În matematică , și mai precis în algebră generală , o algebră peste un câmp comutativ K , sau pur și simplu o K - algebră , este o structură algebrică ( A , +, ·, ×) astfel încât:
Algebră peste un câmp comutativ K este un K -vector spațiu A înzestrat cu un binar x operație (adică „produs“ x x y a două elemente ale A este un element al A ) biliniară, ceea ce înseamnă că pentru toți vectorii x , y , z în A și toți scalarii a , b în K , sunt egale următoarele:
Primele două egalități reflectă distributivitatea legii × în raport cu legea +.
Se spune că K este corpul de bază A . Binare este adesea menționată ca multiplicarea în A .
Un morfism între două algebre A și B pe K este o hartă f : A → B astfel încât
∀ x , y ∈ A , ∀ a ∈ K , f ( x × y ) = f ( x ) × f ( y ) și f ( x + ay ) = f ( x ) + af ( y ).Se spune că două algebre A și B peste K sunt izomorfe dacă există o bijecție de la A la B care este un morfism al algebrelor.
În definiție, K poate fi un inel comutativ unitar, iar A un K - modul . Deci A este , de asemenea , numit K algebră și spune că K este baza inelului A .
O bază de algebra A peste un câmp K este o bază de A pentru structura sa spațiu vectorial.
Dacă este o bază a lui A , atunci există o familie unică de elemente ale câmpului K, cum ar fi:
Pentru i și j fixați, coeficienții sunt zero, cu excepția unui număr finit al acestora. Spunem că sunt constantele structurale ale algebrei A în raport cu baza a și că relațiile constituie tabelul de înmulțire al algebrei A pentru baza a .
Setul de numere complexe (ℂ, +, ·, x) este o asociativă , uniferous și comutativă ℝ-algebră de dimensiune 2. O bază a ℂ algebra constă din elementele 1 și i. Tabelul de înmulțire este alcătuit din relațiile:
1 | eu | |
---|---|---|
1 | 1 × 1 = 1 | 1 × i = i |
eu | i × 1 = i | i × i = –1 |
Orice câmp finit este o algebră asociativă, uniferă și comutativă de dimensiune n peste subcâmpul său prim ( F p = ℤ / p ℤ), deci ordinea sa este p n .
De exemplu câmpul finit F 4 este o algebră bidimensională peste câmpul F 2 = ℤ / 2ℤ a cărui tabelă de înmulțire într-o bază (1, a) este:
1 | la | |
---|---|---|
1 | 1 × 1 = 1 | 1 × a = a |
la | a × 1 = a | a × a = 1 + a |
Putem arăta că orice algebră uniferă de dimensiunea 2 pe un câmp este asociativă și comutativă. Tabelul său de înmulțire într-o bază (1, x ) este de forma:
1 | X | |
---|---|---|
1 | 1 × 1 = 1 | 1 × x = x |
X | x × 1 = x | x × x = a 1 + bx |
O astfel de algebră se numește algebră pătratică de tip ( a , b ) (tipul putând depinde de baza aleasă).
De exemplu: ℂ este o ℝ-algebră pătratică de tip (–1, 0) pentru baza (1, i) și F 4 este o F 2 -algebră de tip pătratic (1, 1).
Setul de pătrate matrici de ordinul n ≥ 2 , cu coeficienți reali este asociativă, unificat și non- comutativă ℝ-algebra de dimensiune n 2 .
CuaternioniiSetul (ℍ, +, ·, x) de cuaternionii este o asociativă, uniferous și non - comutativă ℝ-algebră de dimensiune 4.
1 | eu | j | k | |
---|---|---|---|---|
1 | 1 × 1 = 1 | 1 × i = i | 1 × j = j | 1 × k = k |
eu | i × 1 = i | i × i = –1 | i × j = k | i × k = –j |
j | j × 1 = j | j × i = –k | j × j = –1 | j × k = i |
k | k × 1 = k | k × i = j | k × j = –i | k × k = –1 |
Setul de biquaternions este asociativă, uniferous și non- comutativă ℂ-algebra de dimensiune 4 care este izomorf algebra de pătrate matrici de ordinul 2 cu coeficienți complecși.
Toate octonions este un ℝ-algebră unital non asociativă și non dimensiune comutativă 8.
Euclidian spațiu ℝ 3 prevăzut cu produsul vectorial , este un ℝ-algebra nu asociative, non- unital și non- comutativă (este anti-comutativă) de dimensiune 3.
Tabelul de multiplicare într - o bază ortonormală directe ( , , ) este:
Toate matrici pătrate de ordinul n ≥ 2 cu coeficienți reali, prevăzute cu colțarul Lie : , este un ℝ-algebra nu asociativă non- unital și non- comutativă dimensiune n 2 . Este anti-comutativ și are proprietăți care fac din algebră o algebră Lie .
ℝ-algebra (ℍ, +, ·, ×) a cuaternionilor este un spațiu ℂ-vector, dar nu este o ℂ-algebră deoarece multiplicarea × nu este ℂ-bilineară: i (j × k) ≠ j × (i · K) .