Spațiul Minkowski

În geometrie și relativitate specială , spațiul Minkowski numit după inventatorul său Hermann Minkowski , numit și spațiu-timp Minkowski sau uneori spațiu-timp Poincaré-Minkowski , este un spațiu matematic, și mai precis un spațiu afin pseudo-euclidian cu patru dimensiuni , modelând spațiu-timpului relativității: proprietățile geometrice ale acestui spațiu corespund proprietăților fizice prezente în această teorie.

Fizica clasică este, de asemenea, geometrizată, și asta de la Isaac Newton , chiar înainte; interesul acestei geometrizări a relativității speciale constă în faptul că timpul în sine este reprezentat acolo ca indisolubil legat de spațiul material, că proprietățile abstracte ale relativității speciale găsesc acolo o reprezentare apropiată de geometria euclidiană și că a ajutat la formularea generală relativitatea .

Istoric

Acest spațiu a fost introdus de Henri Poincaré într-un articol lung, cunoscut sub numele de Mémoire de Palermo , trimis la23 iulie 1905la Rendiconti del Circolo matematico di Palermo și publicat înFebruarie 1906, cu doi ani înainte de publicațiile lui Hermann Minkowski despre acest subiect. Prima descoperire este un subiect de dezbatere , dar se pare, conform unor istorici ai științei, că interpretarea modernă a acestui spațiu ca spațiu-timp fizic, și nu convenție de calcul, este o idee a lui Minkowski, care a abandonat electromagneticul. eter , după Einstein , în timp ce Poincaré nu a dat într - adevăr, având în vedere că , în orice cadru de referință cantitățile măsurate sunt întotdeauna „aparentă“, în timp ce cantitățile „reale“ sunt măsurate în cadrul de referință. eter.

Poincaré ar fi propus acest spațiu ca o posibilă prezentare algebrică și geometrică, practică din punct de vedere al calculului, dar axiomatică, adică convențională , a proprietăților matematice legate de principiul relativității și de invarianța ecuațiilor lui Maxwell prin schimbarea cadrului de referință inerțial , prin favorizarea într-un mod convențional ca real cadru de referință al eterului, adică un spațiu real care ar fi clasic. Doar Hermann Minkowski ar fi văzut încă din 1907 că acest spațiu era un model experimentabil (și nu numai convențional ) al unui spațiu-timp în care spațiul și timpul sunt legate în legile mecanicii și acolo s-au dezvoltat, printre altele, condițiile cauzalitate. și simultaneitatea conform cu cadru de referință observatorului. Poincaré va aborda acest punct de vedere în 1912, în ultima sa conferință intitulată Spațiu și timp pronunțată la Londra, unde va exprima că se poate defini un spațiu-timp din grupul de simetrie al legilor fizicii. principiul relativității ca convenție .

Structura algebrică

Spațiul-timp al lui Minkowski poate fi definit ca cvadruplet în care: (E,g,Eu+,ϵ){\ displaystyle ({\ mathcal {E}}, g, {\ mathcal {I}} ^ {+}, \ epsilon)}

• E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}, denotând spațiu-timp, este un spațiu afinar cu patru dimensiuni pe un spațiu vector izomorf asociat ,R{\ displaystyle \ mathbb {R}}E{\ displaystyle E}
• g{\ displaystyle g}, notând tensorul metric , este o formă biliniară pe , simetrică , nu degenerată și de semnătură (-, +, +, +),E{\ displaystyle E}
• Eu+{\ displaystyle {\ mathcal {I}} ^ {+}}, care denotă viitorul acvifer, este unul dintre cele două acvifere ale conului izotrop al ,g{\ displaystyle g}
• ϵ{\ displaystyle \ epsilon}, notând tensorul Levi-Civita asociat cu , este o formă quatrilineală , antisimetrică și care dă atunci când este aplicat pe orice bază ortonormală a .g{\ displaystyle g}E{\ displaystyle E}±1{\ displaystyle \ pm 1}g{\ displaystyle g}

Remarcat, spațiul-timp al lui Minkowski este un spațiu afin real de dimensiunea patru. Corespunde datelor unui punct O (originea cadrului de referință) și a unui spațiu vectorial (numit asociat ) de dimensiunea patru (activat ). E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Această structură este completată de datele, despre spațiul vectorial asociat, ale unei forme biliniare , notate , care este simetrică și nu degenerată . De asemenea, menționat sau , care nu este un produs punct, deoarece nu este definit pozitiv (și nici negativ definit ): presupunem că există o bază vectorială astfel încât , unde . g{\ displaystyle g}(tu→|v→){\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {v}})}tu→.v→{\ displaystyle {\ vec {u}}. {\ vec {v}}}(e→0;e→1;e→2;e→3){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {0}; {\ vec {e}} _ {1}; {\ vec {e}} _ {2}; {\ vec {e}} _ {3 })}(tu→|v→)=tu0.v0-tu1.v1-tu2.v2-tu3.v3{\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {v}}) \, = \, u ^ {0} .v ^ {0} -u ^ {1} .v ^ {1} -u ^ {2} .v ^ {2} -u ^ {3} .v ^ {3}}tu→=tu0.e→0+tu1.e→1+tu2.e→2+tu3.e→3{\ displaystyle {\ vec {u}} = u ^ {0}. {\ vec {e}} _ {0} + u ^ {1}. {\ vec {e}} _ {1} + u ^ { 2}. {\ Vec {e}} _ {2} + u ^ {3}. {\ Vec {e}} _ {3}}

În ceea ce privește orice formă biliniară, aceasta corespunde unei forme pătratice (care este pătratul pseudo-normei ):(tu→|tu→)=(tu0)2-(tu1)2-(tu2)2-(tu3)2{\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {u}}) \, = \, (u ^ {0}) ^ {2} - (u ^ {1}) ^ {2} - ( u ^ {2}) ^ {2} - (u ^ {3}) ^ {2}}

Matricea asociată cu această formă biliniară, în baza considerată mai sus, este , prin urmare , în scris matrice.g=(10000-10000-10000-1){\ displaystyle g = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}}(tu→|v→)=ttu→.g.v→{\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {v}}) \, = \, ^ {t} {\ vec {u}}. g. {\ vec {v}}} Scrierea tensorială face posibilă introducerea convenției de însumare a lui Einstein  : definind „coordonatele contravariante” și „coordonatele covariante” , scriem apoi =(v0;v1;v2;v3){\ displaystyle \ = (v ^ {0}; v ^ {1}; v ^ {2}; v ^ {3})}=(v0;v1;v2;v3)=g.v→=(v0;-v1;-v2;-v3) {\ displaystyle = (v_ {0}; v_ {1}; v_ {2}; v_ {3}) \; = g. {\ vec {v}} = (v ^ {0}; - v ^ {1 }; - v ^ {2}; - v ^ {3}) \; ~}tu→.v→=tueu.veu=tueu.veu{\ displaystyle \; {\ vec {u}}. {\ vec {v}} \; = \; u_ {i} .v ^ {i} \; = \; u ^ {i} .v_ {i} }

