Aplicație biliniară
În matematică , o hartă biliniară este un caz special al unei hărți multiliniare .
Definiție
Fie E , F și G trei spații vectoriale pe un câmp comutativ K și φ: E × F → G o hartă. Spunem că φ este biliniar dacă este liniar în fiecare dintre variabilele sale, adică:
∀(X,X′)∈E2,∀(y,y′)∈F2,∀λ∈K,{φ(X+X′,y)=φ(X,y)+φ(X′,y)φ(X,y+y′)=φ(X,y)+φ(X,y′)φ(λX,y)=φ(X,λy)=λφ(X,y).{\ displaystyle \ forall (x, x ') \ în E ^ {2}, \ forall (y, y') \ în F ^ {2}, \ forall \ lambda \ în K, \ qquad \ left \ {{ \ begin {matrix} \ varphi (x + x ', y) = \ varphi (x, y) + \ varphi (x', y) \\\ varphi (x, y + y ') = \ varphi (x, y) + \ varphi (x, y ') \\\ varphi (\ lambda x, y) = \ varphi (x, \ lambda y) = \ lambda \ varphi (x, y). \ end {matrix}} \ dreapta.}
Dacă G = K , vorbim de formă biliniară .
Exemplu
Produsul punct este o formă biliniară, deoarece este distributiv pe suma vectorială și asociativ cu înmulțirea cu un scalar :
∀(X,y,z)∈E3,∀(λ,μ)∈R2,(X∣λy+μz)=λ(X∣y)+μ(X∣z){\ textstyle \ forall (x, y, z) \ în E ^ {3}, \ forall (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, (x \ mid \ lambda y + \ mu z) = \ lambda (x \ mid y) + \ mu (x \ mid z)}.
Generalizare
Fie A și B două inele (nu neapărat comutative ), E an A - modul în stânga, F a B - modul în dreapta și G a ( A , B ) -bimodul. Aceasta înseamnă că G este un modul A în stânga și un modul B în dreapta, cu relația de compatibilitate:
∀(la,b,g)∈LA×B×G,(lag)b=la(gb){\ displaystyle \ forall (a, b, g) \ în A \ ori B \ ori G, (ag) b = a (gb)}.
Fie φ: E × F → G o hartă. Ca mai sus, spunem că φ este biliniar dacă este liniar în fiecare dintre variabilele sale. Acest lucru se explică prin:
∀(X,X′)∈E2,∀(y,y′)∈F2,∀(la,b)∈LA×B,{φ(X+X′,y)=φ(X,y)+φ(X′,y)φ(X,y+y′)=φ(X,y)+φ(X,y′)φ(laX,y)=laφ(X,y)φ(X,yb)=φ(X,y)b.{\ displaystyle \ forall (x, x ') \ în E ^ {2}, \ forall (y, y') \ în F ^ {2}, \ forall (a, b) \ în A \ times B, \ qquad \ left \ {{\ begin {matrix} \ varphi (x + x ', y) = \ varphi (x, y) + \ varphi (x', y) \\\ varphi (x, y + y ') = \ varphi (x, y) + \ varphi (x, y ') \\\ varphi (ax, y) = a \ varphi (x, y) \\\ varphi (x, yb) = \ varphi (x, y) b. \ end {matrix}} \ right.}
Acest lucru este valabil, desigur, atunci când A = B este un câmp necomutativ K , E este un K - spațiu vectorial în stânga, F este un K - spațiu vectorial în dreapta și G este un spațiu vectorial în stânga și în dreapta cu relația de compatibilitate de mai sus.
Exemple
Pe un spațiu vector, produsele punct și produsele vector sunt hărți biliniare.
Bibliografie
N. Bourbaki , Algebra , Capitolul 9: Forme sesquiliniare și pătratice , Springer,2006, 208 p. ( ISBN 978-3-540-35338-6 , citit online )