În ecuațiile lui Maxwell , de asemenea , numit Maxwell-Lorentz ecuații sunt legile fundamentale ale fizicii . Ele constituie postulatele de bază ale electromagnetismului , cu expresia forței electromagnetice a lui Lorentz .
Aceste ecuații traduc sub formă locală diverse teoreme ( Gauss , Ampère , Faraday ) care au guvernat electromagnetismul înainte ca Maxwell să le unească sub formă de ecuații integrale . Ele oferă astfel un cadru matematic precis conceptului fundamental de câmp introdus în fizică de Faraday în anii 1830 .
Aceste ecuații arată în special că, într-o stare stabilă, câmpurile electrice și magnetice sunt independente unul de celălalt, în timp ce nu se află într-un regim variabil. În cel mai general caz, trebuie deci să vorbim despre câmpul electromagnetic, dihotomia electric-magnetică fiind o vedere a minții. Acest aspect își găsește formularea definitivă în formalismul covariant prezentat în a doua parte a acestui articol: câmpul electromagnetic este reprezentat acolo de un singur obiect matematic, tensorul electromagnetic , ale cărui componente sunt identificate cu cele ale câmpului electric și altele. la cele ale câmpului magnetic .
Ecuațiile lui Maxwell sunt un set de patru ecuații diferențiale parțiale de ordinul întâi cuplate:
Această „corecție” Maxwell a teoremei lui Ampère este deosebit de importantă: înseamnă că variația unui câmp magnetic creează un câmp electric și că variația unui câmp electric creează un câmp magnetic. Prin urmare, aceste ecuații permit circulația undelor electromagnetice autosustenabile, sau „ radiații electromagnetice ”.
Viteza de propagare calculată pentru undele electromagnetice, care ar putea fi prezisă prin experimente cu sarcini și curenți, este exact viteza luminii . Acest lucru se datorează faptului că lumina este o formă de radiație electromagnetică (la fel ca razele X , undele radio etc.). Maxwell a înțeles relația dintre radiația electromagnetică și lumină în 1864, unificând două câmpuri disjuncte până acum: cel al electromagnetismului și cel al opticii .
În jurul anului 1865, Maxwell a produs o sinteză armonioasă a diferitelor legi experimentale descoperite de predecesorii săi (legile electrostatice , magnetismului , inducției etc.). Dar această sinteză a fost posibilă doar pentru că Maxwell a știut să meargă dincolo de munca predecesorilor săi, introducând într-o ecuație o „verigă lipsă”, numită curentul de deplasare , a cărui prezență asigură coerența edificiului unificat.
Maxwell și-a publicat prima dată teoria în 1865 sub forma a douăzeci de ecuații cu douăzeci de necunoscute, scrise folosind cuaternioane . În 1873, în lucrarea în două volume A Treatise on Electricity and Magnetism , Maxwell își rescrisese deja teoria sub forma a opt ecuații. Abia mai târziu, în 1884, Oliver Heaviside a rescris aceste ecuații sub forma a patru ecuații vectoriale cu derivate parțiale care sunt acum cunoscute.
Astăzi, cele patru ecuații (vectoriale) ale lui Maxwell se reduc la doar două ecuații tensorale, sau chiar la o singură ecuație multivectoră în algebră geometrică .
Sinteza lui Maxwell a permis ulterior cele mai mari două progrese în fizica modernă:
Prezentăm mai jos teoria microscopică fundamentală care oferă ecuațiile Maxwell-Lorentz în vid în prezența surselor , care pot fi sarcini punctuale și / sau curenții lor electrici microscopici asociați dacă aceste sarcini sunt în mișcare în cadrul de referință al studiului.
Teoria macroscopică care necesită introducerea câmpurilor D și H (și a ecuațiilor asociate lui Maxwell) este discutată în detaliu în Electrodinamica mediilor continue .
