Funcția Kelvin-Bessel

Caracteristici de Kelvin-Bessel sunt funcții matematice obținute din funcțiile Bessel , luând ca argument în cazul din urmă rădăcina pătrată a unui număr imaginar pur.
Ele sunt utilizate în electromagnetism pentru a studia soluțiile ecuațiilor lui Maxwell în câmpuri conductoare de formă cilindrică.

Definiție

Definim două familii de funcții Kelvin-Bessel. Prima familie are două funcții și ordine , legate de funcțiile Bessel de primul fel: ${\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {\ nu}}$ $\gol$

{\ displaystyle J _ {\ nu} (e ^ {i \, 3 \, \ pi / 4} \, x) = \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {bei } _ {\ nu} (x)}

O altă modalitate de a defini aceste funcții este de a le scrie ca o serie :

{\ displaystyle \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ pi \, ({\ frac {3 \, \ nu } {4}} + {\ frac {p} {2}})} {p! \, \ Gamma (\ nu + p + 1)}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right ) ^ {2p + \ nu}}

{\ displaystyle \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ pi \, ({\ frac {3 \, \ nu } {4}} + {\ frac {p} {2}})} {p! \, \ Gamma (\ nu + p + 1)}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right ) ^ {2p + \ nu}}

A doua familie cuprinde alte două funcții și ordine , legate de funcțiile Bessel modificate de al doilea fel: ${\ displaystyle \ mathrm {ker} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {kei} _ {\ nu}}$ $\gol$

{\ displaystyle e ^ {- i \, \ pi \, \ nu / 2} \, K _ {\ nu} (e ^ {i \, \ pi / 4} \, x) = \ operatorname {ker} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {kei} _ {\ nu} (x)}

Unele proprietăți

Reprezentare grafică

Funcțiile de ordine Kelvin-Bessel , mai simplu notate și , sunt reprezentate în figura următoare pentru valori mici de : ${\ displaystyle \ nu = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ber} (x)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {bei} (x)}$ $X$

Ecuația diferențială asociată

Funcțiile și sunt soluțiile următoarei ecuații speciale Bessel: ${\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {\ nu}}$

{\ displaystyle x ^ {2} \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + x \, {\ frac {\ mathrm {d } y} {\ mathrm {d} x}} - (i \, x ^ {2} + \ nu ^ {2}) \, y = 0}

a cărei soluție generală este scrisă

{\ displaystyle y (x) = \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x)}

Primitiv

{\ displaystyle \ int \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) \, x ^ {1+ \ nu} \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {x ^ {1+ \ nu} } {\ sqrt {2}}} \, (\ operatorname {ber} _ {\ nu +1} (x) - \ operatorname {bei} _ {\ nu +1} (x))}

{\ displaystyle \ int \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x) \, x ^ {1+ \ nu} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x ^ {1+ \ nu}} {\ sqrt {2}}} \, (\ operatorname {ber} _ {\ nu +1} (x) - \ operatorname {bei} _ {\ nu +1} (x))}

Referințe

A. Angot, suplimente matematice utilizate de inginerii de inginerie electrică și de telecomunicații , 6 - lea ediție, Masson, Paris, 1972.