Algebra Kac-Moody
În matematică , o algebră Kac-Moody este o algebră Lie , de obicei de dimensiune infinită, care poate fi definită de generatori și relații printr-o matrice Cartan generalizată. Algebrele Kac-Moody își iau numele de la Victor Kac și Robert Moody , care le-au descoperit independent. Aceste algebre sunt o generalizare a algebrelor Lie semidimensionale cu dimensiuni finite și multe proprietăți legate de structura algebrelor Lie, în special sistemul său radicular , reprezentările sale ireductibile, legăturile sale cu soiurile de steaguri au echivalenți în Kac-Moody sistem. O clasă de Kac-Moody numită Lie algebra affine (în) este deosebit de importantă în matematică și fizică teoretică , în special în teoriile de câmp consecvente și sisteme complet integrabile . Kac a găsit o dovadă elegantă a anumitor identități combinatorii, identități Macdonald (în) , bazată pe teoria reprezentării algebrei Lie de afinitate. Howard Garland și James LePowSki (în) au demonstrat la rândul lor că identitățile Rogers-Ramanujan ar putea fi dovedite în mod similar.
Definiție
O algebră Kac-Moody este determinată după cum urmează:
- O matrice Cartan de dimensiuni răspândite , de rangul r .nu×nu{\ displaystyle n \ times n}
VS=(vs.euj){\ displaystyle C = (c_ {ij})}
- Un spațiu vectorial pe dimensiunea 2 n - r .E{\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
- Un set de n vectori disponibile de la și un set de n vectori liberi ai spațiului dublu asociat , cum ar fi , . Se numesc coracines , în timp ce se numesc rădăcini .αeu{\ displaystyle \ alpha _ {i}}
E{\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}
αeu∗{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}
E{\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}
∀eu,j∈({1⋯ nu})2{\ displaystyle \ forall {i, j} \ in (\ {1 \ cdots \ n \}) ^ {2}}
αeu∗(αj)=vs.euj{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*} (\ alpha _ {j}) = c_ {ij}}
αeu{\ displaystyle \ alpha _ {i}}
αeu∗{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}![{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c8bb5a046d8ebdfff4645345dee691d6ee8d3b)
Algebra Kac-Moody este algebra Lie definit de vectorii de generator și și elementele cât și relațiile:
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
eeu{\ displaystyle e_ {i}}
feu{\ displaystyle f_ {i}}
E{\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}![{\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce24184fb887dca33721a6e768b510fdf5e08e8)
- [eeu,feu]=αeu {\ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = \ alpha _ {i} \}
![{\ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = \ alpha _ {i} \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f11ae19c6ad273474304a9d187edbb6151e04a)
- ∀eu≠j,[eeu,fj]=0{\ displaystyle \ forall {i} \ neq j, [e_ {i}, f_ {j}] = 0}
![{\ displaystyle \ forall {i} \ neq j, [e_ {i}, f_ {j}] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5d018b1178b5d4d009e2695c0f08b5a3ae381f)
- ∀X∈E,[eeu,X]=αeu∗(X)eeu{\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {E}}, [e_ {i}, x] = \ alpha _ {i} ^ {*} (x) e_ {i}}
![{\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {E}}, [e_ {i}, x] = \ alpha _ {i} ^ {*} (x) e_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b39da6929f94306196dfe43acbd6d5020377109b)
- ∀X∈E,[feu,X]=-αeu∗(X)feu{\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {E}}, [f_ {i}, x] = - \ alpha _ {i} ^ {*} (x) f_ {i}}
![{\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {E}}, [f_ {i}, x] = - \ alpha _ {i} ^ {*} (x) f_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83bf4df752ec67173cc07dadfaa48e57d63d8c3)
- ∀X,X′∈E,[X,X′]=0{\ displaystyle \ forall {x, x '} \ in {\ mathfrak {E}}, [x, x'] = 0}
![{\ displaystyle \ forall {x, x '} \ in {\ mathfrak {E}}, [x, x'] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0533549c62b07cc3ecee49e6abd2e0792f7c844a)
- anunț(eeu)1-vs.euj(ej)=0{\ displaystyle {\ textrm {ad}} (e_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (e_ {j}) = 0}
![{\ displaystyle {\ textrm {ad}} (e_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (e_ {j}) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36bfd0af2fd3d3fa11729d51fd9a7b0af6ec0e8)
- anunț(feu)1-vs.euj(fj)=0{\ displaystyle {\ textrm {ad}} (f_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (f_ {j}) = 0}
![{\ displaystyle {\ textrm {ad}} (f_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (f_ {j}) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651b86cc37c555f50d702bd339f43c9c20bd9404)
Unde este reprezentantul adjunct al .
