Inelul Noetherian

În matematică , un inel noetherian este un caz special de inel , adică al unui set prevăzut cu o adunare și o multiplicare compatibile cu adunarea, în sensul distributivității .

Multe întrebări matematice sunt exprimate în contextul unui inel, endomorfismele unui spațiu vectorial sau ale unui modul pe un inel , numere întregi algebrice ale teoriei numerelor algebrice sau chiar suprafețe ale geometriei algebrice . Dacă inelele sunt numeroase, rare sunt cele care au proprietăți comune celor mai simple exemple, cum ar fi numere întregi relative sau polinoame cu coeficienți într-un câmp . Divizia euclidiană nu există , în general , nici mai mult, idealurile , instrumentele majore ale teoriei inelelor, nu mai sunt întotdeauna principale și teorema fundamentală a aritmeticii nu mai are un echivalent.

Abordarea de a privi o întrebare numai din perspectiva proprietăților specifice unei anumite structuri inelare sa dovedit a fi de succes. Richard Dedekind l-a folosit cu succes în aritmetică și David Hilbert în geometria algebrică . În 1920-1921, Emmy Noether a ales un număr mai limitat de proprietăți verificate de anumite inele și a demonstrat numeroase rezultate pe ele.

Termenul „inel noetherian” apare în 1943 din stiloul lui Claude Chevalley.

Abordare intuitivă

Într-un inel principal , toate idealurile sunt principale . Cu alte cuvinte, dacă inelul este considerat ca un modul pe sine, atunci idealurile sale sunt submodule generate de un element. Dar multe inele comune nu sunt primare. Inelul ℤ [ X ] al polinoamelor cu coeficienți întregi este un exemplu de inel non-principal .

În aritmetică, este obișnuit să se utilizeze inele de numere întregi algebrice , cum ar fi inelul ℤ [ $i$ √ 5 ], care este un exemplu de inel de numere întregi pătratice non-principale . Cu toate acestea, în ℤ [ $i$ √ 5 ], toate idealurile sunt generate de unul sau două elemente. Configurația este analogă pentru orice inel de numere întregi algebrice ale unui câmp numeric . Astfel, într-un astfel de inel, idealurile, nereușind să fie generate de un singur element, sunt generate de un număr finit de elemente. Această proprietate, indicând faptul că fiecare ideal al unui inel A admite o familie generatoare finită, este frecventă în matematică. Corespunde noțiunii formalizate de definiția inelului noetherian .

Această configurație se găsește în teoria grupurilor . Dacă un grup abelian (văzut ca modulul ℤ) este de tip finit (adică admite o parte generatoare finită), toate subgrupurile sale sunt submoduli de tip finit . Proprietatea este aceeași, chiar dacă se aplică unui modul și nu mai este un inel. Mai general, un modul de tip finit în care fiecare submodul este de tip finit este un bun substitut pentru ipoteza dimensiunii finite în algebră liniară și corespunde noțiunii de modul noetherian .

Definiții

Inel și modul

Așa cum un câmp comutativ este un spațiu vectorial pe sine, este posibil să considerăm un inel A ca un modul A. Dacă inelul nu este comutativ, atunci există două produse externe diferite. Să λ un element al A văzut ca un scalar și un element al A văzut ca un vector, cele două produse externe asociază respectiv cu (λ, a ) vectorii X. a și a .λ. Inelul A are astfel două structuri ale modulului A , una în stânga și cealaltă în dreapta, care coincid dacă A este comutativ.

O a doua diferență constă în subspaiile vectoriale . Un corp conține doar două: spațiul zero și corpul însuși. Pentru un inel A , considerat ca A -modul în stânga (resp. În dreapta), noțiunea de submodul coincide cu cea de ideal în stânga (resp. În dreapta).

Un inel A fiind întotdeauna presupus a fi unitar în acest articol , A -modulul A are o familie generatoare formată dintr-un singur element: unitatea (sau orice element reversibil).

Noeterianitate

Noetherianitatea este, de asemenea, definită pur și simplu pe un modul. Definiția unui inel noetherian devine apoi un caz special, în care inelul este considerat ca un modul pe sine (în stânga sau în dreapta).

Un A - modulul M se spune că este noetherian dacă oricare submodul de M este de tip finit
Se spune inelul A
- noetherian în stânga dacă toate idealurile sale din stânga sunt de tip finit;
- noetherian în dreapta dacă toate idealurile din dreapta sunt de tip finit;
- Noetherian dacă este Noetherian în dreapta și în stânga.