In spatiul afin, sunt notate coordonatele unui punct M . Este dotat cu o distanță particulară numită adesea pseudo-metrică , definită în par . De referință . Acest lucru se observă mai simplu atunci când nu există riscul de confuzie între această formă biliniară și produsul scalar euclidian. În această scriere, pătratul este convențional deoarece forma pătratică admite și rezultate ale semnului negativ și este bine definită doar dacă . Această „distanță” face din spațiul Minkowski un spațiu pseudo-euclidian .  M(X0;X1;X2;X3){\ displaystyle \ M (x ^ {0}; x ^ {1}; x ^ {2}; x ^ {3})}Δs(;){\ displaystyle \ Delta s _ {(\ ;; \;)}}(O;e→0;e→1;e→2;e→3){\ displaystyle (O; {\ vec {e}} _ {0}; {\ vec {e}} _ {1}; {\ vec {e}} _ {2}; {\ vec {e}} _ {3})}(Δs(LA;B))2=(LAB→|LAB→)=LAB→.LAB→{\ displaystyle \ left (\ Delta s _ {(A; B)} \ right) ^ {2} = \ left ({\ overrightarrow {AB}} | {\ overrightarrow {AB}} \ right) = {\ overrightarrow {AB}}. {\ Overrightarrow {AB}}}LAB2=LAB→.LAB→,{\ displaystyle AB ^ {2} = {\ overrightarrow {AB}}. {\ overrightarrow {AB}} \;,} Δs(LA;B){\ displaystyle \ \ Delta s _ {(A; B)}}(LAB→|LAB→)≥0{\ displaystyle ({\ overrightarrow {AB}} | {\ overrightarrow {AB}}) \, \ geq 0}

Setul de transformări afine ale spațiului Minkowski care părăsesc invariantul pseudo-metric formează un grup numit grupul Poincaré din care transformările Lorentz formează un subgrup.

Geometrie

Geometria din spațiul Minkowski are o serie de diferențe față de geometria din spațiul euclidian. De asemenea, are semnificații fizice specifice.

Ortogonalitate

Un spațiu Minkowski are o noțiune de ortogonalitate definită de forma biliniară . Se spune că doi vectori sunt ortogonali în spațiul Minkowski dacă și numai dacă Noțiunea de ortogonalitate fiind o noțiune generală asociată cu orice spațiu prevăzut cu un produs scalar (de exemplu, spațiul Hilbert), doi vectori pot fi ortogonali într-un spațiu Minkowski chiar dacă componentele spațiale nu formează o bază ortogonală în spațiul euclidian obișnuit. (tu→|v→){\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {v}})}(tu→|v→)=0.{\ displaystyle ({\ vec {u}} | {\ vec {v}}) = 0.}

În reprezentarea care este o diagramă Minkowski , ortogonalitatea Minkowskiană are o proprietate pe care ortogonalitatea euclidiană nu o are: unghiul dintre un vector și ortogonalul său variază în funcție de înclinația vectorului (în geometria euclidiană, unghiul este fix și egal până la 90 °). Când vectorul este de „tip luminos”, acest vector este atunci propriul său ortogonal: linia universului este conținută în planul simultaneității. Pentru un foton, timpul nu trece pe măsură ce progresează pe linia universului său.

Detalii matematice

În cadrul de referință tangent la linia universului a obiectului în mișcare (propriul său cadru de referință), coordonatele cvadrivectorului de poziție (și nu „de viteză”) ale corpului în mișcare sunt . Este cvadrivectorul timpului adecvat sau chiar cvadrivectorul tangent la linia universului prin faptul că nu indică nicio separare spațială cu cadrul de referință, reflectând în același timp o evoluție temporală deoarece (prin ipoteză).  T=(vs.τ;0;0;0){\ displaystyle \ \ mathrm {T} = (c \ tau; 0; 0; 0)} τ≠0{\ displaystyle \ \ tau \ neq 0}

Dacă un cvadrivector este perpendicular pe , avem:  U=(vs.t;X;y;z){\ displaystyle \ U = (ct; x; y; z)} T{\ displaystyle \ \ mathrm {T}}

 0=T.U=(T|U)=vs.2τ.t-0.X-0.y-0.z=vs.2τ.t{\ displaystyle \ 0 = \ mathrm {T} .U = \ left (\ mathrm {T} | U \ right) = c ^ {2} \ tau .t-0.x-0.y-0.z = c ^ {2} \ tau .t}sau (din moment ce ). Deci, un punct alăturat la originea acestui cadru de referință printr-un cvadrivector ortogonal cu linia universului reprezintă un eveniment simultan cu cel al originii cadrului de referință (schimbarea timpului este ).  t=0{\ displaystyle \ t = 0} τ≠0{\ displaystyle \ \ tau \ neq 0} U{\ displaystyle \ U} t=0{\ displaystyle \ t = 0}

Deoarece forma biliniară este invariantă prin schimbarea cadrului de referință, ortogonalitatea este asigurată indiferent de cadrul de referință din care considerăm cvadrivectori și, astfel, în diagramele Minkowski, dacă unghiul trasat între și depinde de cadrul de referință ales. Se păstrează ortogonalitatea minkowskiană.  U{\ displaystyle \ U} T{\ displaystyle \ \ mathrm {T}}

Calculele pătratelor pseudo-normelor și , folosind coordonatele din cadrul tangent galilean de referință, dau: și . La fel este în interiorul conului de lumină și este în exterior. Mai mult, știm că pătratul pseudo-normei este păstrat prin schimbarea cadrului de referință, prin urmare aceste caracteristici rămân adevărate pentru orice cadru de referință și inclusiv în diagramele Minkowski.  U{\ displaystyle \ U} T{\ displaystyle \ \ mathrm {T}}‖T‖2=|vs.τ|2>0{\ displaystyle \ | \ mathrm {T} \ | ^ {2} = | c \ tau | ^ {2}> 0}‖U‖2=-(X2+y2+z2)<0{\ displaystyle \ | U \ | ^ {2} = - (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) <0} T{\ displaystyle \ \ mathrm {T}} U{\ displaystyle \ U}

Inegalitate triunghiulară

Într-un plan euclidian , inegalitatea triunghiulară este relația conform căreia, oricare ar fi un triunghi ABC , atunci lungimile AB , BC și AC satisfac inegalitatea:, egalitatea care are loc atunci când punctul B aparține segmentului [AC]. Această inegalitate înseamnă că, în spațiul euclidian, cea mai scurtă cale dintre două puncte este o linie dreaptă. LAVS⩽LAB+BVS{\ displaystyle \ scriptstyle AC \ leqslant AB + BC}

În spațiul Minkowskian, există un echivalent al inegalității triunghiulare, stabilind relațiile dintre lungimile laturilor unui triunghi. Cu toate acestea, acest lucru este coerentă numai dacă triunghiul este în întregime inclusă într - un con de lumină , (adică în cazul în care pătrat lor pseudo-norma este strict pozitiv) și în cazul în care , și sunt orientate spre viitor. LAB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}BVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {BC}}}LAVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}

Pentru un triunghi ABC care îndeplinește aceste condiții, avem apoi inegalitatea în spațiul Minkowskian:

LAVS⩾LAB+BVS{\ displaystyle AC \ geqslant AB + BC}.

Această inegalitate este inversul spațiului euclidian. În spațiul Minkowskian, o cale care face un ocol (în spațiu-timp) este întotdeauna „mai scurtă” (în termeni de interval spațiu-timp) decât „linia dreaptă”. O „linie dreaptă” în spațiul Minkowskian este linia universală a unei particule care nu este supusă nicio forță, deci la viteză constantă sau staționară.

Această proprietate face posibilă ilustrarea și explicarea paradoxului gemenilor în relativitatea specială. „Gemenul” rămas pe pământ călătorește o „linie dreaptă” în spațiu-timp AC . Gemenul călător traversează două segmente de linie dreaptă AB și BC (se întoarce în B pentru a se alătura geamănului său în C). Liniile universului celor două gemeni formează un triunghi ABC , ale cărui laturi sunt asemănătoare timpului (viteza gemenilor mai mică decât cea a luminii) și orientate spre viitor.

