Efectul pielii

Efectul pielii sau efectul pielii (sau mai rar efectul Kelvin ) este un fenomen electromagnetic care înseamnă că, la frecvență ridicată, curentul tinde să circule numai pe suprafața conductoarelor . Acest fenomen de origine electromagnetică există pentru toți conductorii traversați de curenți alternativi. Aceasta face ca densitatea curentului să scadă pe măsură ce se îndepărtează de periferia conductorului. Acest lucru are ca rezultat o creștere a rezistenței conductorului.

Acest efect poate fi luat în considerare pentru a ușura greutatea liniilor de transmisie de înaltă frecvență utilizând conductoare tubulare, sau chiar conducte, fără pierderi de curent. Este utilizat în ecranarea electromagnetică a firelor coaxiale înconjurându-le cu o carcasă metalică subțire care păstrează curenții induși de frecvențele ambiante ridicate din exteriorul cablului.

Cauză

Orice curent care curge într-un conductor generează un câmp magnetic în jurul său. Când curentul continuu curge printr-un conductor, diferența de potențial este uniformă și sarcinile se mișcă izotrop prin conductor, rezultând un câmp magnetic constant (H). Pe de altă parte, atunci când circulă un curent alternativ , sarcinile oscilează și câmpul magnetic variază, ceea ce induce o buclă de curent electric invers ( $I W$ ).

În figură, se poate observa că direcția de rotație este întotdeauna opusă celei a variației curentului în conductor. Astfel, suma curentului alternativ cu cea a buclei este întotdeauna mai mică la centrul conductorului, în timp ce acești doi curenți se adună la periferie.

Aceasta înseamnă că curentul nu curge uniform pe toată secțiunea transversală a conductorului . Este ca și cum secțiunea utilă a cablului ar fi mai mică. Prin urmare, rezistența crește, ceea ce duce la pierderi mai mari prin efectul Joule .

Evidențiat de Nikola Tesla

Pe scena sa, Nikola Tesla avea colaci, lămpi incandescente și, mai presus de toate, tuburi de sticlă uimitoare umplute cu gaz la presiune foarte mică. Tesla a apucat cu o mână un fir conductor care provenea dintr-una din bobinele sale și în care circula un curent alternativ de înaltă tensiune. Cu cealaltă mână, a luat un tub și acesta s-a luminat, spre uimirea publicului. Deoarece Tesla a folosit un curent de frecvență foarte mare, prin „efect de piele”, acesta nu a pătruns în conductorul care era corpul său, ci a circulat în jurul periferiei sale pentru a ajunge la tub.

Grosimea pielii într-un metal

Grosimea pielii determină, ca primă aproximare, lățimea zonei în care curentul este concentrat într-un conductor . Permite calcularea rezistenței efective la o anumită frecvență. În acest calcul, partea reală este neglijată în fața părții imaginare : conductivitatea metalelor este foarte mare.

{\ displaystyle \ delta = {\ sqrt {\ frac {2} {\ omega \ mu \ sigma}}} = = \ \ sqrt {\ frac {2 \ rho} {\ omega \ mu}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sigma \ mu \ pi f}}}}

δ: grosimea pielii în metri [m]
ω: pulsație în radiani pe secundă [rad / s] (ω = 2.π. f )
f : frecvența curentului în hertz [Hz]
µ: permeabilitate magnetică la Henry pe metru [H / m]
ρ: rezistivitate în ohm- metru [Ω.m] (ρ = 1 / σ)
σ: conductivitate electrică în siemens pe metru [S / m]

Pentru un conductor cu un diametru semnificativ mai mare de δ, putem calcula rezistența efectivă la o frecvență dată considerând că numai partea exterioară a grosimii δ contribuie la conducere . De exemplu, pentru un conductor cilindric cu raza R , vom avea o secțiune utilă de:

S_ {u} = \ pi \ cdot {(R ^ {2} - (R- \ delta) ^ {2})}

Exemple de valori

Pentru un conductor de cupru , avem valorile de mai jos.

Frecvență	δ
50 Hz	9,38 mm
60 Hz	8,57 mm
10 kHz	0,66 mm
100 kHz	0,21 mm
1 MHz	66 um
1 GHz	2,1 um
1 THz	66 nm

Modelarea într-un conductor cilindric în regim armonic

Fie $I ( r )$ curentul care curge în grosimea dintre suprafață și raza r a cilindrului, iar $I$ curentul total.

