Ecuația geodezică

Într-o varietate Riemanniană , obținem ecuația unei geodezice exprimând că lungimea sa este minimă - prin definiție.

Un sistem de coordonate dat de tensorul metric indică lungimea unei curbe infinitesimale: $x ^ {i}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} s = {\ sqrt {\ pm g_ {ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}}}

Semnul opțional este ales în funcție de semnul intervalului și semnătura tensorului metric. $\ pm$

Dacă curba este parametrizată prin intermediul unei variabile , scriem $\ tau$

{\ displaystyle {\ dot {s}} = {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ sqrt {\ pm g_ {ij} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}}}

unde punctul superior reprezintă derivata totală față de . Prin urmare, lungimea căii este egală cu integrala: $\ tau$

{\ displaystyle \ int {\ sqrt {\ pm g_ {ij} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}} \ mathrm {d} \ tau}

Folosind metoda Lagrange referitoare la calculul variațiilor pentru a exprima că integralul este minim, se obține ecuația geodezică

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ dot {s}}} {\ partial x ^ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ left ({\ frac {\ partial {\ dot {s}}} {\ partial {\ dot {x}} ^ {k}}} \ right) = 0}$

Parametrizarea canonică a traiectoriilor face posibilă obținerea unei ecuații care implică simbolurile Christoffel : ${\ displaystyle \ tau = s}$

{\ displaystyle {\ ddot {x}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = 0}

Demonstrație

Explicând în ecuația geodezică anterioară: ${\ dot {s}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ dot {s}}} {\ partial x ^ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ left ({\ frac {\ partial {\ dot {s}}} {\ partial {\ dot {x}} ^ {k}}} \ right) = 0}

se are, notând derivata parțială a tensorului metric în comparație cu coordonata k -a: ${\ displaystyle g_ {ij, k} = \ partial _ {k} g_ {ij}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 {\ dot {s}}}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} - { \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ left ({\ frac {1} {\ dot {s}}} g_ {ki} {\ dot {x}} ^ {i } \ dreapta) = 0}

Să parametrizăm traiectoria după lungimea sa , adică let . Cu această alegere, avem și ecuația geodezică devine $s$ ${\ displaystyle \ tau = s}$ ${\ displaystyle {\ dot {s}} = 1}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} - {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} s}} \ left (g_ {ki} {\ dot {x}} ^ {i} \ right) = 0}

Deoarece tensorul metric depinde, dar nu în mod explicit de , avem și ecuația geodezică ia forma $x ^ {i}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} g_ {ki}} {\ mathrm {d} s}} = g_ {ki, j} {\ tfrac {\ mathrm {d} x ^ {j}} {\ mathrm {d} s}} = g_ {ki, j} {\ dot {x}} ^ {j}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki, j} {\ punct {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki} {\ ddot {x}} ^ {i} = 0}

sau din nou, utilizând faptul că indicii i și j joacă roluri simetrice și, prin urmare, că : ${\ displaystyle g_ {ki, j} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = g_ {kj, i} {\ dot {x}} ^ {i} { \ dot {x}} ^ {j}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (g_ {ij, k} -g_ {ki, j} -g_ {kj, i} \ right) {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki} {\ ddot {x}} ^ {i} = 0}

Cu toate acestea, nulitatea derivatei covariante a tensorului metric face posibilă afirmarea că:

{\ displaystyle g_ {ij, k} = \ Gamma _ {ik} ^ {l} g_ {lj} + \ Gamma _ {jk} ^ {l} g_ {il}}

{\ displaystyle g_ {ki, j} = \ Gamma _ {kj} ^ {l} g_ {li} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

{\ displaystyle g_ {kj, i} = \ Gamma _ {ki} ^ {l} g_ {lj} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

prin urmare, folosind simetria tensorului metric și a simbolurilor Christoffel:

{\ displaystyle g_ {ij, k} -g_ {ki, j} -g_ {kj, i} = - 2 \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

Așadar :

{\ displaystyle - \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = g_ {ki} {\ ddot {x }} ^ {i} = g_ {kl} {\ ddot {x}} ^ {l}}

prin redenumirea indexului i la l în ultima egalitate. Apoi este suficient să se aplice inversul tensorului g pentru a concluziona că:

{\ displaystyle {\ ddot {x}} ^ {l} = - \ Gamma _ {ij} ^ {l} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}

Exemplu

Luați în considerare semiplanul Poincaré , ale cărui puncte sunt identificate printr-o pereche ( x , y ), cu y > 0. Metrica acestui semiplan este dată în punctul ( x , y ) de:

{\ displaystyle g (x, y) = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}}}

Calculul simbolurilor Christoffel de la acest tensor dă:

{\ displaystyle \ Gamma _ {xx} ^ {y} = - \ Gamma _ {xy} ^ {x} = - \ Gamma _ {yx} ^ {x} = - \ Gamma _ {yy} ^ {y} = {\ frac {1} {y}}}

Ecuația geodeziei dă, notând și : ${\ displaystyle v_ {x} = {\ dot {x}}}$ ${\ displaystyle v_ {y} = {\ dot {y}}}$

{\ displaystyle {\ dot {v}} _ {x} - {\ frac {2} {y}} v_ {x} v_ {y} = 0}

{\ displaystyle {\ dot {v}} _ {y} + {\ frac {1} {y}} (v_ {x} ^ {2} -v_ {y} ^ {2}) = 0}

la care putem adăuga ecuația care a fost utilizată ca presupunere pentru a stabili ecuația geodeziei, care oferă aici: ${\ displaystyle g (v_ {x}, v_ {y}) = 1}$

{\ displaystyle {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}} {y ^ {2}}} = 1}

Dacă înlocuim cu în prima ecuație, obținem ale cărei soluții sunt de formă pentru o anumită constantă . Relația dă apoi . $v_ {y}$ ${\ displaystyle {\ dot {y}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dv_ {x}} {dy}} - {\ frac {2} {y}} v_ {x} = 0}$ ${\ displaystyle v_ {x} = \ alpha y ^ {2} = {\ dot {x}}}$ $\alfa$ ${\ displaystyle {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}} {y ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle v_ {y} = \ pm y {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2} y ^ {2}}} = {\ dot {y}}}$

Dacă este zero, se obține respectiv x constantă și (alegând în mod adecvat originea timpilor). Geodezica este o linie paralelă cu O y , traversată exponențial. Ne apropiem de margine y = 0 la nesfârșit sau ne îndepărtăm la nesfârșit făcând t tinde spre infinit. $\alfa$ ${\ displaystyle y = e ^ {\ pm t}}$

Dacă este diferită de zero, integrarea ecuației duce la (prin alegerea adecvată a originii timpurilor). Apoi, integrarea ecuației duce la (până la traducerea paralelă cu O x ). Se poate observa că și geodezicele sunt semicercuri cu diametrul purtat de O x . Când t tinde spre infinit, se apropie la infinit marginea O y care constituie o limită a semiplanului Poincaré situat la infinit. $\alfa$ ${\ displaystyle {\ dot {y}} = \ pm y {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2} y ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {1} {\ alpha \ cosh (t)}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} = \ alpha y ^ {2}}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ tanh (t)} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {1} {\ alpha ^ {2}}}}$

Vezi și tu

Note și referințe

Folosim convenția de însumare a lui Einstein , permițând ca simbolurile însumării să fie ușurate.