Asociativitatea puterilor

În algebră , asociativitatea puterilor este o formă slabă de asociativitate .

Se spune că o magmă este asociativă a puterilor dacă sub-magma generată de orice element este asociativă. Concret, aceasta înseamnă că, dacă o operație este efectuată de mai multe ori pe același element , ordinea în care sunt efectuate aceste operații nu contează; deci, de exemplu ,. $*$ $X$ ${\ displaystyle x * (x * (x * x)) = (x * (x * x)) * x = (x * x) * (x * x)}$

Orice magmă asociativă este evident asociativă a puterilor .

Dacă o magmă este asociativă a puterilor, atunci pentru orice element al , dar inversul este fals (contraexemplu: cu definit de ). $M$ ${\ displaystyle (x * x) * x = x * (x * x)}$ $X$ $M$ ${\ displaystyle M = (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}, *)}$ $*$ ${\ displaystyle x * y = {\ overline {1}} + xy}$

O magmă alternativă nu este neapărat asociativă a puterilor, dar o algebră alternativă este, cum ar fi cea a octonionilor . Unele algebre non-alternative sunt, de asemenea, algebre, precum cea a sedeniunilor .

Exponentiation la un non - zero , număr întreg naturale de putere poate fi setat în mod constant în cazul în care multiplicarea este asociativa puterilor . De exemplu, nu există nicio ambiguitate că x 3 este definit ca (xx) x sau x (xx), deoarece cele două sunt egale. Exponențierea la o putere zero poate fi, de asemenea, definită dacă operația are un element neutru : existența unor astfel de elemente este astfel deosebit de utilă în contexte în care se verifică asociativitatea puterilor.

O lege remarcabilă a substituției este valabilă în algebrele asociative (pe un inel comutativ ) de puteri, cu element neutru. Ea susține că multiplicarea polinoamelor funcționează așa cum era de așteptat. Fie f și g două polinoame cu coeficienți în inel. Pentru orice element a unei astfel de algebre, avem (fg) (a) = f (a) g (a).

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Power associativity ” ( vezi lista autorilor ) .