Funcția de distribuție a curentului având pentru origine r = 0, suprafața conductorului este dată de expresia :

{\ displaystyle {\ frac {I (r)} {I}} = {\ frac {{\ textrm {Ber}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, a} {\ delta}}) - {\ textrm {Ber}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, r} {\ delta}}) + i \, [{\ textrm {Bei}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, a} {\ delta}}) - {\ textrm {Bei}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, r} {\ delta}})]} {{\ textrm {Ber}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, a} {\ delta}}) + i \, {\ textrm {Bei}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \ , a} {\ delta}})}}}

unde $Ber$ și $Bei$ denotă primitivele funcțiilor Kelvin-Bessel de ordinul 0.

Dacă reprezentăm grafic modulul de curent funcției de distribuție în conductorul cilindric, adică , vedem că mai mult de 80% din fluxurile curente din grosimea pielii, ceea ce justifică apropierea la calcularea rezistenței efective a conductorului . Depășirea valorii 1 care apare în figură se datorează rotației de fază a densității curentului care poate fi inversată la o anumită adâncime în raport cu curentul total. $\ left | I (r) / I \ right |$

Demonstrație

Considerăm un cilindru de rază a și de lungime infinită. Se plasează în modul armonic , cilindrul fiind traversat de un curent alternativ sinusoidal de pulsație ω. Armonica de studiu se face luând transformata Fourier a ecuațiilor Maxwell .

Ecuația Maxwell-Faraday în regim armonic este scrisă:

{\ mathrm {rot}} \, {\ mathbf {E}} = - i \, \ omega \, {\ mathbf {B}}

Ecuația Maxwell-Ampere este scrisă:

{\ mathrm {rot}} \, {\ mathbf {H}} = {\ mathbf {J}}

in care

E este vectorul câmpului electric
B este vectorul de inducție magnetică
H este vectorul câmpului magnetic
J este vectorul densității curentului

Este necesar să adăugați la aceste ecuații legea magnetizării materialului

{\ mathbf {B}} = \ mu \, {\ mathbf {H}}

μ fiind permeabilitatea magnetică absolută a materialului, precum și legea lui Ohm în conductor, în forma sa locală:

{\ mathbf {J}} = \ sigma \, {\ mathbf {E}}

σ fiind conductivitatea electrică a materialului.

Presupunând că conductorul este omogen, acești doi parametri μ și σ sunt constanți în material, ceea ce face posibilă multiplicarea ecuației Maxwell-Faraday cu conductivitatea electrică

{\ mathrm {rot}} \, {\ mathbf {J}} = - i \, \ omega \, \ sigma \, {\ mathbf {B}}

și în mod similar, ecuația Maxwell-Ampere poate fi înmulțită cu permeabilitatea magnetică

{\ mathrm {rot}} \, {\ mathbf {B}} = \ mu \, {\ mathbf {J}}

Ne plasăm într-un sistem de coordonate cilindrice ale căror variabile vor fi notate ( r , θ, z ), z fiind axa de simetrie a cilindrului.

În acest sistem de coordonate, facem următoarele ipoteze despre densitatea curentului:

vectorul densității curentului este direcționat de-a lungul axei cilindrului;
densitatea curentului nu variază de-a lungul axei cilindrului;
densitatea curentului este perfect aximetrică, deci nu depinde de unghiul θ.

Aceste ipoteze conduc la scrierea vectorului densității curente în următoarea formă:

{\ mathbf {J}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ j (r) \ end {pmatrix}}

Dacă luăm rotația ecuației Maxwell-Faraday, vom găsi:

{\ mathrm {rot}} \, {\ mathrm {rot}} \, {\ mathbf {J}} = - i \, \ omega \, \ sigma \, {\ mathrm {rot}} \, {\ mathbf {B}}

sau, folosind o relație de analiză vectorială

\ nabla \, {\ mathrm {div}} \, {\ mathbf {J}} - \ Delta {\ mathbf {J}} = - i \, \ omega \, \ sigma \, \ mu \, {\ mathbf {J}}