Intervalul spațiu-timp al gemenului călător este, prin urmare, mai mic, conform inegalității triunghiulare Minkowskiene, decât cel al gemenului staționar. Prin urmare, timpul gemenei călătoare este mai mic și, prin urmare, el este mai tânăr la sfârșitul călătoriei sale decât geamănul său care a rămas pe Pământ.

Proiect de justificare pentru inegalitatea triunghiulară

Să ne plasăm într-o situație realistă din punct de vedere fizic: trecând de la evenimentul A la evenimentul C printr-o mișcare inerțială, un observator merge în linie dreaptă, în timp ce un al doilea observator merge în linie dreaptă de la A la B, apoi de la B la C. Într-un cadru de referință inerțial (bidimensional pentru simplitate) al primului observator, coordonatele evenimentelor sunt: ​​A (0,0), C (ct, 0) și B (ct ', x). Pentru ca al doilea observator să poată trece de la B la C, este necesar ca t> t 'și alte mici precauții asupra cărora nu este util să insistați.

Calculul pseudo-distanțelor: și cu mașina
 LAVS=vs.t,{\ displaystyle \ AC = ct \;,}  LAB=(vs.t′)2-X2<vs.t′,{\ displaystyle \ AB = {\ sqrt {(ct ') ^ {2} -x ^ {2}}} <ct' \;,} BVS=(vs.(t-t′))2-X2<vs.(t-t′),{\ displaystyle \ BC = {\ sqrt {(c (t-t ')) ^ {2} -x ^ {2}}} <c (t-t') \;,}|t-t′|=t-t′{\ displaystyle | t-t '| = t-t' \;} t>t′.{\ displaystyle \ t> t '\;.}

Observăm că atunci care este inegalitatea triunghiulară (strictă) căutată. Egalitatea are loc , adică în cazul în care cele trei puncte sunt aliniate.  LAB+BVS<LAVS,{\ displaystyle \ AB + BC <AC \;,} X=0{\ displaystyle \ x = 0}

Rețineți că această justificare într-o anumită situație face posibilă justificarea cazului general: acesta din urmă poate fi întotdeauna redus la cel precedent printr-o schimbare a cadrului de referință (transformarea Poincaré) care nu modifică valorile obținute de quadratic formă.

Dovada inegalității triunghiulare

Ne amintim că dacă și atunci .  0<la{\ displaystyle \ 0 <a} 0<b{\ displaystyle \ 0 <b}0<la<b⟺0<la2<b2{\ displaystyle 0 <a <b \ if 0 <a ^ {2} <b ^ {2}}

Notăm când este un vector al . tu=‖tu→‖{\ displaystyle u = \ | {\ vec {u}} \ |}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Presupunem că și , prin urmare, avem ,, și ,, din obținute prin inegalitatea triunghiulară a normei euclidiene clasice .  t>tu{\ displaystyle \ t> u} τ>v{\ displaystyle \ \ tau> v} t2-tu2>0{\ displaystyle \ t ^ {2} -u ^ {2}> 0} τ2-v2>0{\ displaystyle \ \ tau ^ {2} -v ^ {2}> 0} (t+τ)2-(tu→+v→)2>0{\ displaystyle \ (t + \ tau) ^ {2} - ({\ vec {u}} + {\ vec {v}}) ^ {2}> 0} t+τ>‖tu→+v→‖{\ displaystyle \ t + \ tau> \ | {\ vec {u}} + {\ vec {v}} \ |} ‖.‖{\ displaystyle \ \ |. \ |}

Să arătăm, printr-o succesiune de echivalențe, că t2-tu2+τ2-v2≤(t+τ)2-(tu→+v→)2{\ displaystyle {\ sqrt {t ^ {2} -u ^ {2}}} + {\ sqrt {\ tau ^ {2} -v ^ {2}}} \ leq {\ sqrt {(t + \ tau ) ^ {2} - ({\ vec {u}} + {\ vec {v}}) ^ {2}}}}

t2-tu2+τ2-v2≤(t+τ)2-(tu→+v→)2{\ displaystyle {\ sqrt {t ^ {2} -u ^ {2}}} + {\ sqrt {\ tau ^ {2} -v ^ {2}}} \ leq {\ sqrt {(t + \ tau ) ^ {2} - ({\ vec {u}} + {\ vec {v}}) ^ {2}}}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

prin pătrat.

t2-tu2+τ2-v2+2t2-tu2.τ2-v2≤(t+τ)2-(tu→+v→)2{\ displaystyle t ^ {2} -u ^ {2} + \ tau ^ {2} -v ^ {2} +2 {\ sqrt {t ^ {2} -u ^ {2}}}. {\ sqrt {\ tau ^ {2} -v ^ {2}}} \ leq (t + \ tau) ^ {2} - ({\ vec {u}} + {\ vec {v}}) ^ {2}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

Prin dezvoltare și simplificare.

t2-tu2.τ2-v2≤t.τ-tu→.v→{\ displaystyle {\ sqrt {t ^ {2} -u ^ {2}}}. {\ sqrt {\ tau ^ {2} -v ^ {2}}} \ leq t. \ tau - {\ vec { u}}. {\ vec {v}}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

prin pătrat.

(t2-tu2).(τ2-v2)≤(t.τ-tu→.v→)2{\ displaystyle (t ^ {2} -u ^ {2}). (\ tau ^ {2} -v ^ {2}) \ leq (t. \ tau - {\ vec {u}}. {\ vec {v}}) ^ {2}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

prin dezvoltare.

0≤(tu→.v→)2-2tτ.tu→.v→+t2.v2+τ2.tu2-tu2.v2{\ displaystyle 0 \ leq ({\ vec {u}}. {\ vec {v}}) ^ {2} -2t \ tau. {\ vec {u}}. {\ vec {v}} + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -u ^ {2} .v ^ {2}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

folosind .  tu→.v→=tu.v.vs.osθ{\ displaystyle \ {\ vec {u}}. {\ vec {v}} = uvcos \ theta}

0≤(tu.v)2.vs.os2θ-2tτ.tu.v.vs.osθ+t2.v2+τ2.tu2-tu2.v2{\ displaystyle 0 \ leq (uv) ^ {2} .cos ^ {2} \ theta -2t \ tau .uvcos \ theta + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -u ^ {2} .v ^ {2}} ⟺{\ displaystyle \ iff}

prin unele calcule algebrice (factorizări)

0≤(tu.v)2.(vs.osθ-1)2+2tu.v.(tu.v-tτ)vs.osθ+t2.v2+τ2.tu2-2tu2.v2{\ displaystyle 0 \ leq (uv) ^ {2}. (cos \ theta -1) ^ {2} + 2u.v. (uv-t \ tau) cos \ theta + t ^ {2} .v ^ { 2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -2u ^ {2} .v ^ {2}}

Ca și , avem  -1≤vs.osθ≤1{\ displaystyle \ -1 \ leq cos \ theta \ leq 1} tu.v-tτ≤0{\ displaystyle \ uv-t \ tau \ leq 0}

(tu.v)2.(vs.osθ-1)2+2tu.v.(tu.v-tτ)vs.osθ+t2.v2+τ2.tu2-2tu2.v2≥{\ displaystyle (uv) ^ {2}. (cos \ theta -1) ^ {2} + 2u.v. (uv-t \ tau) cos \ theta + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -2u ^ {2} .v ^ {2} \ geq}  2tu.v.(tu.v-tτ)+t2.v2+τ2.tu2-2tu2.v2{\ displaystyle \ 2u.v. (uv-t \ tau) + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -2u ^ {2} .v ^ { 2}}

cu egalitate pentru  vs.osθ=1{\ displaystyle \ cos \ theta = 1}

Notă  : putem studia și variațiile peste intervalul [-1; 1] și arată că minimul său este atins în 1.  f(X)=(tu.v)2.X2-2tτ.tu.v.X+t2.v2+τ2.tu2-tu2.v2{\ displaystyle \ f (X) = (uv) ^ {2} .X ^ {2} -2t \ tau .uvX + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -u ^ {2} .v ^ {2}}

totuși, prin dezvoltare, apoi factorizarea

 2tu.v.(tu.v-tτ)+t2.v2+τ2.tu2-2tu2.v2=(t.v-τ.tu)2≥0{\ displaystyle \ 2u.v. (uv-t \ tau) + t ^ {2} .v ^ {2} + \ tau ^ {2} .u ^ {2} -2u ^ {2} .v ^ { 2} = (tv- \ tau .u) ^ {2} \ geq 0}

Cu egalitate pentru , fie t.v=τtu{\ displaystyle \ tv = \ tau u}vτ=tut{\ displaystyle {\ frac {v} {\ tau}} = {\ frac {u} {t}}}

Prin urmare, inegalitatea triunghiulară inițială este adevărată.

