De Śulba Sutra sunt anexe ale Vedelor care descriu regulile pentru a face altare de sacrificiu pentru anumite vedice ritualuri . În acest scop, ele prezintă numeroase construcții geometrice care dezvăluie cunoștințe matematice elaborate, în special cea a ceea ce astăzi numim teorema lui Pitagora .
Śulba-Sūtras fac parte din Kalpa-Sūtras, manuale dedicate practicilor rituale vedice care formează unul dintre cele șase Vedangas (apendicele Veda) și, mai precis, din Śrauta-Sūtras, cele din acele manuale care se ocupă de rituri de sacrificiu.
Śulba-Sūtras sunt scrise în sanscrită . Sunt scrise pe scurt și greu de interpretat fraze numite sutre , care înseamnă literalmente „regulă” sau „instrucțiune”. Aceste sutre sunt de obicei în proză, dar ocazional pot fi în versuri.
Titlul Śulba-Sūtras provine de la cuvântul sūtra și numele śulba dat șirurilor folosite pentru a face altare. Înseamnă etimologic „reguli ale frânghiei”.
Istoricii identifică 8 sau 9 Śulba-Sūtras, atribuite următorilor autori: Baudhāyana, Mānava, Āpastamba, Kātyāyana, Laugāksi, Varāha, Vādhūla, Hiranyakeśin (și Maitrāyayana). Primele patru formează tratate în sine, în timp ce celelalte sunt capitole din Śrauta-sūtras corespunzătoare.
Estimările datării Śulba-Sūtra sunt incerte și se bazează exclusiv pe argumente lingvistice (stil și gramatică). Acestea ar fi fost compuse între 800 și 200 î.Hr. Cea mai veche ar putea data de la 800 la 500 î.Hr., în timp ce ultima ar fi după 350 î.Hr.
Śulba-sūtras sunt destinate utilizării de către familiile brahmanilor responsabili de la tată la fiu pentru principalele rituri de sacrificiu vedice. Acestea detaliază construcția din cărămidă a altarelor și vetrelor pentru rituri obligatorii și rituri efectuate în scopuri specifice.
Cu toate acestea, nu este clar cum au fost realizate în practică construcțiile descrise în Śulba-Sūtras.
Diferitele rituri vedice descrise în Śulba-Sūtras și diferitele obiective care trebuie atinse de aceste rituri sunt asociate cu altare de diferite forme (de exemplu un altar în formă de șoim pentru a ajunge la cer sau un altar în formă de triunghi isoscel pentru a anihila inamicii). Formele acestor altare trebuie realizate foarte precis și numai folosind frânghii și mize, ceea ce necesită cunoștințe geometrice pentru a le construi.
De asemenea, este foarte obișnuit să se construiască altare de diferite forme, dar care au aceeași zonă, fapt pe care istoricii îl propun să explice fie spunând că altarele echivalente trebuie să fie din aceeași zonă, fie spunând că aceeași cantitate de energie sacră a fost văzut ca fiind capabil de a fi întruchipat în moduri diferite. Această cerință necesită tehnici de transformare a figurilor geometrice care conservă zona.
Śulba-Sūtras includ, în descrierile realizării altarelor, multe reguli pentru construirea figurilor geometrice. Următoarele paragrafe prezintă unele dintre ele.
Desenarea unei linii est-vestDeoarece toate altarele trebuie orientate cu precizie, prima construcție care trebuie realizată este cea a unei linii est-vest. Această construcție nu este descrisă în prima Śulba-Sūtras, ci este descrisă în cea a lui Kātyāyana. Se face după cum urmează:
Din linia est-vest se poate trage o linie nord-sud. Această construcție, care corespunde în termeni matematici moderni cu desenarea bisectoarei perpendiculare a unui segment, este descrisă în Śulba-Sutra lui Kātyāyana după cum urmează:
Śulba-Sūtras descriu, de asemenea, metodele de desenare a unui unghi drept. Unul dintre ei este:
Această metodă se bazează pe inversul așa-numitei teoreme pitagorice și implică tripletul pitagoric (5,12,13). Se folosesc metode similare, dar cu alți coeficienți.
Construirea unui pătratMai multe metode de construire a unui pătrat folosind frânghii și mize sunt descrise în rulba-Sūtras. Pe lângă cele bazate pe construcția unghiurilor drepte, putem cita:
Transformările figurii sunt deosebit de importante în Śulba-Sūtras. Următoarele paragrafe prezintă câteva exemple.