Observăm:
În această ecuație, vom folosi operatorul nabla , a remarcat :, a cărei expresie putem scrie în coordonate carteziene cu
∇→=∂∂Xe→X+∂∂ye→y+∂∂ze→z.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ vec {e}} _ {x} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ vec {e}} _ {y} + {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ vec {e}} _ {z}.} Această ecuație locală dă divergența câmpului electric în funcție de densitatea sarcinii electrice: ∇→⋅E→=ρε0latusseunuote´edivE→=ρε0.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ quad \ mathrm {also \; not {\ acute { e}} e} \ quad \ operatorname {div} {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}.} Această ecuație corespunde unui „termen sursă”: densitatea sarcinii electrice este o sursă a câmpului electric. De exemplu, pentru o sarcină punctuală fixată la origine , legea lui Coulomb care dă câmpului electrostatic într-un punct din spațiu, punct identificat prin vectorul de poziție unde este vectorul unitate radial și care este scris: E→(M)=q4πε0r2tu→r.{\ displaystyle {\ vec {E}} (M) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}} {\ vec {u}} _ {r}.} Acest câmp electrostatic verifică ecuația Maxwell-Gauss pentru sursa statică, adică ρ(X→,t)=qδ3(X→),{\ displaystyle \ rho ({\ vec {x}}, t) = q \ delta ^ {3} ({\ vec {x}}),} unde este distribuția Dirac în spațiul tridimensional. Teorema lui GaussGauss Teorema este forma integrală a ecuației Maxwell-Gauss. El afirmă că fluxul de câmp electric permanent printr - o închisă suprafață gaussiană , orientată în funcție de ieșire normală, este egal cu raportul dintre încărcătura conținută în volumul delimitat de suprafața și permitivitatea vidului:
∮ΣE→⋅dS→=1ε0∫Vρdτ=Îeunutε0.{\ displaystyle \ oint _ {\ Sigma} {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} \ rho \ mathrm {d} \ tau = {\ frac {Q _ {\ mathrm {int}}} {\ varepsilon _ {0}}}.} Rețineți că ecuația Maxwell-Gauss este ușor de găsit prin aplicarea teoremei lui Ostrogradski la teorema lui Gauss și luând un volum infinitesimal.Această ecuație se mai numește ecuația fluxului Maxwell ; exprimă faptul că fluxul câmpului magnetic printr-o suprafață
închisă este întotdeauna zero: ∮ΣB→⋅dS→=0.{\ displaystyle \ anint _ {\ Sigma} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = 0.} Această ecuație este forma integrală a ecuației locale a lui Maxwell și trecem de la una la alta prin aplicarea teoremei lui Ostrogradski . Ecuația locală a lui MaxwellAceastă ecuație locală este pentru câmpul magnetic ceea ce este ecuația Maxwell-Gauss pentru câmpul electric, și anume o ecuație cu „termen sursă”, aici identic zero:
∇→⋅B→=0latusseunuote´edivB→=0.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0 \ quad \ mathrm {also \; not {\ acute {e}} e} \ quad \ operatorname {div} {\ vec {B}} = 0.} Acesta reflectă următorul fapt experimental: nu există un monopol magnetic. Un monopol magnetic ar fi o sursă punctuală a unui câmp magnetic, analog sarcinii electrice punctuale pentru câmpul electric. Cu toate acestea, sursa obiectului de bază al unui câmp magnetic este magnetul , care se comportă ca un dipol magnetic : un magnet are de fapt un pol nord și un pol sud. Experimentul de bază al încercării de a tăia un magnet în jumătate dă naștere la doi magneți, nu un pol nord și un pol sud, separat. Introducerea potențialului vectorialDe analiză vectorială arată că divergența unui rotație este întotdeauna identic zero pentru orice domeniu nespecificat , respectiv . În schimb, orice câmp vector a cărui divergență este identică zero poate fi exprimat local ca o rotație. Prin urmare, ecuația de conservare a fluxului magnetic local face posibilă definirea cel puțin locală a unui potențial-vector, cum ar fi:
B→=∇→×LA→.{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}.} Problema importantă a unicității potențialului vector este discutată în articolul Gaarian invariance of the theory .Această ecuație locală reflectă fenomenul fundamental al inducției electromagnetice descoperit de Faraday .