Există egalitate numai pentru și , prin urmare, în cazul în care cvadrivectori și sunt proporționali (coliniari).  vs.osθ=1{\ displaystyle \ cos \ theta = 1} t.v=τtu{\ displaystyle \ tv = \ tau u}vτ=tut{\ displaystyle {\ frac {v} {\ tau}} = {\ frac {u} {t}}} (t,tu→){\ displaystyle (t, {\ vec {u}})}(τ,v→){\ displaystyle (\ tau, {\ vec {v}})}

Dovada algebrică a inegalității triunghiulare

Luați în considerare trei evenimente cronologice situate în conul de lumină.

Fără a restrânge generalitatea, să presupunem .  vs.=1{\ displaystyle \ c = 1}

Notă quadrivector diferenței dintre evenimentele 2 și 1, cea a diferenței dintre 3 - lea și 2 - lea , și , prin urmare , că diferența dintre 3 - lea și 1 st . Prin ipoteză și , ceea ce implică prin inegalitatea triunghiulară a normei euclidiene clasice .  (t,tu→){\ displaystyle \ (t, {\ vec {u}})} (τ,v→){\ displaystyle \ (\ tau, {\ vec {v}})} (t+τ,tu→+v→){\ displaystyle \ (t + \ tau, {\ vec {u}} + {\ vec {v}})} t⩾‖tu→‖{\ displaystyle \ t \ geqslant \ | {\ vec {u}} \ |} τ⩾||v→||{\ displaystyle \ \ tau \ geqslant || {\ vec {v}} ||} t+τ⩾‖tu→+v→‖{\ displaystyle \ t + \ tau \ geqslant \ | {\ vec {u}} + {\ vec {v}} \ |} ‖.‖{\ displaystyle \ \ |. \ |}

Este vorba despre arătare

 t2-‖tu→‖2+τ2-‖v→‖2⩽(t+τ)2-‖tu→+v→‖2{\ displaystyle \ {\ sqrt {t ^ {2} - \ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}}} + {\ sqrt {\ tau ^ {2} - \ | {\ vec {v }} \ | ^ {2}}} \ leqslant {\ sqrt {(t + \ tau) ^ {2} - \ | {\ vec {u}} + {\ vec {v}} \ | ^ {2} }}}

sau

 LA⩽B{\ displaystyle \ A \ leqslant B} cand  LA=t1-‖tu→‖2t2+τ1-‖v→‖2τ2{\ displaystyle \ A = t {\ sqrt {1 - {\ frac {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}} {t ^ {2}}}}} + \ tau {\ sqrt { 1 - {\ frac {\ | {\ vec {v}} \ | ^ {2}} {\ tau ^ {2}}}}}} și  B=(t+τ)1-‖tu→+v→‖2(t+τ)2{\ displaystyle \ B = (t + \ tau) {\ sqrt {1 - {\ frac {\ | {\ vec {u}} + {\ vec {v}} \ | ^ {2}} {(t + \ tau) ^ {2}}}}}}.

Inegalitatea lui Jensen se aplică funcției care este concavă sau  f(X)=X{\ displaystyle \ f (x) = {\ sqrt {x}}}

 λf(X)+μf(y)⩽f(λX+μy){\ displaystyle \ \ lambda f (x) + \ mu f (y) \ leqslant f (\ lambda x + \ mu y)}pentru tot și satisfăcător . λ{\ displaystyle \ \ lambda} μ⩾0{\ displaystyle \ \ mu \ geqslant 0} λ+μ=1{\ displaystyle \ \ lambda + \ mu = 1}

Cu și , vine  λ=tt+τ{\ displaystyle \ \ lambda = {\ frac {t} {t + \ tau}}} μ=τt+τ{\ displaystyle \ \ mu = {\ frac {\ tau} {t + \ tau}}}

 tX+τy⩽(t+τ)tX+τy{\ displaystyle \ t {\ sqrt {x}} + \ tau {\ sqrt {y}} \ leqslant {\ sqrt {(t + \ tau)}} {\ sqrt {tx + \ tau y}}}pentru tot și . X{\ displaystyle \ x} y⩾0{\ displaystyle \ y \ geqslant 0}

Alegând și , el vine  X=1-‖tu→‖2t2{\ displaystyle \ x = 1 - {\ frac {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}} {t ^ {2}}}} y=1-‖v→‖2τ2{\ displaystyle \ y = 1 - {\ frac {\ | {\ vec {v}} \ | ^ {2}} {\ tau ^ {2}}}}

 LA⩽t+τ(t+τ)-t‖tu→‖2t2-τ‖v→‖2τ2{\ displaystyle \ A \ leqslant {\ sqrt {t + \ tau}} {\ sqrt {(t + \ tau) -t {\ frac {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}} { t ^ {2}}} - \ tau {\ frac {\ | {\ vec {vec {v}} \ | ^ {2}} {\ tau ^ {2}}}}}}

Inegalitatea clasică triunghiulară, apoi convexitatea funcției (din nou inegalitatea lui Jensen) implică  X2{\ displaystyle \ x ^ {2}}

 ‖tX→+τy→‖2⩽(t‖X→‖+τ‖y→‖)2⩽(t+τ)(t‖X→‖2+τ‖y→‖2){\ displaystyle \ \ | t {\ vec {x}} + \ tau {\ vec {y}} \ | ^ {2} \ leqslant (t \ | {\ vec {x}} \ | + \ tau \ | {\ vec {y}} \ |) ^ {2} \ leqslant (t + \ tau) (t \ | {\ vec {x}} \ | ^ {2} + \ tau \ | {\ vec {y} } \ | ^ {2})}, este  t‖X→‖2+τ‖y→‖2⩾‖tX→+τy→‖2t+τ{\ displaystyle \ t \ | {\ vec {x}} \ | ^ {2} + \ tau \ | {\ vec {y}} \ | ^ {2} \ geqslant {\ frac {\ | t {\ vec {x}} + \ tau {\ vec {y}} \ | ^ {2}} {t + \ tau}}}pentru toți vectorii și . X→{\ displaystyle \ {\ vec {x}}} y→{\ displaystyle \ {\ vec {y}}}

Alegând și , avem , și așa  X→=tu→t{\ displaystyle \ {\ vec {x}} = {\ frac {\ vec {u}} {t}}} y→=v→τ{\ displaystyle \ {\ vec {y}} = {\ frac {\ vec {v}} {\ tau}}} tX→+τy→=tu→+v→{\ displaystyle \ t {\ vec {x}} + \ tau {\ vec {y}} = {\ vec {u}} + {\ vec {v}}}

 LA⩽t+τ(t+τ)-‖tu→+v→‖2t+τ=B{\ displaystyle \ A \ leqslant {\ sqrt {t + \ tau}} {\ sqrt {(t + \ tau) - {\ frac {\ | {\ vec {u}} + {\ vec {v}} \ | ^ {2}} {t + \ tau}}}} = B}.