Suma și diferența a două pătrateO primă transformare descrisă în Śulba-Sūtras constă în construirea unui pătrat de suprafață egal cu suma ariilor altor două pătrate. Metoda dată pentru aceasta este:
O a doua transformare constă în construirea unui pătrat de suprafață egal cu diferența dintre ariile altor două pătrate. Metoda este de data aceasta:
Aceste două reguli se bazează pe așa-numita teoremă a lui Pitagora.
Transformarea unui dreptunghi într-un pătratO altă transformare descrisă în Śulba-Sūtras este transformarea unui dreptunghi într-un pătrat din aceeași zonă. Iată metoda propusă:
O altă transformare necesară construcției de altare este transformarea unui pătrat într-un cerc din aceeași zonă (circulație pătrată). Deoarece acest lucru nu se poate face exact cu frânghii și mize, Śulba-sūtras conțin o regulă pentru realizarea acestei construcții într-un mod aproximativ:
Transformarea inversă, cea a unui cerc într-un pătrat din aceeași zonă (pătratul cercului ), dă naștere, de asemenea, la o construcție aproximativă, deși pare să nu aibă aplicații sacre:
Această regulă are variante, bazate pe același principiu, dar cu coeficienți diferiți.
Alte transformăriŚulba-Sūtras descriu, de asemenea, următoarele transformări: transformarea unui pătrat într-un dreptunghi, transformarea unui dreptunghi sau pătrat într-un trapez și invers, transformarea unui pătrat într-un triunghi isoscel și invers, transformarea unui romb într-un dreptunghi, combinarea mai multor pătrate de aceeași dimensiune într-un pătrat și împărțiți un pătrat în mai multe pătrate de aceeași dimensiune.
În construcțiile descrise de Śulba-Sūtras intervin multe proprietăți matematice. Unele, precum așa-numita teoremă a lui Pitagora, sunt enunțate în mod explicit, dar cele mai multe nu sunt și se arată doar implicit.
„Teorema lui Pitagore”Ceea ce astăzi numim teorema lui Pitagora și istoricii numesc mai ușor pătratul teoremei diagonale în acest context, este formulat în mod explicit în Śūlba-Sūtras după cum urmează:
„ Diagonala pătratului este de două ori suprafața. »(Śulba-Sūtras din Baudhāyana - 1.9)
„ Zonele produse respectiv de lungimea și lățimea unui dreptunghi împreună dau aria produsă de diagonală. »(Śūlba-Sūtras din Baudhāyana - 1.12)
Rețineți că, spre deosebire de ceea ce suntem obișnuiți, acest rezultat nu este declarat pentru triunghiurile dreptunghiulare, ci pentru pătratele și dreptunghiurile. Se folosește de exemplu în construcția unui pătrat egal cu suma sau diferența a două pătrate.
Conversa acestei teoreme nu este formulată în mod explicit, ci este utilizată și în special în construcțiile unghiurilor drepte.
Calcule de suprafațăŚulba-sūtras mărturisesc cunoașterea unui anumit număr de relații între zone și lungimi. Acestea conțin în special determinări ale ariilor pătrate, trapezoide isoscele, triunghiuri isoscele, triunghiuri dreptunghiulare și romburi.
Proprietățile spațiale ale figurilor planeMulte proprietăți ale figurilor plane utilizate implicit se găsesc și în Śulba-Sūtras. Unele construcții folosesc faptul că un cerc este locusul punctelor la aceeași distanță de un punct dat sau că bisectoarea perpendiculară a unei linii este locusul punctelor la aceeași distanță de cele două capete ale sale. Cunoașterea multor relații dintre laturi și diagonale strălucește, de exemplu, dacă diagonalele unui dreptunghi se intersectează în punctul lor mediu și îl împart în patru părți egale sau diagonalele unui romb se intersectează în punctul lor mediu.
Proprietățile unor figuri similareŚulba-Sūtras aplică două proprietăți importante ale figurilor similare, și anume că laturile și liniile corespunzătoare din figurile similare sunt proporționale și că ariile figurilor similare sunt în același raport cu pătratele laturilor lor.
