Brusc

Brusc Coacăze negre sau viteze , generând o smucitură verticală. Date esentiale

Unități SI	metru pe secundă cubă
Dimensiune	L · T -3 $\,$
Baza SI	m ⋅ s −3
Natură	Dimensiune Vector intensiv
Simbol obișnuit	j sau J ( engleză : jerk , jolt )
Link către alte dimensiuni	${\ vec j}$ = ${\ displaystyle {\ partial \ over \ partial t}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}}}$

În mecanica , o zdruncinătură sau nemernic este o schimbare bruscă a vectorului accelerație , fără noțiunea de șoc , ca un dirijor da un impuls, o frână bruscă sau derapaj.

Semne care indică, în Franța, situații care generează zguduiri pe drum
Succesiunea de viraje , dintre care prima este la dreapta, generând o smucitură laterală.
Succesiunea virajelor , dintre care prima este la stânga, generând o smucitură laterală.
Semn de avertizare cu privire la prezența unui întârziat (la 50 m distanță) care generează o smucitură verticală.
Semn care indică prezența unui întârziat care generează o smucitură verticală.

În fizică , vectorul jerk , mai frecvent numit jerk (pron. / Dʒɜːk /, "dj eu k") în Statele Unite sau jolt în Marea Britanie, este derivatul vectorului de accelerație în raport cu timpul (sau a treia derivată în ceea ce privește timpul vectorului de poziție ).

Jerk este, prin urmare, un vector definit de trei funcții temporale - de obicei cele trei componente ale acestuia de-a lungul axelor x , y și z în coordonatele carteziene - și nu există un termen standard care să desemneze modulul său, care este, de asemenea, numit shot.

Etimologic, termenii smucitură și scuturare înseamnă „smucitură”.

Iancheu ( ascuțit lovitură) este produsul unei mase de o lovitură ( m ⋅ j ), sau într - un mod echivalent , în cazul unei mase constante, derivata unei forță în raport cu timpul.

Există cantități care descriu sistemul și fac posibilă conectarea unei forțe ( forță sau cuplu ) la diferite mărimi cinematice, de exemplu:

rigiditatea k r unui arc face posibilă conexarea poziția x la forța F ( legea de arcuri , F = k r · x );
coeficientul de frecare a fluidului k f face posibilă relaționarea vitezei v cu forța F ( F = k f · v );
masa m face posibilă conexarea accelerația A la forța F ( principiul fundamental al dinamicii , F = m · a );

pe de altă parte, nu există o cantitate fizică care să permită legarea unei forțe de o smucitură.

Unitatea de tresăririi este metru cub pe secundă (m⋅s -3 ). Simbolul folosit pentru smucitură nu este standardizat, deși în mod obișnuit se utilizează notațiile j sau J (pentru smucitură sau scuturare ) .

{\ vec \ jmath} = {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec a}} {{\ mathrm {d}} t}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2 } {\ vec v}} {{\ mathrm {d}} t ^ {2}}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {3} {\ vec r}} {{\ mathrm {d }} t ^ {3}}}

{\ vec a}

este accelerarea ,

{\ vec v}

este viteza ,

\ vec r

este poziția ,

t

este timpul .

Importanța în mecanisme

Pentru a crea o accelerație, trebuie să depuneți un efort, conform principiului fundamental al dinamicii . Din aplicarea acestei forțe și noțiunea de inerție rezultă o deformare elastică . Dacă accelerația se schimbă rapid, atunci și tulpina se schimbă rapid; acest lucru provoacă oscilații în sistem, deci vibrații.

Exemple

Mai concret, să luăm exemplul unui mobil de masă m împins de un cric pe un plan orizontal. Mișcarea se face fără frecare, masa tijei cilindrului este neglijabilă. Ne plasăm într-o fază de accelerare uniformă, a este deci constantă. Dacă izolăm mobilul (în partea de sus din figura opusă), vedem că trebuie împins cu o forță

F = ma .

Dacă izolăm pistonul, vedem că acesta suferă forța fluidului (ulei sau aer în funcție de tipul cilindrului), fiind F și acțiunea mobilului, -F. Tija este, prin urmare, în compresie elastică, suferă o deformare care este proporțională cu accelerația.

Dacă accelerația se schimbă încet (valoarea de smucitură este mică), atunci lungimea tijei variază treptat. Dar dacă accelerația variază rapid, schimbarea lungimii se propagă sub forma unei unde de compresie . Piesele sunt adaptate noilor solicitări sub formă de oscilații amortizate . Creează sacadări, vibrații.

Să ne așezăm acum pe partea solidului împins de cric. Să luăm un solid format (a se vedea figura opusă):

a unui bloc paralelepipedic notat 1, de masă m 1 ;
a unei sfere notate 2, de masă m 2 ;
sfera fiind conectată la bloc de o tijă cu masă neglijabilă.