Condiții egale:

Prin concavitatea și convexitatea „strictă” a , egalitatea implică paralel cu (și în aceeași direcție). atunci , așa să fie . Dacă inegalitatea triunghiulară este o egalitate, atunci cvadrivectorii celor 3 evenimente sunt aliniați. Conversația este ușor verificată.  X{\ displaystyle \ {\ sqrt {x}}} X2{\ displaystyle \ x ^ {2}} LA=B{\ displaystyle \ A = B} X=y,tX→{\ displaystyle \ x = y, t {\ vec {x}}} τy→{\ displaystyle \ \ tau {\ vec {y}}} t‖X→‖=τ‖y→‖{\ displaystyle \ t \ | {\ vec {x}} \ | = \ tau \ | {\ vec {y}} \ |} tu→/t=v→/τ{\ displaystyle \ {\ vec {u}} / t = {\ vec {v}} / \ tau}

Geometrie hiperbolică

Fă fizică

Geometrizarea fizicii relativiste

Punctele geometrice reprezintă evenimente fizice și sunt identificate prin patru coordonate (ct, x, y, z) coordonate ale timpului și cele trei coordonate ale spațiului . Cele Referințele matematice nu reprezintă cadrele de referință Galileene , iar obligația de matematică de a alege un cadru de referință, pentru a desemna punctele de coordonate, corespunde celei, în fizică, pentru a alege un cadru de referință pentru observator, inclusiv în ceea ce privește alegerea măsura timpului.

Din punctul de vedere al realismului intuitiv, particularitatea matematică a acestui spațiu afin constă în distanța sa între două puncte, numite pseudo-metrice , care a fost construită de Hermann Minkowski pentru a fi invariantă prin schimbările de referință care sunt transformările Lorentz . Pseudo-metric se numește , de asemenea , pseudo-norma atunci când folosim doar spațiul vectorial care stă la baza spațiului afin. Această pseudo-metrică corespunde timpului adecvat dintre două evenimente care pot fi unite cauzal sau corespunde distanței corespunzătoare dintre ele dacă nu pot.

Pseudo-metric , notat , este definit de sau în conformitate cu convenția semn sau alesul. Această definiție face ca pseudo-metricul să fie identic cu intervalul spațiu-timp, care este invariantul relativist prin schimbarea cadrului de referință galilean .  Δs{\ displaystyle \ \ Delta s} Δs2=-vs.2(Δt)2+(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = - c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}} Δs2=vs.2(Δt)2-(ΔX)2-(Δy)2-(Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}(-;+;+;+){\ displaystyle (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}

Un eveniment dat, setul de evenimente fizic accesibile în viitor și cele din trecut de la care ne-am putea alătura evenimentului dat, formează un con în spațiul Minkowski, numit con de lumină , și care permite raționamentul pur geometric prin desene numite diagrame Minkowski .

Acest spațiu este pseudo-euclidian  : deși metrica este doar o pseudo-metrică , geodezica este linia dreaptă, ceea ce înseamnă că acest spațiu este plat ca într-un spațiu euclidian. Inegalitățile triunghiulare valabile acolo arată că un segment este cea mai lungă cale dintre două puncte, ceea ce reprezintă o diferență clară cu geometria euclidiană.

În acest spațiu, dimensiunea relativă la timp poate fi considerată ca un număr imaginar , în timp ce celelalte trei coordonate (spațiale) sunt întotdeauna numere reale  : această alegere modifică scrierea pseudo-normei și prezentarea calculelor, fără a aduce mai mult simplitate.

Un cadru de referință spațial Minkowski (afin) este un cadru de referință galilean pentru un observator: alegerea unui loc și moment de referință, alegerea axelor tridimensionale și a unui timp. Un observator și cadrul său de referință, fiind scufundat în acest spațiu, el localizează un eveniment (punct în spațiu-timp) prin coordonatele sale temporale (t) și spațiale (x; y; z): se notează un punct M sau , prin pozare .  M(vs.t;X;y;z){\ displaystyle \ M (ct; x; y; z)} M(X0;X1;X2;X3){\ displaystyle \ M (x ^ {0}; x ^ {1}; x ^ {2}; x ^ {3})} X0=vs.t ; X1=X ; X2=y ; X3=z{\ displaystyle \ x ^ {0} = ct ~; ~ x ^ {1} = x ~; ~ x ^ {2} = y ~; ~ x ^ {3} = z}

Orientează spațiul și timpul

Numai structura algebrică nu face posibilă realizarea fizicii, este necesar cel puțin pentru aceasta: introducerea principiului cauzalității care impune faptul că nu se poate întoarce fizic cursul timpului; postulează că o schimbare fizică a cadrului de referință galilean nu poate schimba orientarea spațiului tridimensional .

Schimbați depozitul

Schimbarea cadrului fizic de referință, respectând relativitatea, înseamnă a folosi o schimbare a cadrului de referință matematic care lasă pseudo-norma invariantă, adică pătratul intervalului spațiu-timp  : trebuie, așadar, să ne limităm la elemente de grupul Poincaré. Dar constrângerile fizice de orientare a spațiului și a timpului obligă să pună deoparte 75% din elementele grupului Poincaré pentru a păstra doar cele care reprezintă o schimbare a cadrului de referință realist  : traducerile , rotațiile spațiului fizic la trei dimensiuni și transformări Lorentz proprii și ortochrone.

Linia universului

Traiectoria spațiotemporală a unui corp punctiform masiv , numită linia universului său , este o curbă în spațiul Minkowski; dar nu orice curbă poate pretinde a fi o traiectorie realistă (linia universului): pentru aceasta trebuie să meargă întotdeauna în direcția crescândă a timpului și să fie în întregime conținută în interiorul fiecărui con de lumină centrat în fiecare dintre punctele sale succesive (spunem atunci că este de „tip timp”); altfel înseamnă că viteza luminii este atinsă sau depășită până la punctul în care această condiție nu este îndeplinită. Traiectoria unui corp punctual de masă zero (un foton de exemplu) este o linie a universului conținută în marginea conului de lumină, această traiectorie fiind în general rectilinie.

Ca orice curbă, o linie universală poate fi parametrizată, parametrul neavând neapărat o semnificație fizică, dar orice observator scufundat în acest spațiu-timp trebuie să aibă acces la ea: să nu uităm că spațiul lui Minkowski reprezintă spațiul nostru în care fizicianul este localizat. Coordonatele corpului M sunt apoi scrise , unde este parametrul.  M(vs.t(λ);X(λ);y(λ);z(λ)){\ displaystyle \ M (ct (\ lambda); x (\ lambda); y (\ lambda); z (\ lambda))}λ∈R{\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}

Pentru observator, alegerea timpului cadrului său de referință ca parametru este cea mai naturală: coordonatele corpului M sunt apoi scrise . Cu această alegere, care este cea mai accesibilă pentru observator și utilizată în fizica clasică , viteza este exprimată și nu este un quadrivector: pseudo-norma sa este variabilă prin schimbarea cadrului de referință (cu excepția cazului în care ceea ce nu este posibil este posibil doar dacă masa este zero) și este posibil ca proprietățile pe care le verifică să nu fie valabile în alte depozite. Alegând un parametru specific cadrului său de referință, observatorul are dificultăți în accesarea proprietăților generale referitoare la corpul în mișcare.  M(vs.t;X(t);y(t);z(t)){\ displaystyle \ M (ct; x (t); y (t); z (t))} V(vs.;X˙;y˙;z˙){\ displaystyle \ V (c; {\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}})}vs.1-v2vs.2{\ displaystyle c {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} v=vs.{\ displaystyle \ v = c}

Simultaneitate

Noțiunea de ortogonalitate este important în spațiu Minkowski, deoarece complementul ortogonal al direcției (tangenta) a unei linii univers într - un punct p este un tri-dimensional „plan“ , care conține toate evenimentele simultane la eveniment. P .

