Egalitatea parsevalului
Egalitatea lui Parseval uneori numită lui Parseval teorema sau relația lui Parseval este o formulă de bază a teoriei serii Fourier . Îi datorăm matematicianului francez Marc-Antoine Parseval des Chênes ( 1755 - 1836 ).
Este denumită și Identitatea Rayleigh de la numele fizicianului John William Strutt Rayleigh , care a câștigat Premiul Nobel pentru fizică din 1904 .
Această formulă poate fi interpretată ca o generalizare a teoremei lui Pitagora pentru serii în spații Hilbert .
În multe aplicații fizice (de exemplu, curent electric), această formulă poate fi interpretată după cum urmează: energia totală este obținută prin adăugarea contribuțiilor diferitelor armonici .
Energia totală a unui semnal nu depinde de reprezentarea aleasă: frecvență sau timp.
E=∫-∞+∞|X(t)|2 dt=∫-∞+∞|X(f)|2 df.{\ displaystyle E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | x (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } | X (f) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} f.}
Inegalitatea Bessel
Următoarea teoremă este demonstrată în articolul detaliat.
Fie o familie ortonormală a unui spațiu preilbertian .
(eeu)eu∈Eu{\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}} H{\ displaystyle H}
- Pentru orice vector , inegalitatea Bessel afirmă sumabilitatea următoarei familii și limita superioară:X∈H{\ displaystyle x \ în H}
∑eu∈Eu|⟨eeu|X⟩|2≤‖X‖2{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ left | \ langle e_ {i} | x \ rangle \ right | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}},ceea ce înseamnă că setul de termeni diferiți de zero este cel mult numărabil și constituie o serie absolut convergentă , de sumă mărită cu .‖X‖2{\ displaystyle \ | x \ | ^ {2}}
- Dacă și numai dacă este în aderența spațiului vectorial generat de familie , atunci limita superioară este o egalitate, numită „egalitate Parseval”. Astfel, familia este o bază Hilbert a dacă și numai dacă egalitatea este valabilă pentru orice vector .X{\ displaystyle x}(eeu)eu∈Eu{\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}H{\ displaystyle H}X∈H{\ displaystyle x \ în H}
Formula pentru seria Fourier
Fie o funcție T -periodică și de pătrat integrabilă pe o perioadă (este valabilă astfel în special pentru T -periodică și continuă pe bucăți ). Definim coeficienții lui Fourier :
f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}
vs.nu=1T∫-T/2T/2f(t)e-eunu2πTt dt{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} n {\ frac {2 \ pi} {T}} t} ~ \ mathrm {d} t}.
Egalitatea lui Parseval afirmă convergența următoarelor serii și afirmă identitatea:
∑nu=-∞+∞|vs.nu|2=1T∫-T/2T/2|f(t)|2 dt=‖f‖2{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ | f \ | ^ {2}}.
Dacă funcția are valori reale, pot fi adoptate următoarele convenții:
f{\ displaystyle f}
-
la0=1T∫-T/2T/2f(t) dt=vs.0{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t = c_ {0}} ;
-
lanu=2T∫-T/2T/2f(t)cos2πnutT dt{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ cos {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t} ;
-
bnu=2T∫-T/2T/2f(t)păcat2πnutT dt{\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ sin {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}.
Egalitatea lui Parseval devine:
‖f‖2=la02+12∑nu=1+∞(lanu2+bnu2){\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ dreapta)}.
Atenție : unii autori preferă o convenție pentru care expresia unui 0 este și în 2 / T :
la0=2T∫-T/2T/2f(t) dt{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t}.
Formula lui Parseval devine apoi:
‖f‖2=14la02+12∑nu=1+∞(lanu2+bnu2){\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {4}} a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right)}.
Aplicații
- Aceste rezultate se aplică în special în cazul unui spațiu prehilbertian de dimensiune finită, de exemplu în analiza armonică pe un grup abelian finit .
- Dacă două funcții pătrate integrabile f și g au același spectru de frecvență (aceiași coeficienți Fourier), atunci coeficienții Fourier ai f - g sunt toți zero (prin liniaritate) și ║ f - g ║ 2 = 0. De fapt, f și g sunt egale aproape peste tot . Dacă în plus f și g sunt bucăți continue, f și g sunt egale, cu excepția nivelului punctelor de discontinuitate ale lui f și g .
- Atunci când integralul este mai ușor de calculat decât seria, egalitatea Parseval este o modalitate de a calcula un anumit număr de serii numerice (se poate folosi egalitatea într-un punct între funcție și seria Fourier , dată de exemplu de teorema lui Dirichlet ) .
- Egalitatea Parseval permite obținerea inegalității Wirtinger între normele unei funcții periodice și derivatele acesteia, apoi inegalitatea clasică isoperimetrică .
Reciproc: teorema Riesz-Fischer
Notăm cu ℓ 2 spațiul vectorial al secvențelor astfel încât seria converge.
(vs.nu)nu∈Z{\ displaystyle (c_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}∑-∞+∞‖vs.nu‖2 {\ displaystyle \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ | c_ {n} \ | ^ {2} \}
Riesz-Fischer teorema face posibilă starea că o astfel de secvență este secvența coeficienților Fourier a unei funcții pătrat integrabile, T periodică.
(vs.nu)nu∈Z{\ displaystyle (c_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}
Astfel există izomorfism între spațiile L 2 T ale funcțiilor pătrate integrabile periodice și T și ℓ 2 . Formula lui Parseval arată că este chiar o izometrie .
Note și referințe
-
„ Capitolul 7: Transformarea Fourier ” , pe ressources.unisciel.fr (accesat la 11 august 2019 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">