Teorema lui Green
În matematică , teorema lui Green sau teorema Green-Riemann oferă relația dintre o integrală curbiliniară de -a lungul unei curbe închise simple orientate C 1 în bucăți și integrala dublă peste regiunea planului delimitată de această curbă.
Această teoremă , numită după George Green și Bernhard Riemann , este un caz special al teoremei lui Stokes .
State
Lăsați C să fie un simplu, pozitiv orientat curbă plană și C 1 pe porțiuni , D compact al planului delimitat de C și P d x + Q d y o 1- formă diferențială pe . Dacă P și Q au derivate parțiale continue pe o regiune deschisă, inclusiv D , atunci:
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
∫VSPdX+Îdy=∬D(∂Î∂X-∂P∂y)dXdy.{\ displaystyle \ int _ {C} P \, \ mathrm {d} x + Q \, \ mathrm {d} y = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x }} - {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} \ right) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y.}
Notare alternativă
Văzută ca un caz particular al teoremei lui Stokes , teorema este scrisă în următoarea formă, denotând ∂ D curba C și ω forma diferențială. Apoi, derivatul extern al lui ω este scris:
dω=(∂Î∂X-∂P∂y)dX∧dy{\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} \ right) \ mathrm {d } x \ wedge \ mathrm {d} y}
iar teorema lui Green se rezumă prin:
∮∂Dω=∬Ddω.{\ displaystyle \ anoint _ {\ partial D} \ omega = \ iint _ {D} \ mathrm {d} \ omega.}
Cercul de pe integrală specifică faptul că muchia ∂ D este o curbă închisă (orientată). Modificarea orientării curbei modifică semnul integralei curvilinee. Orientarea muchiei ∂ D se realizează intuitiv în așa fel încât un punct care o traversează trebuie să aibă câmpul D constant în stânga sa.
Poate fi , de asemenea , interpretată ca circulația a câmpului vectorial definit pe un plan deschis , care conține D .
∮∂Dω{\ displaystyle \ anoint _ {\ partial D} \ omega} Pı→+Îȷ→{\ displaystyle P \, {\ vec {\ imath}} + Q \, {\ vec {\ jmath}}}
Demonstrație într-un caz simplificat
Să arătăm că presupunând că domeniul D poate fi descris de:
∬D-∂P∂y(X,y)dXdy=∫∂DPdX{\ displaystyle \ iint _ {D} - {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {\ partial D} P \, \ mathrm {d} x}
D={(X,y)∈R2 ; la⩽X⩽b și f(X)⩽y⩽g(X)}{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \; \ a \ leqslant x \ leqslant b \ {\ text {and}} \ f (x) \ leqslant y \ leqslant g (x) \}}
unde f și g sunt funcții ale clasei C 1 pe [ a , b ] care coincid în a și b .
Fubini Teorema dă:
∬D-∂P∂y(X,y)dXdy=∫lab(∫f(X)g(X)-∂P∂y(X,y)dy)dX{\ displaystyle \ iint _ {D} - {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {a} ^ {b} \ left (\ int _ {f (x)} ^ {g (x)} - {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} (x, y) \, \ mathrm {d} y \ right) \ mathrm {d} x}
Acum , astfel încât:
∫f(X)g(X)-∂P∂y(X,y)dy=P(X,f(X))-P(X,g(X)){\ displaystyle \ int _ {f (x)} ^ {g (x)} - {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} (x, y) \, \ mathrm {d} y = P ( x, f (x)) - P (x, g (x))}
∬D-∂P∂y(X,y)dXdy=∫labP(X,f(X))-P(X,g(X))dX.{\ displaystyle \ iint _ {D} - {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {a} ^ {b} P (x, f (x)) - P (x, g (x)) \, \ mathrm {d} x.}Cu toate acestea, arcul orientat poate fi împărțit în două subarcuri:
∂D{\ displaystyle \ partial D}
t⟼(t,f(t)){\ displaystyle t \ longmapsto (t, f (t))}unde t crește de la
a la
b
și
unde t scade de la b la a .
t⟼(t,g(t)){\ displaystyle t \ longmapsto (t, g (t))}
Integrala curbiliniară este deci:
∫∂DPdX{\ displaystyle \ int _ {\ partial D} P \, \ mathrm {d} x}
∫labP(t,f(t))dt+∫blaP(t,g(t))dt=∫labP(t,f(t))-P(t,g(t))dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} P (t, f (t)) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {b} ^ {a} P (t, g (t)) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {a} ^ {b} P (t, f (t)) - P (t, g (t)) \, \ mathrm {d} t} care este expresia obținută mai sus.