În cazul inelelor comutative, aceste trei definiții coincid.

Proprietăți

Fie P un submodul al lui M , modulul M este noeterian dacă și numai dacă P și M / P sunt.

Demonstrație

Dacă modulul M este noetherian, orice submodul P este, de asemenea:
Într-adevăr, orice submodul al lui P este un submodul al lui M, prin urmare este de tip finit.
Dacă modulul M este noetheriene, orice modul câtul M / P este de asemenea:
Fie Q un coeficient de submodulul M / P și R imaginea inversă a Q de proiecția canonică M în M / P . Atunci R este un submodul al lui M, prin urmare are o familie generatoare finită. Imaginea acestei familii prin proiecția canonică generează Q , ceea ce arată că și coeficientul este noetherian.
Dacă submodulul P și modulul coeficientului M / P sunt noetherieni, atunci modulul M este, de asemenea:
Fie R un submodul al lui M , F o familie finită care generează R ∩ P și G o familie finită care generează imaginea lui R prin proiecția canonică din M în M / P . Alegeți o finit H a vectorilor R , care sunt proiectate elementele G . Apoi R este generat de familia finită F ∪ H .

Deducem imediat:

orice produs finit al modulelor Noetherian din stânga este Noetherian în stânga;
orice inel coeficient (după un ideal bilateral) al unui inel noetherian din stânga este noetherian în stânga;
orice modul de tip finit pe un inel Noetherian este Noetherian.

Avem două definiții alternative și echivalente ale noțiunii de modul noetherian (care sunt traduse imediat pentru inele):

Fie M un modul A. Următoarele trei proprietăți sunt echivalente:

M este Noetherian;
fiecare secvență crescândă de submoduli ai lui M este staționară;
orice set de submoduli non-vid ai lui M admite un element maxim pentru incluziune .

Properties 2 și 3 constituie condiția lanț ascendent pe submodulele M .

Demonstrație

1⇒2

Fie ( M n ) o secvență crescătoare de submodulele M . Notați cu N uniunea tuturor modulelor M n . Deoarece sunt imbricate, N este un submodul. Prin ipoteza 1, N admite o familie generatoare finită ( m j ). Fiecare dintre acești vectori m j aparține lui N , deci unuia dintre M n (și tuturor următoarelor): există deci un index n j astfel încât acest vector m j să aparțină tuturor M i pentru i mai mare decât sau egal cu n j . Fie n indicii maximi ai familiei finită n j dacă i este mai mare decât n , atunci M i conține familia ( m j ) și , prin urmare , N . Aceasta arată că secvența submodulelor este constantă de la rangul n și, prin urmare, staționară.

2⇒3

Raționăm prin contrapus, prin urmare, presupunem că o mulțime F vidă de submoduli nu are un element maxim. Vom defini o secvență ( M n ) strict elemente crescătoare de F . Să M 0 orice element al F . Presupunem că secvența definită în ordinea n , M n nu este un element maxim al lui F , deci putem alege în F un element M n +1 conținând strict M n . Există apoi o secvență strict crescătoare pentru includere. Prin contrapunere, propoziția este dovedită.

3⇒1

Proprietatea 3 fiind ereditară ( adică verificată de orice submodul al lui M imediat ce este verificată de M ), este suficient să se arate că orice modul M care îl satisface este de tip finit. Luați în considerare set F submodule de tip finit M . Pentru ipoteza 3, F are un element maximal N . Arată că M = N . Prin construcție, N este de tip finit: există o familie finită ( f i ) care o generează. Sau m orice element al M , considera submodul P generat de familia constând din m și f i : P Prin urmare , este aparține finit F . Ca N este maximă și P con ine N este egal cu P . În consecință N conține vectorul m . Deoarece m este orice vector al lui M , N este egal cu M , ceea ce arată că modulul M este de tip finit.

Descompunerea idealurilor este mai delicată. În inelul principal comutativ ℤ de exemplu, idealul 12ℤ este egal atât cu produsul idealurilor 2ℤ, 2ℤ și 3ℤ, cât și cu intersecția idealurilor 2 2 ℤ și 3ℤ (care este și produsul lor). Numai într-un inel comutativ Noetherian, trei proprietăți îl abordează (prima este utilizată în articolul „ Inel de evaluare discretă ”, a patra este teorema Lasker-Noether ):

Fie A un inel comutativ noetherian.