Unele reguli pentru transformarea figurilor implică ceea ce astăzi am numi aproximări ale numerelor iraționale , de exemplu:
Śulba-Sūtras mărturisesc în continuare conștientizarea faptului că unele dintre aceste aproximări sunt mai precise decât altele. Nu există nicio indicație despre cum au fost obținute aceste aproximări, nici în Śulba-Sūtras, nici în textele din jurul lor.
Aproximarea 13/15 pentru raportul dintre latura pătratului și diametrul unui cerc din aceeași zonă nu este foarte bună, eroarea este mai mare de 4%, dar se pare că a fost folosită cel mai mult, l Cealaltă aproximarea este mai precisă, dar cu o eroare încă de 1,7% și, curios, primii doi termeni ai sumei ar da o aproximare mai bună.
Aproximarea pentru diagonala pătratului este mult mai bună: avem de fapt √ 2 ≈ 1.4142136 până la 10 −7 . Dar nimic din Śulba-Sūtras nu indică faptul că este în joc urmărirea preciziei și este singura găsită acolo de acest nivel de precizie. Aproximarea 1 + 5/12 este, de asemenea, utilizată acolo.
Pe singurele mărturii ale acestei apropieri, precum și de faptul că cel puțin în Kātyāyana lui Śulba-Sutra la el este specificat că nu este exactă, anumiți istorici ai științei , în special , la sfârșitul al 19 - lea secol și la început XX - lea lea au ajuns la concluzia că iraționalitatea de rădăcina pătrată a doua a fost cunoscut autorilor Sulba sutra, dar acest lucru pare greu de apărat astăzi.
Mulți istorici au încercat să sugereze originea regulilor prezentate în Śulba-Sūtras. Această secțiune menționează câteva, dar niciuna nu este confirmată în mod explicit de texte.
În primul rând, se pot observa similitudini între Śulba-Sūtras și Elementele lui Euclid : așa-numita teoremă pitagorică care este enunțată în Śulba-Sūtras face obiectul Propoziției I.47 a Elementelor , problema Construcția cifrele egale în zone se află în centrul acestor două tratate, iar construcția de figuri geometrice cu o frânghie și un miză în Śulba-Sūtras poate fi comparată cu construcțiile cu o riglă și o busolă în Elemente .
Cu toate acestea, se pare că anumite proprietăți geometrice , cum ar fi teorema lui Pitagora spune, erau deja cunoscute la momentul scrierii vedice texte mai vechi pe care - Sutra , a Brahmana și sahmitas , chiar dacă acestea nu sunt explicite. Întrucât aceste texte sunt anterioare primelor texte matematice grecești, acest lucru ar exclude faptul că geometria Śulba-Sūtras își are originea în aceste texte grecești. Originea greacă a fost, de asemenea, respinsă dintr-un motiv diferit: Elementele este un tratat abstract îndepărtat în stil și metodă de tradiția Śulba-Sūtras și ar fi fost dificil pentru autorii acestora din urmă să atragă informații.
Istoricii au considerat, de asemenea, că unele cunoștințe matematice despre Śulba-Sūtras ar fi putut proveni din Mesopotamia , deoarece așa-numita teoremă pitagorică este atestată în textele matematice paleo-babiloniene datând de la începutul mileniului al II-lea î.Hr. Această ipoteză a fost respinsă, dar lucrările ulterioare par să invalideze argumentul folosit pentru aceasta. Prin urmare, întrebarea pare să rămână deschisă.
În cele din urmă, o ultimă ipoteză propusă este că arienii , care ar fi invadat India în jurul anului 1500 î.Hr., au importat aceste ritualuri geometrice din Orientul Apropiat. Cunoașterea sumeriană ar putea fi atunci sursa comună a Śulba-Sūtras, a matematicii paleo-babiloniene și a pitagoreicilor, dar acest lucru este departe de a fi adevărat.
Niciun text matematic în sanscrită care a ajuns la noi nu permite ca Śulba-Sūtras să fie direct legată de lucrările ulterioare, compuse de la mijlocul primului mileniu d.Hr. Cu toate acestea, găsim uneori asemănări între matematica acestor două perioade, cum ar fi utilizarea abundentă a așa-numitei teoreme pitagorice sau utilizarea acelorși termeni geometrici. În plus, tratatele arhitecturale din epocile ulterioare folosesc metode foarte asemănătoare cu cele descrise în Śulba-Sūtras.