Arătăm, de asemenea, că, presupunând că domeniul D poate fi descris ca fiind:
∬D∂Î∂X(X,y)dXdy=∫∂DÎdy{\ displaystyle \ iint _ {D} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {\ partial D } Q \, \ mathrm {d} y}
D={(X,y)∈R2 ; vs.⩽y⩽d și ϕ(y)⩽X⩽ψ(y)}{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \; \ c \ leqslant y \ leqslant d \ {\ text {et}} \ \ phi (y) \ leqslant x \ leqslant \ psi (y) \}}
unde ϕ și ψ sunt funcții ale clasei C 1 pe [ c , d ] care coincid în c și d :
∬D∂Î∂X(X,y)dXdy=∫vs.d∫ϕ(y)ψ(y)∂Î∂X(X,y)dXdy=∫vs.dÎ(ψ(y),y)-Î(ϕ(y),y)dy=∫∂DÎdy.{\ displaystyle \ iint _ {D} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {c} ^ {d} \ int _ {\ phi (y)} ^ {\ psi (y)} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {c} ^ {d} Q (\ psi (y), y) -Q (\ phi (y), y) \, \ mathrm {d} y = \ int _ {\ parțial D} Q \, \ mathrm {d} y.}Utilizări
Teorema lui Green face posibilă în special dovedirea inegalității lui Poincaré , precum și a teoremei integrale a lui Cauchy pentru funcțiile holomorfe.
Calcule de suprafață
Utilizarea teoremei lui Green face posibilă calcularea ariei delimitate de o curbă parametrizată închisă. Această metodă se aplică concret în planimetre .
Să D o zonă a hărții la care teorema lui Green se aplică și este C = ∂ D frontiera sa, orientat pozitiv în ceea ce privește D . Avem :
LA(D)=∬DdXdy=∫VS-ydX=∫VSXdy=12∫VS-ydX+Xdy{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (D) = \ iint _ {D} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {C} -y \ mathrm {d} x = \ int _ {C} x \ mathrm {d} y = {\ frac {1} {2}} \ int _ {C} -y \ mathrm {d} x + x \ mathrm {d} y}
luând respectiv egal sau , sau , în cele din urmă , fiecare dintre aceste trei cazuri satisfăcătoare(P(X,y),Î(X,y)){\ displaystyle \ left (P (x, y), Q (x, y) \ right)}(-y,0){\ displaystyle (-y, 0)}(0,X){\ displaystyle (0, x)}(-y/2,X/2){\ displaystyle (-y / 2, x / 2)}∂Î∂X-∂P∂y=1.{\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} = 1.}
Zona unui astroid
Tratăm aici exemplul unui astroid , a cărui margine C este parametrizată de:
t↦(cos3t,păcat3t),{\ displaystyle t \ mapsto (\ cos ^ {3} t, \ sin ^ {3} t),}
t variind de la 0 la 2 π . Luând și , obținem:
P(X,y)dX=-y2dX=32păcat4tcos2tdt{\ displaystyle P (x, y) \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {y} {2}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {3} {2}} \ sin ^ {4} t \ cos ^ {2} t \, \ mathrm {d} t}Î(X,y)dy=X2dy=32cos4tpăcat2tdt{\ displaystyle Q (x, y) \, \ mathrm {d} y = {\ frac {x} {2}} \, \ mathrm {d} y = {\ frac {3} {2}} \ cos ^ {4} t \ sin ^ {2} t \, \ mathrm {d} t}
LA(D)=12∫VS-ydX+Xdy=32∫02πcos2tpăcat2tdt.{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (D) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathcal {C}} - y \ mathrm {d} x + x \ mathrm {d} y = {\ frac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos ^ {2} t \ sin ^ {2} t \, \ mathrm {d} t.}
După liniarizare , deducem că aria astroidului este egală cu3π/8.
Zona unui poligon
Pentru un poligon simplu cu n vârfuri P 0 , P 1 ,…, P n = P 0 numerotate în direcția trigonometrică pozitivă, cu P i = ( x i , y i ) , obținem
LA=12∑eu=1nu(Xeu+Xeu-1)(yeu-yeu-1)=-12∑eu=1nu(Xeu-Xeu-1)(yeu+yeu-1){\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} + x_ {i-1}) \, (y_ {i} -y_ {i-1}) = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) \, (y_ {i} + y_ {i-1})}sau
LA=12∑eu=1nuXeu-1yeu-Xeuyeu-1,{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i-1} \, y_ {i} -x_ {i} \, y_ {i-1},}expresie care poate fi interpretată ca suma ariilor triunghiurilor OP i –1 P i .
Notă: în prima relație, observăm că o traducere nu modifică zona.