Fiecare ideal A conține un produs de prime idealuri , sau mai precis, orice ideală I de A conține un produs al idealurilor prime care conțin eu .
Pentru orice ideal al lui A , există un număr finit de idealuri prime minime care conțin acest ideal.
Fiecare ideal rădăcină al lui A este o intersecție finită a idealurilor prime.
Orice ideal al lui A se descompune, adică o intersecție finită a idealurilor primare .
Dacă A este integral, orice element non-nul și neinversibil este produsul unui număr finit de elemente ireductibile .

Demonstrații

Fiecare ideal A conține un produs de prime idealuri , sau mai precis, fiecare ideală I de A conține un produs al idealurilor prime care conțin I :
Să ne arată prima afirmație, prin absurd. Fie F setul, presupus a fi non-gol, al idealurilor lui A care nu conțin niciun produs de idealuri prime (în special niciun produs indexat de un singur, de aceea elementele lui F nu sunt prime și niciun produs indexat de vid, de aceea A nu aparține lui F ). Fie că un element maximal F . Idealul I este propriu și nu primar. Conform unei proprietăți caracteristice non-prime idealuri , există două idealuri J și K astfel încât I conține produsul JK , dar este strict conținute în J și K . Atunci (prin maximitatea lui I ) idealurile J și K nu aparțin lui F , deci fiecare dintre ele conține un produs de idealuri prime. Pe măsură ce conțin produsul lor, ajungem la o contradicție, care pune capăt dovezii primului punct.
Datorită corespondenței unu-la-unu dintre idealurile prime ale inelului coeficient A / I și cele ale inelului A care conține I , deducem al doilea punct din primul aplicat la idealul (0) al inelului A / I .
O dovadă mai complicată, dar instructivă, este utilizarea descompunerii primare (menționată mai jos), menționând că radicalul oricărui ideal primar este prim și că într-un inel noetherian fiecare ideal conține o putere a radicalului său.
Existența și finitudinea idealuri prime care conțin un ideal minimal I :
Noi știm că există idealuri prime al căror produs este inclus în I . Orice Q ideal ideal de A care conține I conține în special produsul . O proprietate caracteristică a idealurilor prime indică faptul că idealul prim Q conține unul dintre . Astfel, elementele minime de idealul minime sunt ideale care conțin I . $P_ {1}, \ dots, P_ {n}$ $P_i$ $P_i$ $P_i$
All-radical ideal A este intersecție finit de prim idealuri:
Fie I un ideal-radical p a A . Știm că există idealuri primare precum . Dar dacă atunci , prin urmare (radiciel), de aici egalitatea . $P_ {1}, \ dots, P_ {n}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ subset I \ subset \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i}}$ ${\ displaystyle x \ in \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i}}$ ${\ displaystyle x ^ {n} \ in \ prod _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ subset I}$ ${\ displaystyle x \ in {\ sqrt {I}} = I}$ ${\ displaystyle I = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i}}$
Fiecare ideal este o intersecție finită a idealurilor primare: Arătăm de
fapt un pic mai bine: într-un inel noetherian, fiecare ideal este o intersecție finită a idealurilor ireductibile și fiecare ideal ireductibil este primar.
- Pentru primul punct, ne certăm de contradicție ca înainte: să F În general neasumate gol, idealurile A care nu sunt intersecție finită ireductibilă, și am un element maximal F . Atunci I este reductibil, deci egal cu intersecția a două idealuri J și K în care este strict inclus. Prin maximitate, J și K nu aparțin lui F , deci fiecare dintre ele este o intersecție finită a ireductibililor, de unde și contradicția.
- Pentru al doilea punct, cf. Provocarea algebrică , volumul 2, de Claude Mutafian , p. 239, sau Bourbaki AC , capitolul II, § 2, exercițiul 22 sau (en) Oscar Zariski și Pierre Samuel , Algebra comutativă , vol. 1, cap. IV, p. 209.
  (Se poate consulta și articolul Descompunerea primară , care extinde această teoremă la modulele de tip finit pe un inel noetherian și majoritatea lucrărilor de referință precum Lang 1965 sau Bourbaki AC capitolul IV, care generalizează acest lucru la modulele noetheriene pe un comutativ arbitrar inel.)
Dacă A este integral, orice element non-nul și neinversibil este produs de un număr finit de ireductibile: Raționăm
din nou prin absurd așa cum a fost anterior, considerând mulțimea, presupusă ne-goală, a idealurilor principale ale lui A generate de elemente nenule și neinversibile care nu verifică proprietatea declarată. Acest set admite un element maxim pentru incluziune, se poate ajunge la o contradicție prin studierea acestui element maxim.

