Matrice autoadiacentă pozitivă

O simetrică reală matrice (sau: self - sa alăturat reală ) este declarat a fi pozitiv sau pozitiv semi-definit dacă asociată forma biliniară simetrică este pozitiv . Mai general, o matrice pătrată complexă se spune că este pozitivă dacă forma sesquiliniară asociată este pozitivă (Hermitian) , matricea fiind atunci neapărat auto- unită .

Adevăratul caz

Definiții

Spunem că o matrice simetrică reală M de ordinul n este pozitivă (sau semidefinită pozitivă) dacă îndeplinește una dintre următoarele proprietăți echivalente:

M este un element pozitiv (en) al C * -algebrei reale M n, n (ℝ) , adică spectrul său este inclus în ℝ + .
Forma bilineară simetrică asociată cu M este pozitivă: pentru orice matrice de coloană x cu n elemente reale, x T Mx ≥ 0 (unde x T reprezintă matricea transpusă a lui x ).
Valorile proprii ale lui M (care sunt neapărat reale) sunt pozitive sau zero.
Există o matrice reală N astfel încât M = N T N .
Toți principalii minori ai lui M sunt pozitivi sau zero: pentru orice parte I vid de la {1,…, n }, determinantul submatricii M I, I de M (format din elementele sale cu indicii de rând și de coloane în I ) este pozitiv sau zero.

Se spune că este pozitiv definit dacă este și inversabil .

Dovada echivalențelor

1. și 3. sunt în mod clar echivalente.

Proprietatea 2. înseamnă că M definește pe ℝ n o formă pătratică pozitivă, proprietatea 3. că pe ℝ n , văzut ca spațiu euclidian cu produsul scalar , M definește un endomorfism autoadjunct pozitiv. Echivalența dintre 2. și 3. provine din această dublă interpretare, în lumina reducerii Gaussiene și a teoremei spectrale . Deoarece orice matrice simetrică reală este diagonalizabilă (cf. Descompunerea spectrală ), există o matrice ortogonală P (ale cărei coloane sunt vectorii proprii ai lui M ) și o matrice diagonală D (ai cărei coeficienți diagonali sunt valorile proprii ale lui M ) astfel încât M = PDP T . $\ langle x, y \ rangle = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {x_ {i} y_ {i}}$

Dacă 2. este adevărat, știind că valorile proprii ale unei reale matrice simetrică sunt reale, vom vedea prin aplicarea 2. a vectorilor proprii care 3. este adevărat.

Deoarece P -1 = P T , matricea M este de asemenea congruent cu matricea diagonală D . Deci invers, dacă 3. este adevărat, atunci 2. este adevărat.

Dacă 4. este adevărat ( M = N T N ), atunci , atunci 2. este adevărat. $\ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, x ^ {{\ mathsf {T}}} Mx = \ left (Nx \ right) ^ {{\ mathsf {T}}} \ left (Nx \ dreapta) = \ | Nx \ | ^ {2} \ geqslant 0$

În schimb, dacă 2. (deci 3.) este adevărat, putem deduce o matrice reală N astfel încât M = N T N (matricea N nu este unică; dacă impunem că ea însăși pozitivă, cf. § „Proprietăți “ de mai jos ): este suficient să se definească desaturazei matricea ca fiind matricea diagonală a cărei termeni diagonală sunt rădăcinile pătrate ale celor ale D , și pentru a seta N = Δ P T , deoarece , atunci N T N = M . Dacă dorim o matrice simetrică pozitiv, pur și simplu cere mai degrabă N = P Δ P T .

Dacă 4. (sau 2., sau 3.) este adevărat pentru M, atunci 4. este adevărat și pentru sub-matricile minore majore ale lui M , prin urmare 5. este adevărat.

Dimpotrivă, să presupunem 5. adevărat și demonstrați 2 .. Pentru orice p de la 1 la n , toți principalii minori ai p- a dominantă submatrică principală M p sunt, prin presupunere, pozitivi sau zero astfel (conform expresiei caracteristicii polinomul în funcție de acestea ) det (ε I p + M p )> 0 pentru toate ε> 0. Conform criteriului lui Sylvester , ε I n + M este deci (definit) pozitiv, astfel încât să verifice 2. Deducem că De asemenea, M , făcând ε să tindă către 0.

În restul acestui articol, vom indica setul de matrici pătrate de ordin simetric cu coeficienți reali și partea matricilor pozitive formate. $\ mathcal {S} _n$ $nu$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$