Având în vedere ipotezele făcute cu privire la vectorul densității curente, avem și, prin urmare ${\ mathrm {div}} \, {\ mathbf {J}} = 0$

\ Delta {\ mathbf {J}} = i \, \ omega \, \ sigma \, \ mu \, {\ mathbf {J}}

În coordonate cilindrice, componenta axială a Laplacianului este scrisă:

{\ frac {d ^ {2} \, j} {dr ^ {2}}} (r) + {\ frac {1} {r}} \, {\ frac {d \, j} {dr}} (r) = i \, \ omega \, \ sigma \, \ mu \, j (r)

Prin setarea și înmulțirea cu r 2 , densitatea curentului trebuie să verifice următoarea ecuație la limită: $k ^ {2} = i \, \ omega \, \ sigma \, \ mu$

r ^ {2} \, {\ frac {d ^ {2} \, j} {dr ^ {2}}} (r) + r \, {\ frac {d \, j} {dr}} (r ) -r ^ {2} \, k ^ {2} \, j (r) = 0

Dacă efectuăm schimbarea variabilei , ecuația anterioară ia forma unei ecuații Bessel omogene: $\ xi = i \, k \, r$

\ xi ^ {2} \, {\ frac {d ^ {2} \, j} {d \ xi ^ {2}}} (\ xi) + \ xi \, {\ frac {d \, j} { d \ xi}} (\ xi) + \ xi ^ {2} \, j (\ xi) = 0

Pentru a asigura continuitatea curentului la r = 0, căutăm soluții ale acestei ecuații sub formă , J 0 fiind funcția Bessel de primul tip de ordine 0. Astfel, vom avea: $J_ {0} (\ xi)$

j (r) = j_ {0} \, J_ {0} (i \, k \, r)

j 0 fiind o constantă. Putem detalia și k-ul constant

k = {\ sqrt {i}} \, {\ sqrt {\ omega \, \ sigma \, \ mu}} = {\ frac {1 + i} {{\ sqrt {2}}}} \, {\ sqrt {\ omega \, \ sigma \, \ mu}} = {\ frac {1 + i} {\ delta}}

δ fiind grosimea pielii definită anterior de , $\ delta = {\ sqrt {{\ frac {2} {\ omega \, \ sigma \, \ mu}}}}$

și la fel

i \, k = {\ frac {-1 + i} {\ delta}} = e ^ {{i \, 3 \, \ pi / 4}} \, {\ frac {{\ sqrt {2}}} {\ delta}}

și astfel, în cele din urmă, densitatea curentului este dată de

{\ displaystyle {\ begin {matrix} j (r) & = & j_ {0} \, J_ {0} (e ^ {i \, 3 \, \ pi / 4} \, {\ frac {{\ sqrt {2}} \, r} {\ delta}}) \\ & = & j_ {0} \, ({\ textrm {ber}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, r} { \ delta}}) + i \, {\ textrm {bei}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, r} {\ delta}})) \ end {matrix}}}

unde $ber$ și $bei$ sunt funcții Kelvin-Bessel de ordinul 0.

Curentul total prin secțiune este apoi definit de:

{\ begin {matrix} I & = & \ int _ {0} ^ {a} j (r) \, 2 \, \ pi \, r \, dr \\ & = & 2 \, \ pi \, j_ {0} \ int _ {0} ^ {a} J_ {0} (e ^ {{i \, 3 \, \ pi / 4}} \, {\ frac {{\ sqrt {2}} \, r } {\ delta}}) \, r \, dr \\ & = & \ pi \, \ delta ^ {2} \, j_ {0} \, \ int _ {0} ^ {{{\ sqrt {2 }} \, a / \ delta}} (ber (x) + i \, bei (x)) \, x \, dx \ end {matrix}}

Să notăm cu $Ber$ și $Bei$ în următoarele primitivele , care pot fi evaluate prin intermediul unei serii :

{\ displaystyle {\ textrm {Ber}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} ber (w) \, w \, dw \ qquad {\ mbox {and}} \ qquad {\ textrm {Bei }} (x) = \ int _ {0} ^ {x} bei (w) \, w \, dw}

