența unui izomorfism de ℝ-algebre de dimensiunea 16:
Dacă K este un câmp local care nu este caracteristic arhimedean 0 (echivalent K este un corp p -adic ) atunci grupul său Brauer este izomorf la ℚ / ℤ. Izomorfismul asociază cu o algebră centrală simplă clasa inversului gradului său; în special o algebră asociativă asupra unui astfel de câmp K este determinată numai de gradul său (de exemplu există o singură algebră de cuaternion neramificată peste K ).
Rezultatele sunt apoi aplicate câmpurilor globale , aceasta este abordarea cohomologică a teoriei câmpurilor de clasă . Mai precis, grupul Brauer Br ( K ) al unui câmp global K este dat de secvența exactă
în cazul în care suma capacului din mijloc toate completările (arhimedic și non arhimedic) de K . Teorema Albert-Brauer-Hasse-Noether (în) este rezultatul locale și globale , care este injectivitatea morfismul stânga. Grupul ℚ / ℤ pe dreapta este de fapt „grupul Brauer“ de cursuri de formare clase idele asociate cu K .
În teoria generală, grupul Brauer este exprimat prin grupuri de cohomologie:
unde k s este gardul separabil al câmpului k .
O generalizare a geometriei algebrice , datorită lui Grothendieck , constituie teoria algebrelor Azumaya .