Într-adevăr, prin definiția ortogonalității, „complementul ortogonal al timpului propriu al acestei linii universale” la punctul p este setul de evenimente care, în cadrul galilean de referință tangent la linia universului, nu au nici o componentă de timp ( ) . Prin urmare, aceste evenimente au loc „în același moment” ca evenimentul p pe această linie universală. Acest spațiu tridimensional este numit planul simultaneității pentru acest eveniment de pe această linie universală. Δτ=0{\ displaystyle \ Delta \ tau = 0}

Nu este posibil să se ia complementul ortogonal al unui punct simplu (eveniment) p fără a asocia linia universului și, prin urmare, viteza sa. Acest lucru ilustrează clar că - în relativitatea specială - noțiunea de simultaneitate depinde de viteză.

Cadrivectori

Un cvadrivector este un vector care are patru coordonate legate de cadrul de referință ales, dar a cărui pseudo-normă este independentă de cadrul de referință. Spunem că pseudo-norma unui cvadrivector este un invariant relativist .  la{\ displaystyle \ a} (la0;la1;la2;la3){\ displaystyle \ (a ^ {0}; a ^ {1}; a ^ {2}; a ^ {3})} (la0)2-(la1)2-(la2)2-(la3)2{\ displaystyle \ \ left (a ^ {0} \ right) ^ {2} - \ left (a ^ {1} \ right) ^ {2} - \ left (a ^ {2} \ right) ^ {2 } - \ left (a ^ {3} \ right) ^ {2}}

Viteza Quad

Viteza cvadruplă este un cvadrivector, extinzând noțiunea de vector viteză în spațiul Minkowski. Acest vector este tangent la linia universului în punctul spațiului-timp considerat și direcționat spre viitor, pseudo-norma sa nu depinde de cadrul de referință ales pentru a exprima coordonatele.

Cazul unui corp masiv

Pentru a determina proprietățile mișcării corpului masiv care rămân valabile în alte cadre de referință decât ale sale, observatorul trebuie să aleagă un parametru care rămâne neschimbat de la un cadru de referință la altul: timpul adecvat al corpului în mișcare. Nu este ușor accesibil observatorului, cu toate acestea definiția sa face posibilă scrierea unde este viteza spațială calculată într-un mod clasic, prin urmare Ceea ce arată că timpul adecvat poate fi obținut în orice cadru de referință, prin măsurători clasice și unele calcule .  τ{\ displaystyle \ \ tau}dτ=dt.1-v2vs.2{\ displaystyle d \ tau = dt. {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} v{\ displaystyle \ v}Δτ=∫t1t21-v2(t)vs.2dt.{\ displaystyle \ Delta \ tau = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}} }}} dt \;.}

Parametrizând după , avem și . Observăm că astfel definite au dimensiunea unei viteze.  τ{\ displaystyle \ \ tau} M(X0(τ);X1(τ);X2(τ);X3(τ)){\ displaystyle \ M (x ^ {0} (\ tau); x ^ {1} (\ tau); x ^ {2} (\ tau); x ^ {3} (\ tau))} V(dX0dτ;dX1dτ;dX2dτ;dX3dτ)=V(V0;V1;V2;V3){\ displaystyle \ V \ left ({\ frac {dx ^ {0}} {d \ tau}}; {\ frac {dx ^ {1}} {d \ tau}}; {\ frac {dx ^ {2 }} {d \ tau}}; {\ frac {dx ^ {3}} {d \ tau}} \ right) = V \ left (V ^ {0}; V ^ {1}; V ^ {2} ; V ^ {3} \ dreapta)} Veu{\ displaystyle \ V ^ {i}}

Egalitatea duce la , adică . Viteza astfel luată în considerare este de pseudo-normă invariantă prin schimbarea cadrului de referință: este un cvadrivector.  vs.2dτ2=vs.2dt2-dX2-dy2-dz2{\ displaystyle \ c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}(V0)2-(V1)2-(V2)2-(V3)2=vs.2{\ displaystyle \ left (V ^ {0} \ right) ^ {2} - \ left (V ^ {1} \ right) ^ {2} - \ left (V ^ {2} \ right) ^ {2} - \ left (V ^ {3} \ right) ^ {2} = c ^ {2}} V2=Veu.Veu=vs.2{\ displaystyle \ V ^ {2} = V ^ {i} .V_ {i} = c ^ {2}}

Prin relația dintre și , arătăm că , prin urmare, știind că într-un cadru de referință inerțial un corp liber are o viteză constantă (clasică :) față de timpul t, este același lucru pentru patru viteze față de timpul curat .  dt{\ displaystyle \ dt} dτ{\ displaystyle \ d \ tau} V(V0;V1;V2;V3)=11-v2vs.2(vs.;X˙;y˙;z˙)=γ.(vs.;v→){\ displaystyle \ V \ left (V ^ {0}; V ^ {1}; V ^ {2}; V ^ {3} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} (c; {\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}}) = \ gamma. ( c; {\ vec {v}}) \;}v→(X˙;y˙;z˙){\ displaystyle {\ vec {v}} ({\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}})} V{\ displaystyle \ V}τ{\ displaystyle \ tau}

Cazul unui corp de masă zero

O particulă de masă zero are o viteză (clasică) egală cu viteza luminii: În acest caz pseudo-norma lui este egală cu , este deci un quadri-vector: egalitățile stabilite pentru un corp masiv nu trebuie să fie pentru un corp cu masă zero și, în plus, nu poate, timpul adecvat al acestui corp fiind zero ( ).  v=vs..{\ displaystyle \ v = c \;.}(vs.;X˙;y˙;z˙){\ displaystyle (c; {\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}})}vs.1-v2vs.2=0{\ displaystyle c {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = 0 \;} dτ=1-v2vs.2.dt=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ d \ tau = {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}. dt = 0 \;}

În general , egalitate, arată că orice parametru poate fi ales pentru a stabili traiectoria corpului deoarece „  viteza  “ astfel obținută o constantă pseudo-etalon (zero), și , prin urmare , este un vector cu patru: .  vs.2dt2-dX2-dy2-dz2=0{\ displaystyle \ c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = 0} λ{\ displaystyle \ \ lambda}V=dMdλ{\ displaystyle \ scriptstyle V = {\ frac {dM} {d \ lambda}}}Veu.Veu=(vs.dtdλ)2-(dXdλ)2-(dydλ)2-(dzdλ)2=0{\ displaystyle \ scriptstyle V ^ {i} .V_ {i} = \ left ({\ frac {cdt} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {dx} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {dy} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {dz} {d \ lambda}} \ dreapta) ^ {2} = 0}

Impulsul Quad Cazul unui corp masiv

Ca și clasic impulsul sau impuls , definim cvadrilete impulsului , care este un quadrivector deoarece este proporțională cu patru trepte cu un coeficient invariant prin schimbarea cadrului de referință ( m , masa ). Dacă corpul este liber, impulsul său de patru este constant, ca și viteza de patru.  P=m.V{\ displaystyle \ P = mV}