Ecuația localăOferă rotația câmpului electric în funcție de derivata în timp a câmpului magnetic:
∇→∧E→=-∂B→∂tlatusseunuote´erot→E→=-∂B→∂t.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} \ quad \ mathrm {also \; not {\ acute {e}} e} \ quad \ operatorname {\ overrightarrow {rot}} {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} .} Această ecuație indică faptul că variația câmpului magnetic creează un câmp electric. Forma integrală: legea lui FaradayForma integrală a ecuației locale este dată, conform teoremei lui Stokes , de:
∮VSE→⋅dℓ→=-ddt(∫SB→⋅dS→).{\ displaystyle \ anint _ {C} {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left (\ int _ {S} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} \ right).} Aceasta este legea lui Faraday , care este, de asemenea, scrisă: e=-dΦdt{\ displaystyle e = - {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} t}}} sau:De vectori de analiză arată că buclat unui gradient este întotdeauna identic la zero. Pentru orice câmp scalar :
∇→×(∇→F)=0→.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times ({\ vec {\ nabla}} F) = {\ vec {0}}.} Ecuația Maxwell-Faraday împreună cu existența locală a unui vector potențial fac posibilă definirea (cel puțin locală) a potențialului electric (scalar), cum ar fi: E→=-∇→V-∂LA→∂t.{\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} V - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}}.} Problema importantă a unicității potențialului electric este discutată în Teoria Invarianței Gauge .Această ecuație este moștenită din teorema lui Ampère . În formă locală, este scris în termenii vectorului densității curentului :
∇→×B→=μ0ȷ→+μ0ε0∂E→∂tlatusseunuote´erot→B→=μ0ȷ→+μ0ε0∂E→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {\ jmath}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} \ quad \ mathrm {also \; not {\ acute {e}} e} \ quad \ operatorname {\ overrightarrow {rot}} {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {\ jmath}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t }}} Introducerea curentului de deplasareEcuația anterioară poate fi rescrisă
∇→×B→=μ0(ȷ→+ȷ→D),{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = \ mu _ {0} \ left ({\ vec {\ jmath}} + {\ vec {\ jmath}} _ {D } \ dreapta),} prin introducerea curentului de deplasare Maxwell ȷ→D=ε0∂E→∂t.{\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} _ {D} = \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}}.} Forma integrală leagă circulația câmpului magnetic pe un contur închis și curenții care trec printr-o suprafață sprijinită pe acest contur. Aceasta este o consecință directă a teoremei lui Green : ∮VSB→⋅dℓ→=μ0∫Sȷ→⋅dS→+ε0μ0∫S∂E→∂t⋅dS→.{\ displaystyle \ anint _ {C} {\ overrightarrow {B}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {\ ell}}} = \ mu _ {0} \ int _ {S} {\ vec { \ jmath}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {S}}} + \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} \ int _ {S} {\ frac {\ partial {\ vec {E }}} {\ partial t}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {S}}}.}Luați în considerare divergența ecuației Maxwell-Ampere:
∇→⋅∇→×B→=0=μ0∇→⋅ȷ→+ε0μ0∇→⋅(∂E→∂t).{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = 0 = \ mu _ {0} {\ vec {\ nabla}} \ cdot { \ vec {\ jmath}} + \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} \ dreapta).} Derivatele spațiale și temporale fiind independente, teorema lui Schwarz asigură faptul că se poate permuta operatorul nabla și derivata temporală parțială. Apoi, folosind ecuația Maxwell-Gauss, vine: ∇→⋅(∂E→∂t)=∂ ∂t(∇→⋅E→)=1ε0∂ρ∂t.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} \ right) = {\ frac {\ partial ~} {\ partial t}} \ left ({\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} \ right) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}}.} În cele din urmă, obținem ecuația locală de conservare a încărcăturii electrice: ∇→⋅j→+∂ρ∂t=0latusseunuote´edivj→+∂ρ∂t=0.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0 \ quad \ mathrm {also \; not {\ acute {e}} e} \ quad \ operatorname {div} {\ vec {j}} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0.} Prezența termenului curent de deplasare , introdus de Maxwell, este esențială pentru a obține această ecuație.Luați în considerare rotația ecuației Maxwell-Faraday, având în vedere Maxwell-Gauss și Maxwell-Ampere:
,
fie folosind faptul că derivatele spațiale și temporale sunt independente
,
sau, prin reorganizarea:
.
Aceasta arată că câmpul electric urmează ecuația undei .
Luând rotația ecuației Maxwell-Ampere, luând în considerare Maxwell-Thomson și Maxwell-Faraday, găsim rezultatul echivalent:
.
Acest lucru arată că câmpul magnetic urmează și ecuația undei.
Viteza de propagare a undei electromagnetice este dată de:
.
