Cadrivector potențial

In fizica , patru vector potențial sau cvadrilete-potențial sau gabaritul câmp , notat în general cu indicele de tăcere este un vector cu patru componente definite de unde denota potentialul scalar (notate de asemenea V ), c viteza luminii în gol , și potențialul vector care depinde de alegerea sistemului de coordonate. De exemplu, în coordonatele carteziene , acesta din urmă este reprezentat de , ceea ce face total pentru quad-vector . ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ mu = 0,1,2,3}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ phi} {c}} \\ {\ vec {A}} \ end {pmatrix}}}$ $\ phi$ $\ vec {A}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} {\ frac {\ phi} {c}} \\ A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}$

Este utilizat în special în relativitatea specială și în mecanica cuantică relativistă .

Definiții

Potențialul cvadri depinde de coordonatele spațiu-timp fie acolo unde este spațiul timp cvadri-vector, fie în coordonatele carteziene . În cele din urmă, este scris câmpul gabaritului . În cartezian, obțineți extensia completă ${\ displaystyle A ^ {\ mu} = A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu})}$ ${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {\ begin {pmatrix} ct \\ {\ vec {r}} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {\ begin {pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = {\ begin {pmatrix} \ phi ({\ vec {r}}, t) / c \\ {\ vec {A}} ({ \ vec {r}}, t) \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = {\ begin {pmatrix} \ phi (x, y, z, t) / c \\ A_ {x} (x, y, z, t) \\ A_ {y} (x, y, z, t) \\ A_ {z} (x, y, z, t) \ end {pmatrix}}}$

Potențialul scalar este definit de ${\ displaystyle \ phi (x ^ {\ nu}) = \ phi ({\ vec {r}}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int _ { V '} {\ frac {\ rho ({\ vec {r'}}, t ') | _ {t' = t- | {\ vec {r}} - {\ vec {r '}} | / c }} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r '}} |}} dV'}$

Potențialul vector este definit de ${\ displaystyle {\ vec {A}} (x ^ {\ nu}) = {\ vec {A}} ({\ vec {r}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} { 4 \ pi}} \ int _ {V '} {\ frac {{\ vec {j}} ({\ vec {r'}}, t ') | _ {t' = t- | {\ vec {r }} - {\ vec {r '}} | / c}} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r'}} |}} dV '}$

unde denotă densitatea de încărcare și densitatea de curent în volumul V ' considerat. Timpul t ' desemnează timpul întârziat sau timpul la nivelul sursei de când câmpul se propagă la viteza c , prin urmare câmpul emis de sursă în momentul t' va fi simțit în acel moment . ${\ displaystyle \ rho ({\ vec {r '}}, t')}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} ({\ vec {r '}}, t')}$ ${\ displaystyle {\ vec {r '}}}$ $\ vec {r}$ ${\ displaystyle t = t '+ | {\ vec {r}} - {\ vec {r'}} | / c}$

Ecuații

Din ecuațiile relativiste Maxwell , dacă alegem gabaritul Lorenz , care poate fi definit prin , fie ajungem cu următoarele 4 ecuații: ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + {\ text {div}} {\ vec {A}} = 0}$

{\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = \ mu _ {0} J ^ {\ mu} (x ^ {\ nu })}

${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ right)}$ reprezintă gradientul covariant cvadrivector și echivalentul său contravariant . Într - adevăr, cu metricii Minkowski în semnătura (+, -, -, -). ${\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \\ - {\ vec {\ nabla} } \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} = \ sum _ {\ beta = 0} ^ {3} \ eta ^ {\ alpha \ beta} \ partial _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ eta ^ {\ alpha \ beta}}$
Repetarea indicilor implică suma termenilor conform convenției lui Einstein . Aceasta implică ceea ce nu este altul decât operatorul Alertă . ${\ displaystyle x _ {\ mu} y ^ {\ mu} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} x _ {\ mu} y ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} = \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ Delta}$
${\ displaystyle \ mu _ {0} = {\ frac {1} {\ epsilon _ {0} c ^ {2}}}}$ denotă permeabilitatea vidului
${\ displaystyle J ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = \ rho _ {0} V ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = \ rho _ {0} \ gamma (c, {\ vec {v}}) = \ gamma (c \ rho _ {0}, {\ vec {j_ {0}}}) = (c \ rho, {\ vec {j}})}$ reprezintă quadrivectorul densității curentului .