Observăm care are dimensiunea unei energii și . Avem , din care deducem , ce putem scrie . Această egalitate arată că nu are maxim, dar are ca minim , energie în repaus sau energie de masă . În plus, apropierea la viteze mici , în fața c dând care arată că rolul energiei totale a corpului în relativitatea (energie în repaus + energie cinetică ) joacă , relativ la cadrul de referință al observatorului, așa cum este indicat de prezența vitezei clasice în egalitatea de .  E=vs..P0{\ displaystyle \ E = cP ^ {0}}p→=(P1;P2;P3){\ displaystyle {\ vec {p}} = \ left (P ^ {1}; P ^ {2}; P ^ {3} \ right)} P2=Peu.Peu=m2.vs.2{\ displaystyle \ P ^ {2} = P ^ {i} .P_ {i} = m ^ {2} .c ^ {2}} m2.vs.4=E2-p2.vs.2{\ displaystyle \ m ^ {2} .c ^ {4} = E ^ {2} -p ^ {2} .c ^ {2}} E2=p2.vs.2+m2.vs.4{\ displaystyle \ E ^ {2} = p ^ {2} .c ^ {2} + m ^ {2} .c ^ {4}} E{\ displaystyle \ E} E0=mvs.2{\ displaystyle \ E_ {0} = mc ^ {2}} E=mvs.21-v2vs.2≈mvs.2+12mv2,{\ displaystyle \ E = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} approx mc ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \;,} E{\ displaystyle \ E} v{\ displaystyle \ v} E{\ displaystyle \ E}

Din definițiile și egalitățile expuse, putem arăta că . Această egalitate independentă de masă (deși până acum se presupunea că nu este zero), arată că dacă atunci , ceea ce asigură că masa corpului este zero: un corp având viteza luminii este neapărat de masă zero.  E.v→=p→.vs.2{\ displaystyle \ E. {\ vec {v}} = {\ vec {p}}. c ^ {2}} v=vs.{\ displaystyle \ v = c}E2-p2.vs.2=0{\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2} .c ^ {2} = 0}

Cazul unui corp de masă zero

Dacă înmulțim patru viteze ale unui corp de masă zero cu masa sa (zero), se obține un zero de patru momente: energia unui astfel de corp ar fi zero, precum și impulsul său. Cu toate acestea, cel mai simplu experiment (fiind încălzit la soare) arată că lumina transportă energie: un quadri-impuls diferit de zero trebuie să fie definibil. Să presupunem că acest lucru cunoscut de patru-impuls: . Pentru ca acest cvadrivector să fie în concordanță cu restul teoriei, pseudo-norma sa trebuie să dea egalitate , deci , care este egalitatea pentru . Prin urmare, un corp cu masă zero trebuie în mod necesar înzestrat cu viteza luminii. În ceea ce privește lumina, cunoștințele sale necesită o muncă mai aprofundată care o privește, ca undă electromagnetică în fizica relativistă sau ca foton în fizica cuantică . Celelalte particule de masă zero se încadrează în această din urmă teorie. (Evs.;p→){\ displaystyle \ left ({\ frac {E} {c}}; {\ vec {p}} \ right)}E2-p2.vs.2=m2vs.4=0{\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2} .c ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} = 0} E=p.vs.{\ displaystyle \ E = pc} E.v=p.vs.2{\ displaystyle \ Ev = pc ^ {2}} v=vs.{\ displaystyle \ v = c}

Quadri-forță

Cadrul-forță este definit de . Este egal cu , unde este quadri-accelerația definită de .  F{\ displaystyle \ F} F=dPdτ{\ displaystyle \ F = {\ frac {dP} {d \ tau}}} m.LA{\ displaystyle \ mA} LA{\ displaystyle \ A} LA=dVdτ{\ displaystyle \ A = {\ frac {dV} {d \ tau}}}

Egalitatea conduce, prin derivare de , cei doi cvadrivectori sunt ortogonali. Acest lucru face posibilă scrierea, după unele manipulări algebrice, prin definirea și utilizarea relației dintre și și cea dintre și obținem relația care este interpretată ca fiind expresia relativistă a teoremei energiei cinetice .  P2=Peu.Peu=m2.vs.2{\ displaystyle \ P ^ {2} = P ^ {i} .P_ {i} = m ^ {2} .c ^ {2} \;}τ{\ displaystyle \ tau} Peu. Feu=0:{\ displaystyle \ P ^ {i}. \ F_ {i} = 0 \;:}
dEdτ.Emvs.2=∑k=13Fk.Vk.{\ displaystyle {\ frac {dE} {d \ tau}}. {\ frac {E} {mc ^ {2}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} F ^ {k} .V ^ {k} \;.}p→=(P1;P2;P3)=mv→1-v2vs.2,{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ left (P ^ {1}; P ^ {2}; P ^ {3} \ right) = {\ frac {m {\ vec {v}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}};;,} f→=dp→dt,{\ displaystyle {\ vec {f}} = {\ frac {d {\ vec {p}}} {dt}} \;,} dt{\ displaystyle \ dt} dτ{\ displaystyle \ d \ tau} E{\ displaystyle \ E} mvs.2,{\ displaystyle \ mc ^ {2} \;,}dEdt=f→.v→{\ displaystyle {\ frac {dE} {dt}} = {\ vec {f}}. {\ vec {v}} \;}

Tensori

Un tensor de ordinul n al spațiului Minkowski este o mărime localizată prin coordonatele sale și având componente liniar dependente de coordonate în timpul schimbării cadrului de referință. Această dependență liniară face ca o egalitate tensorială stabilită într-un anumit cadru de referință să fie o adevărată egalitate în orice cadru de referință.  (X0;X1;X2;X3){\ displaystyle \ (x ^ {0}; x ^ {1}; x ^ {2}; x ^ {3})} 4nu{\ displaystyle \ 4 ^ {n}}

Tensorii de ordinul 0 sunt constante precum masa corpului, sarcina electrică a acestuia , viteza luminii, pseudo-norma unui cvadrivector. Tensorii de ordinul 1 sunt cvadrivectori. Tensorii de ordinul 2 sunt, de exemplu, tensorul metric , tensorul electromagnetic .

Utilizarea tensorului electromagnetic în spațiul Minkowski este cea mai sintetică metodă de exprimare a proprietăților câmpului electromagnetic în relativitate specială.

Generalizare la orice dimensiune

În cadrul geometriei lorentziene , definim un spațiu Minkowski de dimensiune n ca un spațiu afin prevăzut cu o formă de semnătură pătratică (+, -, -, ..., -).

