Analiza spectrală

În fizică și în diverse tehnici, apar semnale, funcții ale timpului sau, mai excepțional, ale unei variabile spațiale. Analiza spectrală include descrierea mai multor tehnici a acestor semnale în domeniul de frecvență. Face posibilă în special obținerea caracteristicilor răspunsului unui sistem liniar prin utilizarea unei funcții de transfer . În matematică, analiza armonică este o parte a acestor tehnici.

Prezentare

Un fenomen fizic dependent de timp este descris de unul sau mai multe semnale. Nu le putem interpreta decât în mod excepțional într-un mod simplu. Problema este de a găsi o descriere a conținutului lor, relativ generală și adaptată problemelor concrete. Acestea apar adesea după cum urmează: un sistem transformă un semnal de intrare într-un semnal de ieșire, cum să se determine caracteristicile acestuia în funcție de cele ale semnalului de intrare și cele ale sistemului?

În cazul general, din păcate nu cunoaștem relația dintre valorile semnalului de ieșire și cele ale semnalului de intrare, ci doar relația dintre variațiile semnalului de ieșire și valorile (sau posibil variațiile) ale semnalul Intrării. În termeni matematici , sistemul este guvernat de o ecuație diferențială . Dacă este vreunul, problema este insolubilă.

Din fericire, există o clasă importantă de sisteme, sistemele liniare (sau presupuse a fi astfel) guvernate de principiul suprapunerii. În acest caz, corespunzător unei ecuații diferențiale liniare, este posibil să se încerce descompunerea semnalului de intrare într-o sumă de semnale simple la care este posibil să se facă semnale de ieșire la fel de simple, a căror sumă ar da rezultatul dorit.

Problema este simplificată și mai mult dacă caracteristicile sistemului rămân constante în timp. Avem de-a face cu o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți. Semnalele simple sunt sinusoide care suferă doar amplificare și schimbare de fază. Aceasta este problema analizei spectrale: descompunerea unui semnal complicat într-o sumă de sinusoide.

Aici apare o dificultate deoarece această descompunere necesită ca semnalul să fie definit într-un timp infinit. Cu toate acestea, poate fi cunoscut doar printr-o înregistrare cu durată limitată: este deci necesar să construim un model al semnalului făcând presupuneri, adesea evidente intuitiv, pe partea neînregistrată a fenomenului.

Diferite modele

Se poate presupune, de exemplu, că semnalul reproduce la nesfârșit conținutul înregistrării: se construiește apoi un model periodic bazat pe seria Fourier . Semnalul este descris de un spectru discret (set de frecvențe în progresie aritmetică).

Putem, de asemenea, să presupunem că nivelul semnalului este neglijabil în afara înregistrării: folosim în acest caz un model tranzitoriu bazat pe transformarea Fourier care duce în general la un spectru continuu.

Există o serie de fenomene naturale pentru care niciuna dintre aceste două ipoteze nu este realistă. De exemplu, o înregistrare a undelor, fără a prezenta periodicitate, nu arată nici o scădere netă pe durata relativ mică a acesteia: vorbim despre un semnal cu varianță finită (unii preferă să vorbească despre putere finită, dar nu este încă relevant din punct de vedere tehnic), ceea ce duce la noțiunea de densitate spectrală . Putem folosi apoi o presupunere ceva mai fuzzy că pătratul mediu rădăcină calculat pe înregistrare oferă o estimare rezonabilă a pătratului mediu rădăcină al semnalului. Acest tip de analiză duce încă la un spectru continuu. Este definit, ca și cele anterioare, pe baza semnalului, dar informații suplimentare pot fi obținute considerându-l pe acesta din urmă ca o realizare a unui proces aleatoriu .

Semnalele periodice

Spectrul periodic al amplitudinii semnalului.png

Dezvoltarea seriei Fourier a unei înregistrări de durată îi asociază sinusoide de amplitudini finite și frecvențe multiple ale frecvenței fundamentale . Vorbim despre un spectru de amplitudine care este un spectru de linii. În cazul general, rezultatul analizei poate fi exprimat fie în amplitudini și faze, fie în componente ale cosinusului și sinusului. $T$ ${\ frac {1} {T}}$

Suma sinusoidelor creează un semnal periodic. Dacă semnalul original este periodic, acesta este perfect reprezentat - cel puțin în principiu. În caz contrar, doar înregistrarea a fost afișată și trebuie să încercați să găsiți altceva.

Semnalele tranzitorii

Spectrul densității amplitudinii semnalului tranzitoriu.png

Aici, vom discuta în primul rând pe semnalul presupus de durată infinită înainte de a vedea consecințele pentru o înregistrare a duratei finite. Dacă acest semnal nu este periodic, nu are o perioadă finită, putem încerca să vedem ce s-ar întâmpla dacă i-am da o perioadă infinită. Aceasta are următoarele consecințe:

Când timpul de analiză tinde spre infinit, pasul de frecvență tinde spre 0: la limită, trecem de la un spectru discret la un spectru continuu. $T$ ${\ frac {1} {T}}$
În timpul acestei creșteri a perioadei de analiză, când acesta din urmă este înmulțit cu orice număr n, numărul componentelor este înmulțit cu același factor. Pentru ca nivelul semnalului să nu crească în aceleași proporții, amplitudinile componentelor trebuie împărțite aproximativ la n, ceea ce riscă să conducă la zero amplitudini la limită. Această dificultate este depășită înmulțind coeficienții Fourier cu lungimea analizei sau împărțindu-i la pasul de frecvență care tinde spre zero. Astfel, spectrul continuu nu mai este un spectru de amplitudine, ci un spectru de densitate de amplitudine a cărui unitate este unitate fizică / hertz.
În ciuda acestor precauții, metoda poate diferi. O condiție de convergență este că semnalul trebuie să fie tranzitoriu: trebuie să tindă spre 0 atunci când timpul tinde spre ± . $\ infty$