De analiză vectorială arată că divergența unei bucle este întotdeauna identic nulă:
.Prin urmare, ecuația de conservare a fluxului magnetic local face posibilă definirea cel puțin locală a unui potențial-vector, cum ar fi:
. |
Analiza vectorială ne spune, de asemenea, că
.Atunci vectorul potențial nu este definit în mod unic de la următoarea transformare, cu orice funcție
nu modifică valoarea câmpului . Acesta este un exemplu de transformare a ecartamentului . Prin urmare, este necesar să se impună condiții suplimentare pentru a defini fără echivoc. Aceasta se numește condiții de gabarit, de exemplu starea gabaritului Coulomb sau mai general starea gabaritului Lorenz (a se vedea mai jos).
Putem observa că în fizica clasică , vectorul potențial pare a fi doar un instrument matematic convenabil pentru a analiza soluțiile ecuațiilor lui Maxwell, dar nu pare a fi o mărime fizică direct măsurabilă . În 1959, în cadrul fizicii cuantice , Aharonov și Bohm au demonstrat că potențialul vectorial a avut un efect observabil în mecanica cuantică : este efectul Aharonov-Bohm .
Ecuația Maxwell-Faraday împreună cu existența locală a unui vector potențial fac posibilă definirea (cel puțin locală) a potențialului electric (scalar), cum ar fi:
. |
Nici potențialul în sine nu este definit într-un mod unic, dar transformarea gabaritului asociată și legată de cea a este după cum urmează (ne amintim de cea din motive de claritate) și avem
.Aceste două ecuații dau invarianța ecartamentului complet al ecuațiilor lui Maxwell.
Am stabilit condiția gabaritului Lorenz (care cuplează cele două potențiale):
.Să luăm ecuația Maxwell-Ampere, luând în considerare starea gabaritului Lorenz și expresia ca funcție a potențialelor și :
,.
Obținem ecuația de propagare a potențialului vector:
folosind . Idem pentru potențialul scalar:
,este
Observăm că gabaritul Lorenz face posibilă decuplarea ecuațiilor de propagare a câmpurilor și : acestea depind, respectiv, numai de surse și . Acesta este motivul pentru care gabaritul Lorenz este adesea folosit pentru studiul fenomenelor de undă.
Expresiile câmpurilor electrice și magnetice pot fi obținute prin integrarea ecuațiilor Liénard-Wichert sau a celor ale lui Heaviside-Feynman pe întreg spațiul .
Să rezolvăm ecuațiile lui Maxwell în spațiu posibil limitat de condiții care păstrează liniaritatea .
Să reprezentăm soluții prin litere (seturi de 6-vectori formați din cele șase componente ale câmpului în orice punct de coordonate ). Ca și în vid ecuațiile sunt liniare, unde sunt constante reale, este, de asemenea, o soluție. În consecință, setul de soluții ale ecuațiilor lui Maxwell este un spațiu vectorial real.
Conform definiției introduse în acustică , un mod este o direcție a acestui spațiu. Un sistem complet de soluții constituie o bază în acest spațiu numit uneori spațiu de soluții, alteori spațiu de moduri. O soluție specială într-un mod este obținută prin înmulțirea unui câmp al acestui mod reprezentat ca un câmp al amplitudinii unității, cu o constantă reală, amplitudinea.
Cu un sistem adecvat de unități, energia (la un moment dat) a unei soluții este integralul extins la tot spațiul, pătratul normei vectorului față de produsul obișnuit cu puncte . Este necesar să se acorde atenție faptului că energia nu depinde liniar de . Prin urmare, energia sumei mai multor soluții nu este, a priori , suma energiilor diferitelor soluții luate separat. Cu toate acestea, metoda Gram-Schmidt face posibilă obținerea, dintr-un sistem complet de soluții, a unui sistem complet de soluții ortogonale sau chiar a unui sistem complet de moduri ortogonale. În astfel de sisteme, energiile sunt independente, adică energia unei soluții este egală cu suma energiilor diferitelor sale componente din sistem.
Planck a susținut că energia într-un mod monocromatic de frecvență care se propagă într-un corp negru la temperatură este . Valoarea eronată a datelor de către Planck a fost corectată de Nernst în 1916; valoarea se găsește ușor deoarece dictează termodinamica care tinde spre când tinde spre infinit. Această formulă definește temperatura unui mod. Cu toate acestea, interpretarea acestei formule este delicată din punct de vedere fizic, deoarece definiția unei frecvențe pure presupune o experiență de durată infinită.