Orice endomorfism surjectiv al unui modul Noetherian este un automorfism.

Exemple

Primele cazuri

Orice câmp comutativ este în mod evident noeterian, pentru absența idealurilor non-banale. Fiecare inel principal este, de asemenea, Noetherian, deoarece fiecare ideal este generat de un element unic, astfel ℤ, K [ X ] inelul polinoamelor cu coeficienți într-un câmp este Noetherian. Pe de altă parte, atunci când este posibil, este mai ușor să le studiezi folosind o diviziune euclidiană sau, ceea ce este întotdeauna posibil, să folosești teorema fundamentală a aritmeticii în cadrul unui factor inelar .

Orice inel finit este noetherian, găsim prezența lor, de exemplu în contextul geometriei algebrice sau al teoriei numerelor algebrice.

Polinoame și serii formale

Un inel de polinoame nu este întotdeauna principal; ℤ [ X ] este un exemplu deja citat. Un inel polinomial în mai multe variabile A [ X , Y ] nu este primar, idealul polinoamelor de grad mai mare sau egal cu 1 necesită doi generatori, X și Y nedeterminați .

Următoarea teoremă, descoperită de David Hilbert în 1888 este uneori numită teorema bazei Hilbert :

Fie A un inel comutativ Noetherian, inelul polinoamelor A [ X ] este Noetherian.

Poate fi generalizat cu ușurință (prin recurență) în cazul mai multor nedeterminate :

Fie A un inel comutativ Noetherian și n un număr întreg natural, inelul polinoamelor A [ X 1 ,…, X n ] este Noetherian.

Pe de altă parte, un inel de polinoame peste un număr infinit de indeterminate nu este niciodată noeterian (indiferent de inelul coeficienților): secvența idealurilor al căror n- lea este generat de ( X 1 , ..., X n ) este în creștere dar nu staționar.

Ca exemplu de utilizare, se poate imagina în geometrie o suprafață algebrică S definită ca ansamblul rădăcinilor unei familii infinite de polinoame cu mai multe nedeterminate și pe un inel noetherian. Teorema bazei Hilbert spune că este suficient să se ia în considerare un set finit de polinoame pentru S . Într-adevăr, setul de polinoame care se anulează pe S formează un ideal.

Dovada teoremei bazei lui Hilbert

Fie J orice ideal al lui A [ X ]; obiectivul este de a arăta că J este de tip finit, ceea ce va demonstra că A [ X ] este noetherian.

Fie ( D n ) secvența idealurilor lui A definite de:

{\ displaystyle D_ {n} = \ {a \ în A ~ | ~ \ există (a_ {0}, \ ldots, a_ {n-1}) \ în A ^ {n} {\ text {cum ar fi}} aX ^ {n} + \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} X ^ {i} \ în J \}.}

Această secvență ( D n ) este în creștere (car ) și, prin urmare, constantă pornind de la un rang r (deoarece A este noetherian). Uniunea tuturor D n este deci egală cu D r . ${\ displaystyle P \ în J \ Rightarrow XP \ în J}$

Pentru fiecare număr întreg n , idealul D n este de tip finit (deoarece A este noetherian) are deci o familie generatoare finită ( a n, i ) (al doilea index, i , traversează un set finit I n ). Pentru fiecare dintre acestea a n, i , fie P n, i un polinom de J de grad n și de coeficient dominant egal cu a n, i .

Arată că familia finit ( P n, i ), de două ori indexate de n mai mic sau egal cu r și i în I n , generează J . Această afirmație înseamnă că orice polinom Q al lui J este exprimat ca o combinație liniară cu coeficienți în A [ X ] din această familie ( P n, i ).

Dacă Q este zero, este imediat. În caz contrar, revenim la acest caz prin inducție asupra gradului d de Q : să presupunem că familia generează toate polinoamele de J de grad strict mai mici decât întregul natural d (pentru d = 0 este dobândit, singurul polinom de grad <0 fiind polinomul zero). Fie q coeficientul dominant al lui Q și s = min ( r , d ). Atunci q aparține lui D d = D s . În consecință, există o familie (μ i ) de elemente din A astfel încât

{\ displaystyle q = \ sum _ {i \ in I_ {s}} \ mu _ {i} a_ {s, i} \ quad {\ text {so}} \ quad \ deg \; {\ Big (} Q - \ sum _ {i \ in I_ {s}} \ mu _ {i} X ^ {ds} P_ {s, i} {\ Big)} <d.}

Ipoteza inducției arată că Q este generat de familie ( P n, i ), care pune capăt dovezii.