Astfel, obținem transformarea semnalului care este notată în general , f fiind frecvența. $x (t)$ $X (f)$

Dacă reveniți la o înregistrare limitată în timp, există două posibilități:

Semnalul este diferit de zero doar pentru un timp limitat: analiza din acest timp oferă, cel puțin în principiu, un rezultat exact care face posibilă reconstituirea semnalului prin inversarea transformării.
Semnalul are alte valori decât zero pentru o durată mai mare decât cea a înregistrării: imprecizia rezultatului crește odată cu cantitatea de informații pierdute. Eroarea astfel comisă se traduce concret printr-o dispersie a energiei corespunzătoare unei frecvențe pe frecvențele vecine și matematic prin conceptul de convoluție.

Semnalele de varianță finită

Problema este mai complicată decât în cazul anterior și poate fi abordată în diferite moduri. Cel pe care îl vom folosi nu este cu siguranță cel mai eficient din punct de vedere științific, dar are avantajul de a arăta câteva puncte esențiale fără a le ascunde în spatele unor considerații matematice, dacă nu chiar dificile, cel puțin destul de grele. Pentru a scăpa de problemele specifice asociate cu luarea în considerare a unei medii diferite de zero, se va presupune că semnalul a fost centrat în prealabil prin scăderea mediei sale.

Având un semnal , numim funcția de autocovarianță - adesea asimilată greșit cu autocorelația - a cărei funcție dă media produselor valorilor de la două instanțe care diferă de : $x (t)$ $\ tau$ $x (t)$ $\ tau$

R_ {x} (\ tau) = \ overline {x (t) x (t + \ tau)}

La calcularea acestei medii, t variază de la până la . Dacă semnalul este tranzitoriu, funcția este zero; dacă este periodic, este el însuși periodic. Plasându-se în cazul unui semnal care evident nu aparține nici uneia dintre cele două categorii, funcția are următoarele proprietăți: $- \ infty$ $+ \ infty$

Schimbarea en nu face nicio modificare: funcția este uniformă. $\ tau$ ${\ displaystyle - \ tau}$
La origine, reprezintă varianța care este neapărat pozitivă. ${\ displaystyle R_ {x} (0)}$
Simetria impune ca acesta să fie un extremum. De fapt, este vorba despre un maxim: dacă în calcul se înlocuiește schimbarea 0 cu o schimbare mică , la fiecare trecere a nivelului 0, se înlocuiește un produs mic pozitiv cu un produs negativ mic. $\ tau$
Cu excepția semnalului periodic, două puncte separate printr-un offset mare au puțin în comun: funcția tinde la 0 atunci când acest offset tinde spre infinit. $\ tau$
Una peste alta, funcția are adesea o formă sinusoidală vagă, amortizată.
Vrem, dacă este posibil, să asimilăm semnalul la o sumă de sinusoide. Să presupunem că acesta este cazul. Indiferent dacă amplitudinile sunt finite sau infinit de mici, putem scrie această sumă sub forma:

x (t) = \ sum _ {n} a_ {n} \ cos (\ omega _ {n} t + \ varphi _ {n})

În aceste condiții arătăm că

R_ {x} (\ tau) = \ sum _ {n} {a_ {n} ^ {2} \ over 2} \ cos {\ omega _ {n} \ tau}

Asa de

Funcția de autocovarianță conține aceleași frecvențe ca și semnalul.
Amplitudinile nu sunt identice, dar se obțin prin pătrare și împărțire la 2.
Fazele au dispărut complet: autocovarianța corespunde nu numai semnalului original, ci și tuturor celor care conțin aceleași componente.

Densitatea spectrală

Putem deduce din cele de mai sus:

Funcția de autocovarianță are o transformată Fourier pe care o numim densitate spectrală și pe care o denotăm în general , f fiind frecvența. ${\ displaystyle S_ {x} (f)}$
Deoarece componentele autocovarianței sunt omogene cu pătratele de amplitudine, densitatea spectrală este non-negativă. Are o dimensiune (unitate fizică) 2 / Hertz.
Deoarece autocovarianța este o funcție reală și uniformă, transformata lui Fourier are aceleași caracteristici.
O înregistrare care trunchiază întotdeauna semnalul presupus a fi menținut pentru o perioadă infinită, densitatea spectrală este neapărat distorsionată de convoluție.

Relația cu procesele aleatorii

În plus față de distorsiunea conținutului de frecvență deja observat pentru semnalele tranzitorii, există o incertitudine statistică legată de poziția înregistrării pe semnal.

Funcția de autocovarianță corespunde unei întregi familii de semnale care conțin aceleași componente. Această familie poate fi interpretată ca cea a realizărilor unui proces continuu . O înregistrare limitată în timp poate fi văzută și ca o realizare a unui alt proces. Acest lucru face posibilă specificarea cu intervale de încredere a valorii statistice a analizei efectuate.

Vezi și tu

Bibliografie

(ro) YK Lin , Teoria probabilistică a dinamicii structurale , New York, Robert E. Krieger Publishing Company,Iulie 1976, 368 p. ( ISBN 0-88275-377-0 )

Articole similare