Știm cum să calculăm câmpurile emise de sarcini, de exemplu câmpul emis de un dipol electrostatic oscilant. Pentru a reveni la problema anterioară, folosim „trucul Schwarzschild și Fokker”. Câmpul emis de o sursă se numește „câmp întârziat” . Dezbrăcat de sursă, acest câmp nu este o soluție a ecuațiilor lui Maxwell. Pentru a obține o soluție identică în viitor, este necesar să îi adăugați un „câmp avansat” . Prin această definiție, este soluția ecuațiilor lui Maxwell. Astfel, înlocuind sursa câmpului avansat, suntem readuși la problema liniară a unui câmp în vid și putem defini moduri.
Soluțiile generale și cauzale ale ecuațiilor lui Maxwell sunt date de ecuațiile lui Jefimenko .
Ecuațiile lui Jefimenko dau câmpul electric și câmpul magnetic datorită unei distribuții a sarcinilor electrice și a curentului electric în spațiu. Ei iau în considerare întârzierea datorată propagării (timpului întârziat) a câmpurilor datorită limitei finite a vitezei luminii și a efectelor relativiste. Prin urmare, ele pot fi utilizate pentru deplasarea sarcinilor și curenților. Ele sunt soluțiile generale ale ecuațiilor lui Maxwell pentru orice distribuție arbitrară a sarcinilor și curenților.
Aceste ecuații sunt generalizarea dependentă de timp ( electrodinamică ) a legii lui Coulomb și a legii lui Biot-Savart, care inițial erau adevărate doar pentru câmpurile electrostatice și magnetostatice, precum și pentru curenții direcți.
Una dintre caracteristicile esențiale ale ecuațiilor lui Jefimenko este văzută în partea dreaptă unde apare timpul întârziat care reflectă cauzalitatea acestor ecuații. Cu alte cuvinte, partea stângă a ecuațiilor este de fapt cauzată de partea dreaptă, spre deosebire de ecuațiile diferențiale ale lui Maxwell în care ambele părți au loc în același timp.
Un sistem fizic are, în general, minime relative de energie. În regim non-evolutiv (staționar), sistemul, excitat de un câmp electromagnetic de ordinul fiecărui mod pe care este capabil să-l emită (și, prin urmare, să îl absoarbă), rămâne în vecinătatea unui minim de energie; pentru fiecare mod monocromatic, excitația acestuia îl face să radieze un câmp în cuadratură cu câmpul incident, care nu produce niciun schimb permanent de energie, dar introduce o întârziere, refracție. Pentru un câmp mai intens, în special datorită unei fluctuații favorabile a câmpului, sistemul poate traversa un gât al diagramei sale energetice și poate absorbi o energie, această absorbție poate duce la un nivel instabil de la care sistemul poate evolua rapid către alte niveluri, într-o cascadă mai mult sau mai puțin radiativă care o aduce la o stare staționară, stabilă.
Într-o teorie clasică, nu poate fi admis nici un paradox, în special paradoxul lui Einstein, Podolsky și Rosen nu există: să presupunem că un atom pierde o energie rezonantă , de exemplu prin radiația unui dipol. Modul de emisie al acestui dipol nu este ortogonal cu modurile de emisie (deci absorbție) ale altor atomi a căror amplitudine poate fi mărită; 0, 1, 2, ... atomii pot absorbi apoi , chiar dacă, în medie, doar un atom este excitat; câmpurile reziduale joacă rolul unei băi termodinamice.
S-a scris că electronul unui atom de hidrogen care urmează o orbită Bohr emite un câmp, prin urmare radiază energie și ar trebui să cadă pe nucleu. Electronul emite un câmp, dar cu o energie foarte redusă datorită interferenței câmpului emis cu câmpul rezidual; această energie scade la zero dacă orbita este corectată ușor, astfel încât energia stării staționare suferă schimbarea Lamb .