Căci găsim ecuația care corespunde ecuației lui Maxwell în vid . $\ mu = 0$ ${\ displaystyle \ square \ phi = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}$ ${\ displaystyle {\ text {div}} {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}$

Într-adevăr, ${\ displaystyle \ square \ phi = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}}} - \ Delta \ phi = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}}} - {\ text {div}} ({\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi) = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ text {div}} {\ vec {A}}) - {\ text {div} } ({\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi) = {\ text {div}} \ left (- {\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right) = {\ text {div}} {\ vec {E}}}$

Căci găsim ecuația care corespunde ecuației lui Maxwell în vid . ${\ displaystyle \ mu = 1,2,3}$ ${\ displaystyle \ square {\ vec {A}} = \ mu _ {0} {\ vec {j}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {H}} = {\ vec {j}} + {\ frac {\ partial {\ vec {D}}} {\ partial t}} }$

Într-adevăr, ${\ displaystyle \ square {\ vec {A}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {A}}} {\ partial t ^ {2}}} - \ Delta {\ vec {A}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {A}}} {\ partial t ^ {2}}} + {\ vec {\ text {rot}}} ({\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {A}}) - {\ vec {\ text {grad} }} ({\ text {div}} {\ vec {A}}) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {A}} } {\ partial t ^ {2}}} + {\ vec {\ text {rot}}} \ {\ vec {B}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ vec { \ text {grad}}} ({\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}}) = {\ vec {\ text {rot}}} \ {\ vec {B}} + {\ frac {1 } {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi + {\ frac {\ partial {\ vec { A}}} {\ partial t}} \ right) = {\ vec {\ text {rot}}} \ {\ vec {B}} - \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac { \ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} = \ mu _ {0} \ left ({\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {H}} - {\ frac {\ partial {\ vec {D}}} {\ partial t}} \ right)}$

Proprietăți sub transformarea Lorentz

Orice vector cu patru componente nu definește neapărat un cvadrivector în fizica relativistă. Baza este principiul relativității combinat cu constanta vitezei luminii într-un vid, ceea ce duce la faptul că orice cvadrivector trebuie să se transforme în conformitate cu transformarea Lorentz (simbolizată de tensorul Lorentz ) prin schimbarea depozitului galilean. Astfel, la schimbarea depozitului, sau coordonatele sunt transformate prin transformarea Lorentz și cvadrivectorul rămâne neschimbat, sau coordonatele rămân neschimbate, dar atunci acesta este patru-vector care este transformat, ambele operații ducând la același rezultat . La fel, dacă este un quadrivector, atunci este încă un quadrivector, deoarece fizica rămâne neschimbată prin schimbarea cadrului de referință (independent de observator). Pentru exemple de calcule, consultați articolul Calcule relativiste . ${\ displaystyle {\ Lambda {} ^ {\ mu}} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle P ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = P ^ {\ mu} (\ Lambda _ {\ xi} ^ {\ nu} x ^ {\ xi}) = \ Lambda _ {\ xi} ^ {\ mu} P ^ {\ xi} (x ^ {\ nu})}$ ${\ displaystyle P ^ {\ xi} (x ^ {\ nu})}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {\ xi} ^ {\ mu} P ^ {\ xi} (x ^ {\ nu})}$

D'Alembertian este un operator diferențial , care are proprietatea de a fi neschimbate atunci când vom schimba cadrul de referință în teoria relativității speciale. În termeni mai matematici, este invariant prin transformarea Lorentz . Într-adevăr, prin definiție ,, deoarece gradientul cvadrivector respectă proprietatea de mai sus a unui cadrivector, prin schimbarea coordonatelor, este încă un gradivector gradient, dar cantitatea dă exact aceeași expresie a lui d'Alembertian. Datorită acestei proprietăți, arătăm, de asemenea, că ecuațiile lui Maxwell rămân invariante prin transformarea Lorentz. ${\ displaystyle \ square = \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} \ partial ^ {\ nu} \ partial ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ rho} \ partial ^ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} ({\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ rho} \ partial ^ {\ rho}) ({\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ sigma} \ partial ^ {\ sigma}) = (\ eta _ {\ mu \ nu} {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ rho} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ sigma}) \ partial ^ {\ rho} \ partial ^ {\ sigma} = \ eta _ {\ sigma \ rho} \ partial ^ {\ rho} \ partial ^ {\ sigma} = \ partial _ {\ sigma} \ partial ^ {\ sigma } = \ pătrat}$

Articole similare