anunț:g→gl(g),anunț(X)(y)=[X,y]{\ displaystyle {\ textrm {ad}}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ textrm {gl}} ({\ mathfrak {g}}), {\ textrm {ad}} (x) (y) = [x, y]}
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}![{\ mathfrak {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28)
O algebră Lie (de dimensiune infinită sau nu) peste câmpul numerelor reale este, de asemenea, considerată a fi o algebră Kac-Moody dacă complexificată este o algebră Kac-Moody.
Interpretare
Fie o subalgebră Cartan (ro) algebră Kac-Moody.
h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}
Dacă g este un element al algebrei Kac-Moody astfel încât , unde este un element al , atunci spunem că g are o greutate . Algebra Kac-Moody poate fi diagonalizată în vectori proprii de greutate. Subalgebra lui Cartan are greutate zero, are greutate și are greutate . Dacă cârligul Lie al celor doi vectori proprii este diferit de zero, atunci greutatea sa este suma greutăților lor. Condiția înseamnă pur și simplu că sunt rădăcini simple.
∀X∈h,[g,X]=ω(X)g{\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {h}}, [g, x] = \ omega (x) g}
ω{\ displaystyle \ omega}
h∗{\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}
ω{\ displaystyle \ omega}
h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}
eeu{\ displaystyle e_ {i}}
αeu∗{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}
feu{\ displaystyle f_ {i}}
-αeu∗{\ displaystyle - \ alpha _ {i} ^ {*}}
[eeu,fj]=0 ∀eu≠j{\ displaystyle [e_ {i}, f_ {j}] = 0 \ \ forall {i} \ neq {j}}
αeu∗{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}![{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c8bb5a046d8ebdfff4645345dee691d6ee8d3b)
Tipuri de algebre Kac-Moody
Matricea Cartan asociată cu algebra Kac-Moody poate fi descompusă ca produsul a două matrice D și S unde D este o matrice diagonală pozitivă și S o matrice simetrică . Natura lui S determină tipul algebrei Kac-Moody în cauză:
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}![{\ mathfrak {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28)
Există, de asemenea, o altă clasă de algebră Kac Moody numită algebre hiperbolice. S nu poate fi niciodată negativ definit sau negativ semi-definit deoarece coeficienții săi diagonali sunt pozitivi.
Aceste tipuri de algebre Kac Moody se caracterizează și prin diagramele lor Dynkin :
- cunoaștem lista exactă a diagramelor Dynkin corespunzătoare algebrelor Lie simple
- când orice subdiagramă a diagramei Dynkin a este diagrama unei algebre Lie simple, atunci este afinăg{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}![{\ mathfrak {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28)
- când orice subdiagramă a diagramei Dynkin a este diagrama unei algebre afine, atunci este hiperbolicăg{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}![{\ mathfrak {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28)
Algebrele afine sunt cele mai cunoscute dintre algebrele Kac-Moody.
Referințe
-
(ro) AJ Wassermann, Kac-Moody și Virasoro Algebras , arXiv : 1004.1287
- (ro) Victor G. Kac , Algebre de minciună dimensională infinită , CUP ,1994, 3 e ed. , 400 p. ( ISBN 978-0-521-46693-6 , prezentare online )
- (ro) „Kac - Moody algebra” , în Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , citit online )
-
(ro) VG Kac , „ Algebre simple Lie ireductibile gradate de creștere finită ” , Math. URSS Izv. , 2 nd serie,1968, p. 1271-1311, Izv. Akad. Nauk URSS Ser. Catarg. , zbor. 32, 1968, p. 1923-1967
- (ro) RV Moody , „ A new class of Lie algebras ” , J. of Algebra , vol. 10,1968, p. 211-230
Articole similare
-
Algebra generalizată Kac-Moody (ro)
-
Formula caracterului Weyl (în)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">