Note și referințe

1. Roger Penrose , Drumul spre realitate , cărți ediția Vintage, 2007. p404-412.
2. Aspect, Bouchet, Brunet și colab. 2005 , p.  271, 276 și 278.
3. Choquet-Bruhat 2014 , p.  40.
4. Damour 2007 .
5. Gourgoulhon 2010 , p.  XIX .
6. Bracco și Provost 2009 , §  1 .
7. Gourgoulhon 2013 , p.  26.
8. (fr) Henri Poincaré și spațiu-timp convențional de Scott A. Walter, de la Universitatea din Nantes și Centrul François Viète (EA 1161).
9. Gourgoulhon 2010 , p.  24.
10. Gourgoulhon 2013 , p.  27.
11. Gourgoulhon 2010 , p.  2.
12. Gourgoulhon 2010 , p.  3.
13. Cu semnătură (+;-;-;-){\ displaystyle (+; -; - ;-)}
14. Nu îndeplinește definiția matematică a distanței , dar joacă un rol similar distanței în spațiul afin euclidian.
15. Dintre pseudo-metrice, forma biliniară și pseudo-norma, dacă una este lăsată invariantă printr-o transformare a spațiului, atunci celelalte două sunt, de asemenea, invariante.
16. Convenția corespunde alegerii făcute în textele anglo-saxone; convenția corespunde alegerii făcute în celebrele texte pedagogice ale lui Lev Landau , de exemplu. Această ultimă alegere este considerată „mai fizică” de Roger Penrose deoarece metrica este pozitivă pentru liniile universului de tip timp, care sunt singurele admise pentru particulele masive. (-;+;+;+){\ displaystyle \ (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}
17. Jean Parizot, Geometria relativității speciale , ediții Ellipse, 2008, ( ISBN  978-2-7298-3902-4 ) . § 2.3.3 Cauzalitate, simultaneitate , pagina 34.
18. Unii autori preferă să parametrizeze cu , în loc de , iar viteza quad este apoi adimensională. vs..τ{\ displaystyle \ c. \ tau} τ{\ displaystyle \ \ tau}
19. Această egalitate poate fi luată ca definiție a celor patru viteze: pseudo-norma de a fi , pseudo-norma lui este egală cu c , prin urmare este o constantă independentă de cadrul de referință, avem apoi un quad-vector .(vs.;X˙;y˙;z˙){\ displaystyle (c; {\ dot {x}}; {\ dot {y}}; {\ dot {z}})}vs.1-v2vs.2{\ displaystyle \ scriptscriptstyle c {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}11-v2vs.2(vs.;X˙;y˙;z˙){\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} (c; {\ dot {x}}; { \ dot {y}}; {\ dot {z}})}
20. În absența unui câmp electromagnetic și a unei sarcini electrice în corp: în caz contrar, se adaugă un termen în definiția luiP0{\ displaystyle P ^ {0}}

Vezi și tu

Bibliografie

• [Aspect, Bouchet, Brunet și colab. 2005] Alain Aspect , François Bouchet , Éric Brunet și colab. (prefață de Michèle Leduc și Michel Le Bellac), Einstein astăzi , Les Ulis și Paris, EDP ​​Sciences și CNRS Éditions , col.  „Cunoaștere actuală / Fizică”,ianuarie 2005, 1 st  ed. , 1 vol., VIII -417  p. , 15 × 23  cm ( ISBN  2-271-06311-6 , 978-2-271-06311-3 , 2-86883-768-9 și 978-2-86883-768-4 , notificare BnF n o  FRBNF39916190 , SUDOC  083929657 , prezentare online , citit online ).
• [Bracco and Provost 2009] Christian Bracco și Jean-Pierre Provost , „  De la electromagnetism la mecanică: rolul acțiunii în Memoriul lui Poincaré1905 », Revue d'histoire des sciences , t.  62, n o  2Iulie - decembrie 2009, p.  457-493 ( DOI  10.3917 / rhs.622.0457 , rezumat , citit online , accesat la 21 decembrie 2017 ).
• [Choquet-Bruhat 2014] (ro) Yvonne Choquet-Bruhat (postface de Thibault Damour ), Introducere în relativitatea generală, găurile negre și cosmologia [„Introducere în relativitatea generală, găurile negre și cosmologia”], Oxford, Oxford University Press ,noiembrie 2014, 1 st  ed. , 1 vol. , XX -279  p. , 18,9 × 24,6  cm ( ISBN  0-19-966645-8 , 978-0-19-966645-4 , 0-19-966646-6 și 978-0-19-966646-1 , OCLC  907120831 , Notificare BnF nr .  FRBNF44283477 , SUDOC  184906695 , prezentare online , citit online ).
• [Le Bellac 2015] M. Le Bellac ( pref.  Of Th. Damour ), Relativities: space, time, gravitation , Les Ulis, EDP ​​Sci. , col.  „Un introd. la ... ",Aprilie 2015, 1 st  ed. , 1  vol. , XIV -218  p. , bolnav. , 24  cm ( ISBN  978-2-7598-1294-3 , EAN  9782759812943 , OCLC  910332402 , notificare BnF n o  FRBNF44362603 , SUDOC  185764118 , prezentare online , citit online ) , p.  111-135.
• [Damour 2007] (ro) Thibault Damour ( tradus  din franceză de Erik Novak), cap.  1 st „relativității generale de astăzi“ , în Thibault Damour, Bertrand Duplantier și Vincent Rivasseau (ed.), Gravitation și experiment: Seminar Poincaré2006(Actele celui de - al X - lea  Seminar Poincaré, organizat de Institutul Henri Poincaré și desfășurat la Paris la28 octombrie 2006), Basel, Berlin și Boston, Birkhäuser , col.  „Progresul în fizica matematică” ( nr .  52),octombrie 2007, 1 st  ed. , 1 vol. , VII -138  p. , 24  cm ( ISBN  3-7643-8523-5 și 978-3-7643-8523-1 , OCLC  310620421 , notificare BnF n o  FRBNF41110545 , DOI  10.1007 / 978-3-7643-8524-8 , SUDOC  11953388X , prezentare în linie , citiți online ) , p.  1-49 ( citiți online ) Citat din comunicarea originală: Tibault Damour , „  General Relativity Today  ” , 39  p. , pe bourbaphy.fr .
• [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon ( pref.  Of Thibault Damour ), Relativitate restrânsă: de la particule la astrofizică , Les Ulis și Paris, EDP ​​Sciences și CNRS Éditions , col.  „Cunoaștere actuală / Fizică”,Mai 2010( repr. septembrie 2011), 1 st  ed. , 1 vol., XXVI -776  p. , 15 x 23  cm ( ISBN  2-271-07018-X , 978-2-271-07018-0 , 2-75980-067-9 și 978-2-7598-0067-4 , OCLC  690 639 994 , înregistrare BNF n o  FRBNF41411713 , SUDOC  14466514X , prezentare online , citiți online ).
• [Gourgoulhon 2013] (ro) Éric Gourgoulhon ( trad.  Din franceză), Relativitatea specială în cadre generale: de la particule la astrofizică [„ Relativitate specială: de la particule la astrofizică”], Berlin și Heidelberg, Springer , col.  "Textele postuniversitare în fizică",August 2013( repr. august 2016), 1 st  ed. , 1 vol. , XXX -784  p. , 15,5 × 23,5  cm ( ISBN  3-642-37275-9 , 978-3-642-37275-9 , 3-662-52083-4 , 978-3-662-52083-3 , 3-642 -37276-7 și 978-3-64237276-6 , OCLC  864435638 , DOI  10.1007 / 978-3-642-37276-6 , SUDOC  174647638 , prezentare online , citiți online ).

Dicționare și enciclopedii

• [Sokolov 1995] (ro) DD Sokolov , „  Spațiul Minkowski  ” , în M. Hazewinkel , Enciclopedia matematicii [„Enciclopedia matematicii”], t.  III  : Hea - mama , Dordrecht și Boston, Kluwer Academic,1995, 1  vol. , 950  p. , bolnav. , 30  cm ( OCLC  36916612 , SUDOC  030252288 , citiți online ) , p.  904-905
• [Taillet, Villain și Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain și P. Febvre , Dicționar de fizică , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , cu excepția col. ,Ianuarie 2018, A 4- a  ed. ( 1 st  ed. Mai 2008), 1  vol. , X -956  p. , bolnav. și fig. , 17 × 24  cm ( ISBN  978-2-8073-0744-5 , EAN  9782807307445 , OCLC  1022951339 , SUDOC  224228161 , prezentare online , citit online ) , spațiu-timp al lui Minkowski sv , p.  278, col.  1-2.

Articole similare

• Spațiul pseudo-euclidian
• Spațiu timp
• Diagrama Minkowski
• Relativitatea

linkuri externe

• Înregistrări de autoritate  :
  • Biblioteca Națională a Franței ( date )
  • Biblioteca Congresului
  • Gemeinsame Normdatei