Studiul aprinderii unui laser pare să indice că câmpul punctului zero induce o emisie de două ori mai intensă decât un câmp de intensitate mai mare. Pentru a ține cont de acest rezultat, se poate introduce o „radiație de reacție” ad hoc . Explicația reală este foarte simplă: un atom este excitat de un câmp în modul pe care îl poate emite, numit sferic; când laserul este pornit, există în acest mod o amplitudine corespunzătoare ; laserul funcționează pe un mod de undă plană, a cărui componentă sferică trebuie luată pentru a excita atomul, care împarte energia la doi.
Nu există un sistem electromagnetic izolat; uitând că câmpul minim este câmpul punct zero duce la erori la detectarea câmpurilor slabe.
NB Această parte urmează convențiile clasice privind semnele MTW
Această parte adoptă, de asemenea , convenția de chemare a lui Einstein .
Spațiul-timp al lui Minkowski (1908) este un colector diferențial plat M dotat cu o metrică lorentziană.
Să fie un sistem de coordonate arbitrar în jurul unui eveniment (punct) de spațiu-timp, și să fie o bază locală , tangenta spațiu la colectorul de la punctul . Un vector tangent este apoi scris ca o combinație liniară:
. |
Se numesc componente contravariante ale vectorului . Tensorul metric este forma biliniare simetrice:
Într-o bază ortonormală a unui cadru de referință inerțial , componentele sale covariante sunt:
Componentele sale contravariante verifică:
. |
Obținem în mod explicit:
. |
Următoarele convenții obișnuite vor fi utilizate mai jos:
De exemplu, componentele contravariante ale vectorului în 4 poziții sunt scrise într-un sistem de coordonate ortonormale:
. |
Tensorul metric definește pentru fiecare punct de spațiu-timp un produs pseudo- scalar ( pseudo în sensul că ipoteza pozitivității este eliminată) în spațiul euclidian tangent la M în punct . Dacă și sunt doi vectori ai , produsul lor scalar este scris:
. |
În special, luând doi vectori de bază, obținem componentele:
. |
desemnând componentele contravariante ale vectorului w , putem defini în același mod componentele sale covariante prin:
. |
De exemplu, componentele covariante ale vectorului în 4 poziții sunt scrise într-un sistem de coordonate ortonormale:
. |
Introducem operatorul diferențial cvadri-gradient pentru a generaliza operatorul nabla .
Componentele sale covariante sunt scrise:
. |
Componentele sale contravariante sunt scrise:
. |
Operatorul invariant d'Alembertian este scris de exemplu:
. |
Introducem cvadrivectorul potențialului electromagnetic prin componentele sale contravariante:
unde este potențialul electric scalar și vectorul potențial magnetic. Componentele sale covariante sunt scrise:
. |
Prin urmare, legile de transformare a ecartamentului scrise anterior sunt rezumate în această notație sub formă
.Condiția gabaritului Lorenz este scrisă, de exemplu, într-un mod covariant:
. |
Introducem quadricurentul electromagnetic prin componentele sale contravariante:
unde este densitatea sarcinii electrice scalare și vectorul densității curentului. Componentele sale covariante sunt scrise:
. |
Tensorul electromagnetică este tensorul antisimetrică de rangul doi este definit de cvadrilete-potențialul de:
. |
Componentele sale covariante sunt scrise explicit:
. |
Obținem componentele sale contravariante scriind:
. |
Metrica fiind diagonală într-un cadru de referință inerțial, obținem apoi următoarele formule, fără însumare pe indicii repetați :
fie în mod explicit:
. |
Ecuațiile lui Maxwell iau forma relativistă covariantă.
. |
. |
Deoarece tensorul Maxwell este antisimetric, această ultimă relație implică în special faptul că se păstrează cvadricurentul :
. |
Scriind explicit tensorul lui Maxwell în termeni de potențial cvadru în ecuația covariantă cu termenul sursă, obținem pentru partea stângă:
. |
În gabaritul Lorenz , al doilea termen dispare, iar ecuația Maxwell cu termenul sursă este redusă la o ecuație de propagare pentru patru potențiale:
. |
Soluția acestei ecuații este scrisă într-un mod simplu dacă cunoaștem o funcție verde a ecuației de propagare, adică o funcție G (x) soluție a ecuației diferențiale parțiale:
unde este distribuția Dirac. Apoi obținem quadri-potențialul sub forma unui produs de convoluție :
. |
În electrodinamica clasică, folosim cel mai adesea funcția verde întârziată care satisface ipoteza cauzalității :
. |
Accesibil la nivel de licență.