Cu aceste notații, putem exprima apoi curentul total într-o formă mai compactă

{\ displaystyle I = \ pi \, \ delta ^ {2} \, j_ {0} \, \ left ({\ textrm {Ber}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, a} { \ delta}}) + i \, {\ textrm {Bei}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, a} {\ delta}}) \ right)}

De asemenea, putem calcula curentul care curge în grosimea dintre suprafață și raza r :

{\ displaystyle {\ begin {matrix} I (r) & = & \ int _ {ar} ^ {a} j (s) \, 2 \ pi s \, ds \\ & = & \ pi \, \ delta ^ {2} \, j_ {0} \, \ left ({\ textrm {Ber}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, a} {\ delta}}) - {\ textrm {Ber }} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, r} {\ delta}}) + i \, [{\ textrm {Bei}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, a} {\ delta}}) - {\ textrm {Bei}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, r} {\ delta}})] \ right) \ end {matrix}}}

și, prin urmare, funcția de distribuție a curentului având pentru origine r = 0 suprafața conductorului este dată de următoarea expresie:

{\ displaystyle {\ frac {I (r)} {I}} = {\ frac {{\ textrm {Ber}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, a} {\ delta}}) - {\ textrm {Ber}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, r} {\ delta}}) + i \, [{\ textrm {Bei}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, a} {\ delta}}) - {\ textrm {Bei}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, r} {\ delta}})]} {{\ textrm {Ber}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \, a} {\ delta}}) + i \, {\ textrm {Bei}} ({\ frac {{\ sqrt {2}} \ , a} {\ delta}})}}}

Atenuare

Efectul pielii este de obicei o pacoste, deoarece creează pierderi suplimentare, atenuări de înaltă frecvență etc. O modalitate eficientă de a reduce efectul este împărțirea secțiunii unui fir conductor , adică înlocuirea acestuia cu mai mulți conductori în paralel, izolați unul de celălalt.

În mod ideal, fiecare „șuviță” a conductorului astfel format ar trebui să aibă o rază mai mică de δ. Sârmă Litz este un tip de conducător auto care împinge la extrem această diviziune.

O altă tehnică este tencuirea conductorului cu argint . Când „pielea” se află în întregime în stratul de argint, beneficiază de faptul că argintul are cea mai mică rezistivitate dintre toate metalele. Această metodă poate fi un compromis bun pentru un curent compus din două componente, una la frecvență joasă care va circula în întreaga secțiune, cealaltă la frecvență foarte mare care circulă în argint.

În cele din urmă, este posibil să se aibă în vedere geometriile conductorilor care să permită limitarea efectului pielii. În stațiile de înaltă tensiune , conductoarele tubulare tubulare din aluminiu sau cupru sunt frecvent utilizate pentru a transporta curenți mari. Grosimea tubului este în general de ordinul lui δ, ceea ce permite utilizarea eficientă a întregului conductor. Acest lucru este, de asemenea, cazul în instalații precum emițătoare , unde se pot găsi înfășurări din tuburi goale, în interiorul cărora circulă un lichid de răcire. În joasă tensiune, se folosesc uneori geometrii mai complexe care permit un comportament termic mai bun, dar ideea este întotdeauna să aibă grosimi ale conductorilor care nu depășesc δ (vezi și bare de bare ).

Între doi dirijori

Într-un cablu format din doi conductori (curent și retur curent), la frecvență ridicată poate exista un efect de proximitate între cei doi conductori, confundat necorespunzător cu efectul de piele și care face ca curentul să curgă doar pe părțile conductoarelor opuse. reciproc.

Acest efect se adaugă efectului de piele în sine. Depinde în totalitate de geometria ansamblului: secțiunea conductorilor (circulară, pătrată, plană etc.), distanța dintre conductori, asimetria conductoarelor (de exemplu sârmă paralelă cu un plan de masă) etc. Efectul de proximitate este practic neglijabil pentru conductoarele distanțate la mai mult de 20 cm distanță .

Pentru a atenua acest efect, conductorii trebuie îndepărtați, dar acest lucru are și alte dezavantaje, cum ar fi creșterea inductanței .

linkuri externe

Tehnica Cahier Schneider Electric : [PDF] Pierderi suplimentare în conductori pentru intensitate ridicată a pielii și a efectelor de proximitate. , pe site-ul schneider-electric.fr