Pentru a accelera acest sistem în raport cu solul, este necesar să se asigure o forță F egală cu

F = ( m 1 + m 2 ) a .

Apoi, sistemul se deformează elastic. Acest lucru este ușor de înțeles plasându-se în cadrul de referință legat de sistem {1; 2} (cifre din dreapta):

partea 1 suferă o forță de inerție F i1 opusă lui F, deci este în compresie;
partea 2 este supusă unei forțe de inerție F i2 opusă lui F, tija este așadar îndoită .

Dacă accelerația variază lent - prin urmare, dacă valoarea jerk este mică - atunci partea 1 se va deforma încet, iar îndoirea tijei care leagă 2 la 1 va evolua lent. Dar dacă accelerația variază brusc - deci dacă jerk este important - atunci compresia bruscă sau relaxarea blocului 1 se vor propaga sub forma unei unde de compresie, iar tija între 2 și 1 va suferi un impuls.

Concluzie

O valoare mare de scutură înseamnă că accelerația se schimbă brusc, deci forța se schimbă brusc. Atunci nu se mai poate considera că deformarea sistemului este omogenă. Deci, există vibrații care se propagă în sistem. Aceste vibrații pot crea degradări, precum și zgomot.

Atunci când se proiectează cinematica unei mașini, de exemplu atunci când se programează un PLC sau când se trasează profilul unei came , este, prin urmare, necesar să se depună eforturi pentru a limita jerk.

Un vârf ciudat poate apărea și atunci când o piesă se deplasează de la o mașină la alta. În exemplul opus, obiectul manipulat este o bară cilindrică prevăzută cu un gât. Când obiectul se află pe o roată, acesta suferă o accelerație centripetă. La trecerea la a doua roată, accelerația centripetă schimbă direcția „instantaneu” sau, dintr-un alt punct de vedere, forța centrifugă schimbă brusc direcția. Prin urmare, obiectul va începe să se legene.

Domenii de aplicare

Jerk este utilizat în mod regulat în domenii precum ingineria , mai ales în sectoarele feroviare (confortul în trenuri, limitarea brutalității accelerației și frânării metrourilor etc.) și în timpul proiectării monturilor montane și montane montane . Este ușor de observat în mașină dacă șoferul nu reduce presiunea asupra frânelor la sfârșitul frânării grele.

Obiectele fragile sau de precizie nu trebuie doar să fie supuse unui nivel maxim de accelerație, ci și unui nivel maxim de smucitură; același lucru este valabil și pentru ființele umane (și, în general, pentru vertebrate ) care au nevoie de timp pentru a simți constrângerile și, în schimb, pentru a-și adapta tensiunea musculară pentru a le rezista, pentru a nu suferi biciuire . Jerk poate fi, de asemenea, considerat ca un criteriu important atunci când fenomenele rezonanțelor vibratorii sunt o problemă care trebuie luată în considerare.

Când un parașutist este în cădere liberă la viteza maximă (la aproximativ 70 m / s ) și își deschide parașuta sub forma unei aripi; în timpul procesului de deschidere a parașutei , acesta va experimenta un smucit aproape constant.

Cazul modelului solid nedeformabil

Dacă se folosește modelul solidului nedeformabil pentru a descrie comportamentul unui sistem, atunci se va vorbi de smucitură în sens literal atunci când se are o discontinuitate de accelerație. Dacă reprezentăm grafic componentele vectorului de accelerație ( a x , a y , a z ) în funcție de timp, reprezentările vor prezenta o plimbare . Derivații, care sunt componentele vectorului jerk, vor lua deci o valoare „infinită”, o diracție .

O smucitură în sensul literal corespunde deci unei valori nesfârșite cu modelul solidului nedeformabil.

În practică, piesele nu pot schimba instantaneu lungimea, valoarea jerk este limitată de comportamentul fizic al sistemului:

prin fenomenul solicitării: rare sunt fenomenele care schimbă intensitatea instantaneu, în majoritatea cazurilor există inerție ; de exemplu, un motor nu schimbă viteza instantaneu, ci treptat, un circuit electric prezintă rezistență la modificarea intensității (în special în prezența bobinelor de inducție );
prin comportamentul lanțului cinematic : elasticitatea părților, jocul și fricțiunea conexiunilor.

Dacă vitezele sunt mari și încărcăturile sunt mari, jerk poate lua valori extrem de mari. Sistemul va suferi șocuri semnificative, generând vibrații și, prin urmare, zgomot și oboseală . Pe de altă parte, un vârf nesimțit pentru mecanisme „mici” (sarcini mici, viteze mici) nu reprezintă, în general, o problemă în afară de zgomotul moderat.

Luând în considerare la proiectarea unei legi a mișcării

Luați în considerare o mișcare rectilinie: un mecanism trebuie să aducă un solid dintr-o poziție x = 0 în poziția x f .

