Ecuația funcțională Cauchy

Cauchy Ecuația funcțională este una dintre cele mai simple ecuațiile funcționale . Este următoarea ecuație, cu factor $f$ necunoscut : ℝ → ℝ:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {R} \ quad f (x + y) = f (x) + f (y).}

Cu alte cuvinte, soluțiile acestei ecuații sunt exact endomorphisms ale grupului (ℝ, +).

Arătăm cu ușurință că orice soluție $f$ este chiar ℚ - liniară , adică verifică în plus:

{\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {Q} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (rv) = rf (v).}

Dar există o infinitate de soluții neliniare ℝ. Astfel încât o soluție este ℝ-liniară, deci este o dilatare a liniei vectoriale reale, este suficient ca aceasta să fie continuă într-un punct sau monotonă pe un interval de lungime diferită de zero. Pentru aceasta, este suficient pentru a fi crescută sau redusă într - un interval de lungime nenula, sau chiar numai peste un set Lebesgue-măsurabilă a nenulă măsură Lebesgue .

Dovada linear-liniarității

Să $f să fie$ o soluție.

Apoi, $f$ este un endomorphism de grup abelian adică de ℤ - modul , prin urmare ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (nv) = nf (v).}$
Deducem că $f$ este ℚ-liniar, adică verifică (pe lângă aditivitate): ${\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {Q} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (rv) = rf (v).}$ Într-adevăr, orice $r$ rațional are forma $p ⁄ q$ cu $p$ și $q$ numere întregi și $q$ nu zero, ceea ce face posibilă scrierea: $qf ( rv ) = f ( qrv ) = f ( pv ) = pf ( v )$ , deci $f ( rv ) = p / q f ( v ) = rf ( v )$ .

Condiții de liniaritate suficientă

O soluție $f$ este ℝ-liniară dacă satisface: ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (xv) = xf (v).}$ Soluțiile ℝ-liniare sunt deci omotetea, adică hărțile formei $x \mapsto ax$ (cu, în mod necesar, $a = f (1)$ ).
Orice soluție f care nu este de această formă este departe de a fi monotonă, deoarece este patologică în mai multe moduri:
- graficul său este dens (în ℝ 2 ), astfel încât, pe orice interval deschis, gol, $f$ nu este delimitat (sau delimitat); a fortiori , $f$ este discontinuu în toate punctele;
- tot Borelul de imagine (de $f$ ) non-dens (în special: orice Borel în care $f$ este crescut sau scăzut) este neglijabil ; rezultă că $| f |$ nu este crescut de nicio funcție măsurabilă ; a fortiori , $f$ nu se poate măsura;
- dacă $f$ nu este injectiv, atunci nucleul său este dens, prin urmare, $f$ este „ puternic Darboux ”, adică imaginea oricărui interval care conține cel puțin două puncte este ℝ.
Prin contrapunere , orice soluție „suficient de regulată”, adică neavând una dintre aceste patologii, este o omotitate. De exemplu, dacă o soluție este îmbunătățită pe un borelian care nu este neglijabil (în special dacă este continuă la un punct), sau chiar numai dacă graficul său nu este dens, atunci este o omotitate.

Demonstrații

Să $f să fie$ o soluție care nu este o dilatare. Există două reale nenule $u$ și $v$ astfel încât $f ( u ) ⁄ u \neq f ( v ) ⁄ v$ , deci astfel încât cei doi vectori $U = ( u , f ( u ))$ și $V = ( v , f ( v ))$ nu sunt coliniare . Graficul $f$ este atât de dens în ℝ 2 deoarece (prin ℚ-linearitate $f$ ) conțin $ℚ U \oplusℚ V$ .
Să $f fie$ o soluție îmbunătățită prin $M$ peste un non-neglijabil Borelian $A.$ Apoi, este delimitat de $2 M$ peste $A + A$ , care, conform unei generalizări a teoremei lui Steinhaus , este intern gol. Prin urmare, graficul lui $f$ nu este dens, astfel încât, conform punctului anterior, $f$ este o omotitate.

Existența soluțiilor neliniare

Soluțiile sunt exact hărțile ℚ-liniare ale lui ℝ în ℝ. Având în vedere o bază a lui Hamel B a space- spațiu vectorial ℝ (bază a cărei existență se bazează pe axioma de alegere ), aplicația că orice funcție din ℝ ℝ combină restricția sa la B este o bijecție a „setului de soluții din setul de hărți de la B la ℝ.

Importanța ecuației

Multe ecuații funcționale sunt legate de cea a lui Cauchy. De exemplu, permiteți ecuația, necunoscută $g$ : ℝ → ℝ:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {R} \ quad g (x + y) = g (x) g (y).}

Funcția nulă este o soluție evidentă. Toate celelalte sunt strict pozitive și verifică:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {R} \ quad \ ln (g (x + y)) = \ ln (g (x) g (y)) = \ ln (g (x)) + \ ln (g (y)).}

Acestea sunt, prin urmare, funcțiile $g = e f$ astfel încât $f$ îndeplinește ecuația funcțională Cauchy, iar cele care sunt continue sunt funcțiile exponențiale .

Note și referințe

(en) J. Aczél (de) și J. Dhombres , Ecuații funcționale în mai multe variabile , CUP , col. "Enciclopedia matematicii și aplicațiile sale" ( nr . 31),1989, 462 p. ( ISBN 978-0-521-35276-5 , citit online ) , p. 17.
Aczél și Dhombres 1989 , p. 14.
(ro) Sune Kristian Jakobsen, „ Ecuația funcțională a lui Cauchy ” ,21 decembrie 2010.
Dany-Jack Mercier , Lecturi despre matematică, predare și competiții , vol. 2, Publibook ,2010( citiți online ) , p. 46-47.