Exemple

Fie o funcție reală a variabilelor reale , definită pe o deschidere de , diferențiată într-un vecinătate a unui punct al acestui deschis și de două ori diferențiată în acest moment. Dacă atinge un minim local la , matricea sa Hessian este y pozitivă ( condiția necesară a optimității de ordinul doi fără restricții ). $f$ $nu$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $X$ $f$ $X$
Având în vedere un vector aleatoriu cu valori în care fiecare componentă admite o varianță, îi definim matricea de covarianță prin $(T_ {1}, \ dots, T_ {n})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ Gamma = {\ Big (} {\ mathrm {cov}} (T_ {i}, T_ {j}) {\ Big)} \ in {\ mathcal {S}} _ {n}.$ Acest lucru este pozitiv. Într-adevăr, pentru orice matrice de coloane cu elemente reale notate : $X$ $nu$ $x_ {1}, \ dots, x_ {n}$ $x ^ {{\ mathsf {T}}} \ Gamma x = {\ mathrm {Var}} (x_ {1} \, T_ {1} + \ cdots + x_ {n} \, T_ {n}) \ geqslant 0.$ Este pozitiv definit dacă și numai dacă singura combinație liniară este certă este aceea a cărei coeficienți sunt zero. $T_ {1}, \ dots, T_ {n}$
Orice matrice Gram este auto-unită pozitivă.
Fie o matrice simetrică reală ai cărei termeni diagonali sunt pozitivi și definiți de $LA$ $B$ $B _ {{ij}} = {\ frac {A _ {{ij}}} {{\ sqrt {A _ {{ii}} A _ {{jj}}}}}.$ Atunci este semidefinit pozitiv dacă și numai dacă este. Ne gândim în special la corelație . $LA$ $B$
Reducerea unor termeni extra-diagonali ai unei matrice definitive pozitive este o operație care nu păstrează neapărat pozitivitatea (deși razele discurilor Gerschgorin scad). În contraexemplul de mai jos, este pozitiv definit în timp ce nu este: $LA$ $B$ $A = {\ begin {pmatrix} 10 & 9 & 7 \\ 9 & 10 & 9 \\ 7 & 9 & 10 \\\ end {pmatrix}}, B = {\ begin {pmatrix} 10 & 8 & 2 \ \ 8 & 10 & 8 \\ 2 & 8 & 10 \\\ end {pmatrix}}.$

Proprietăți

Orice matrice reală simetrică pozitivă admite o rădăcină pătrată reală simetrică pozitivă unică . Mai formal: ${\ displaystyle \ forall M \ in {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+} \ quad \ există N \ in {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+} \ quad N ^ { 2} = M.}$ Acest rezultat (a cărui parte a „ existenței ” este demonstrată în pasajul la § „Definiții” de mai sus ) generalizează la n - rădăcini .
Dacă două matrici reale simetrice M și N sunt pozitive și fac naveta , atunci MN este simetric pozitiv.
Prin caracterizarea 2. din § „Definiții”, este o intersecție a jumătăților de spații (în număr infinit). Pentru caracterizarea 5., este un set semi-algebric (en) de bază ( adică d. Caracterizat printr-un număr finit de inegalități polinomiale). ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$
Caracterizările § „Definiții” arată că este un con convex închis , care nu este gol . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$
În spațiul euclidian (prevăzut cu produsul scalar obișnuit: ceea ce înseamnă pista ), conul normal și tangenta la in sunt scrise ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ langle A, B \ rangle: = \ operatorname {tr} (AB)}$ $\ operatorname {tr}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {N} _ {{\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}} {(A)} = (- {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}) \ cap (A ^ {\ bot}) \ quad {\ text {et}} \ quad \ operatorname {T} _ {{\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}} {(A)} = \ {D \ in {\ mathcal {S}} _ {n} \ mid \ forall v \ in \ ker A \; \; v ^ {\! \ Top \!} Dv \ geqslant 0 \}.}$

Cazul complex

Extindem proprietățile și definițiile anterioare la matrici complexe.

Fie M o matrice pătrată de ordinul n . Se spune că este pozitiv dacă îndeplinește una dintre următoarele proprietăți echivalente:

M este un element pozitiv al complexului C * -algebra M n, n (ℂ).
M este auto-îmbinat (sau: Hermitian ) și toate valorile proprii ale acestuia sunt pozitive sau zero.
Forma sesquiliniară asociată cu M este (hermitiană) pozitivă : pentru orice matrice de coloană z cu n elemente complexe, z * Mz este un real pozitiv (unde z * denotă matricea anexă a z ).
Există o matrice complexă N astfel încât M = N * N .

Se spune că este pozitiv definit dacă este și inversabil.

Observații

Matricea nu ar trebui să fie auto-unită a priori : această proprietate este o consecință a fiecărei caracterizări, în special - spre deosebire de cazul real - a pozitivității formei asociate.
Pe spațiul matricilor hermitiene de ordinul n , ordinea parțială asociată cu matricile conice convexe pozitive se numește ordinul lui Lowner (en) (numit după Charles Loewner ).

Orice matrice pozitivă (hermitiană) admite o rădăcină pătrată unică pozitivă (hermitiană).

Note și referințe

Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul intitulat „ Matricea pozitivă ” (vezi lista autorilor ) .

Jean-Pierre Ramis , André Warusfel și colab. , Matematică multifuncțională pentru licența 2: curs complet, exemple și exerciții corectate , Dunod ,2014( citiți online ) , p. 134.
Pozitivitatea minorilor majori dominanți nu este suficientă, după cum reiese din matrice . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$
(în) Roger A. Horn și Charles R. Johnson, Matrix Analysis , Cambridge University Press ,2013, A 2 -a ed. ( 1 st ed. 1985) ( citit on - line ) , p. 439, arată că 5. ⇒ 3.
Exemplul funcțiilor constante arată că nu este neapărat pozitiv definit
Pentru o dovadă completă, consultați § „Matricea pozitivă” a articolului despre rădăcinile pătrate ale unei matrice .