Printr-un argument similar (care se referă la coeficienți diferiți de zero de grad mai mic în locul coeficienților dominanți), demonstrăm următoarea teoremă (care este generalizată în același mod la mai mulți nedeterminați):

Fie A un inel comutativ noetherian, inelul de serie formal A [[ X ]] este noetherian.

Inel de numere întregi

Câteva exemple de inele noetheriene provin din aritmetică prin studiul ecuațiilor diofantine , chiar dacă utilizarea lor depășește acum mult dincolo de acest cadru. Un exemplu simplu este dat de teorema celor două pătrate a lui Fermat , care implică inelul Gauss al numerelor întregi . Este inelul numerelor întregi ale unui câmp pătratic , deci, la fel ca inelul întregilor din orice câmp numeric , este un inel Dedekind și un modul ℤ de tip finit. În special, el este noetherian. Mai general :

Are un inel comutativ integral, K corpul său de fracțiuni , L o extensie finită separabilă a lui K și B elemente inelare de L întregi de pe A .

Dacă A este noetherian și închis integral atunci B este un A -modul de tip finit.

(Articolul „ Întregul element ” arată că B este un inel. În mod clar, conține A și este unitar comutativ și se integrează.) Observați că, conform acestei afirmații, B este noetherian ca modul A, dar și ca inel , întrucât este un coeficient al unui inel de polinoame într-un număr finit de nedeterminate cu coeficienți în A.

Demonstrație

Demonstrația propusă aici folosește forma de urmărire , care este, de asemenea, utilizată pentru a defini discriminantul unui inel . Forma de urmărire a lui L peste K nu este degenerată, prin urmare determinantul Δ al matricei sale M , într-o bază ( b 1 ,…, b n ) a spațiului K- vectorial L , este diferită de zero. Prin selectarea b k în B , M este mai mulți coeficienți A . În concluzie, este suficient să verificăm dacă B este inclus în sub- A -modulul lui L generat de b 1 / Δ, ..., b n / Δ, folosind formula lui Laplace :

{\ displaystyle \ forall b = \ sum x_ {i} b_ {i} \ in B \ quad \ Delta {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} = (^ {\ operatorname {t}} {\ rm {com}} M) M {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} = {^ { \ operatorname {t}} {\ rm {com}} M} {\ begin {pmatrix} {\ rm {tr}} _ {L / K} (b_ {1} b) \\\ vdots \\ {\ rm {tr}} _ {L / K} (b_ {n} b) \ end {pmatrix}} \ în A ^ {n}.}

În același registru, avem și:

Teorema Krull-Akizuki - Fie A un inel comutativ încorporează noetheriene al cărui prim nenul ideală este maximă, K domeniul de fracțiuni, L o extensie finită de K și B un subinel de L conținând A . Atunci B este noetherian și orice ideal prim diferit de zero al lui B este maxim. Mai mult decât atât, pentru orice ideală nenulă J a B , A -modul B / J este de tip finit.

Clasa de inele Noetherian

Majoritatea operațiilor algebrice păstrează noeterianitatea. Să ne reamintim și să completăm exemplele de mai sus:

corpurile principale și inelele sunt noetheriene;
fiecare cotient și produs finit direct al inelelor noetheriene este noetherian;
orice inel de polinoame cu un număr finit de indeterminate pe un inel noetherian este noetherian. Astfel, orice algebră de tip finit peste un inel Noetherian este Noetherian;
tot ceea ce este localizat într-un inel noetherian este noetherian; mai general, dacă M este un modul Noetherian A , orice S- 1 M localizat este un Noetherian S -1 A -module. (Într-adevăr, pentru orice submodul N al lui S −1 M , avem N = ( S −1 A ) ( N ∩ M ); deducem că orice secvență crescătoare ( N n ) a submodulilor lui S - 1 M este staționară, deoarece secvența ( N n ∩ M ) este.)
finalizarea formală (en) a unui inel comutativ noetheriene pentru I -adic topologie ( I un ideal al A ) este noetheriene;
dacă un inel Noetherian este finit pe un subring (adică este de tip finit ca modul pe subring), atunci acesta din urmă este Noetherian (teorema lui Eakin);
fiecare inel este o uniune din ce în ce mai mare a subinelelor noetheriene.

Pe de altă parte, în general,

un subinel al unui inel Noetherian nu este Noetherian (de exemplu, inelul polinomilor într-o infinitate de nedeterminate cu coeficienți într-un câmp nu este Noetherian, dar este un subinel al fracțiilor sale de câmp care este Noetherian);
un produs tensorial al inelelor noetheriene nu este noetherian (luați L câmpul fracțiilor raționale cu coeficienți infinit nedeterminați într-un câmp K și luați în considerare produsul tensorial . Acesta din urmă nu este noetherian, în timp ce K și L sunt). ${\ displaystyle L \ otimes _ {K} L}$

Clasa inelelor noetheriene integrale este o subclasă a clasei inelelor atomice .

Note și referințe

(în) Claude Chevalley, „Despre teoria inelelor locale”, Analele matematicii , seria a doua, vol. 44, nr. 4 (octombrie 1943), pp. 690-708.
De exemplu, idealul generat de elementele 2 și X nu este principal.
Într-un inel principal, nu există nicio diferență între un element ireductibil și un element prim . Cu toate acestea, în ℤ [ $i$ √ 5 ], arătăm că 2 este ireductibil. Cu toate acestea, împarte (1- $i$ √ 5 ) (1+ $i$ √ 5 ) fără a împărți nici unul dintre cei doi factori. Prin urmare, nu este primul. Prin urmare, ℤ [ $i$ √ 5 ] nu poate fi un ideal principal.
Chiar și atunci - Teorema Cohen (în) - toate idealurile primului inel sunt finite : cf. N. Bourbaki , Elements of math : Algebra comutativă ( citește online ), capitolul II, § 1, exercițiul 6.
(în) Serge Lang , Algebra [ ediții cu amănuntul ], 1965, p. 144 .
(în) Michael Artin , Algebra [ detalii publicare ], p. 469 .
În aceste două afirmații permitem desigur repetări ale aceluiași ideal prim în produs (altfel contraexemplu, pentru al doilea: idealul multiplilor de 4, în inelul numerelor întregi).
Această factorizare nu este, în general, unică, nici măcar până la multiplicarea cu inversibile. Astfel, inelul noetherian A este factorial dacă și numai dacă elementele sale ireductibile sunt prime .
(în) Alberto Facchini, Teoria modulului: inele endomorfismului și descompuneri directe ale sumei în unele clase de module , Birkhauser , al. „Progresul în matematică” ( nr . 167),1998, 288 p. ( ISBN 978-3-7643-5908-9 , prezentare online ) , p. 46.
Dovezile lui Hilbert au stârnit o mare controversă în zilele sale. Dovada nu este într-adevăr constructivă . Gordan , un expert în această problemă, a exclamat: Aceasta nu este matematică, este teologie , el ajunge să admită această dovadă câțiva ani mai târziu și a spus: Am devenit convins că teologia are și avantajele sale (J. Boniface, Hilbert și noțiunea de existență în matematică , Librairie Philosophique Vrin, 2004, cap. 2 p. 53 și cap. 1 p. 15 ( ISBN 2711616061 ) ).
Lang 1965 , p. 145.
Lang 1965 , p. 146-147.
Pentru rezultate mai generale, cf. Bourbaki AC IX § 4.
(în) David Eisenbud , Algebra comutativă: cu o vedere către geometria algebrică , Springer al. „ GTM ” ( nr . 150)1995, 785 p. ( ISBN 978-0-387-94269-8 , prezentare online ) , p. 298.
Bourbaki AC VII, § 2, nr. 5, previzualizare în Google Books .

Vezi și tu

Articole similare

Noetherian
Lema lui Artin-Rees
Teorema principalelor idealuri ale lui Krull
Starea lanțului ascendent pe idealurile principale (în)

linkuri externe

Algebră comutativă de Antoine Chambert-Loir , curs la Universitatea din Rennes 1 (2006–2007)
Numere algebrice și numere p-adice de Loïc Merel , curs pregătitor pentru studii doctorale 2003-04, Universitatea Pierre-et-Marie-Curie și Universitatea Denis Diderot
Bas Edixhoven și Laurent Moret-Bailly, teoria numerelor algebrice, curs de masterat în matematică , Universitatea din Rennes 1,2004( citește online )

Bibliografie

Pierre Samuel , Teoria numerelor algebrice [ detaliul ediției ]
(ro) David A. Cox , John Little și Don O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms , Springer-Verlag ,2007, 3 e ed. ( ISBN 978-0-387-35651-8 , citit online )