Soluții simple, dar problematice

Legea trapezoidală în viteză

Din punct de vedere cinematic, cele mai simple legi sunt:

Cea mai simplă soluție din punct de vedere conceptual este, prin urmare, proiectarea unei mișcări în trei părți:

Accelerație uniformă până la o viteză dată.
Mișcare uniformă la această viteză.
Decelerare uniformă până la oprire.

Cu o astfel de cinematică, vedem că accelerația este o funcție în trepte . Nu este diferențiat la tranziții, jerk este, prin urmare, infinit în modelul solidului nedeformabil.

Dintr-un punct de vedere concret, o astfel de lege a mișcării ar fi realizată:

de un sistem care nu permite reglarea puterii („totul sau nimic”), cum ar fi un cilindru hidraulic sau pneumatic, sau un motor al cărui circuit de alimentare este doar „deschis” sau „închis”, de exemplu reglat doar printr-o oprire de capăt ; jerk este apoi limitată de viteza de deschidere a electrovalvei , distribuitorul sau proprietățile de amortizare ale circuitului RLC ;
de către un automat căruia i s-ar cere să trimită instantaneu puterea maximă către servomotoare, ceea ce nu ar fi rezonabil; smucitul ar fi apoi limitat de viteza de creștere a puterii ansamblului;
de o camă; nu se poate detecta „cu ochiul” o problemă de smucitură „infinită”, întrucât un om nu detectează o discontinuitate a curburii , ci doar o discontinuitate a pantei . Într-adevăr, camera poate părea „suficient de netedă”, dar are totuși un al doilea derivat discontinuu. Acesta este cazul legii vitezei trapezoidale care produce un profil de camă aparent neted (cf. prima cronogramă a figurii Cronogramele unei mișcări având un profil de viteză trapezoidal ), dar care prezintă o curbură și, prin urmare, o accelerație. a treia cronogramă). Cu alte cuvinte, o discontinuitate de curbură nu poate fi observată de un om; riscul este, prin urmare, foarte real la proiectarea unui astfel de sistem.

Cam cu conexiuni circulare

Acum luați în considerare proiectarea unei came : piesa care trebuie mutată se află pe un cărucior glisant de-a lungul axei x , iar camera se află pe un cărucior glisant de-a lungul axei y la o viteză constantă față de cadru. Rola de urmărire se află într-un „coridor”, o canelură săpată în came. Pe măsură ce căruciorul cu came avansează în y , rola de urmărire este acționată de canelură și căruciorul piesei de prelucrat avansează în x .

Profilul camei corespunde profilului curbei x ( t ). Această curbă cuprinde trei părți rectilinii: o parte orizontală ( x = 0) corespunzătoare poziției inițiale, o parte înclinată corespunzătoare mișcării și o parte orizontală ( x = x f ) corespunzătoare poziției finale. Prin urmare, canelura camului are, de asemenea, trei părți rectilinii.

Cel mai ușor de desenat constă în conectarea acestor trei porțiuni rectilinii prin arcuri tangente ale unui cerc a cărui rază exterioară este mai mare decât raza rolei. Prin urmare, legea x ( t ) va avea conexiuni și într-un „cerc” (sau mai bine zis într-o elipsă, în funcție de scalele de timp și poziție adoptate).

Putem vedea imediat că în partea circulară, rola suferă o forță de accelerație centripetă / centrifugă; la pornire și frânare, avem deci o schimbare bruscă de la o situație în care nu există accelerație (părți liniare, rola este staționară sau în mișcare rectilinie uniformă) la o situație cu accelerație diferită de zero (centripetă).

Pentru a fi mai precis, în partea circulară, centrul rolei suferă o accelerație radială de

a 0 = v 2 / R,

v fiind viteza relativă a centrului rolei în raport cu came și R raza traseului rolei. Astfel, accelerația trece „instantaneu” 0 (viteza zero vector în mod constant în atacul camei) la o valoare a 0 (începutul porțiunii circulare). Și când rola părăsește partea circulară, accelerația radială încetează la fel de brusc.

Să vedem acest lucru din unghiul legilor mișcării. Luați în considerare începutul: legea x ( t ) este ecuația cartesiană a unui cerc care trece prin punctele (0, 0) - punctul cel mai mic al cercului - și (τ, x 0 ) - punctul cel mai potrivit. Deci avem :

(x / x_ {0} -1) ^ {2} + (t / \ tau) ^ {2} = 1 \ Longrightarrow x (t) = x_ {0} \ left (1 - {\ sqrt {1- ( t / \ tau) ^ {2}}} \ dreapta)

și, prin urmare, avem:

v = {\ frac {x_ {0} t} {\ tau ^ {2} {\ sqrt {1- (t / \ tau) ^ {2}}}}}

Demonstrație

Avem

x = x_ {0} -x_ {0} {\ sqrt {1- (t / \ tau) ^ {2}}}

Primul membru este o constantă a cărei derivată este zero. Al doilea membru poate fi scris

(1-t ^ {*}) ^ {{1/2}} {\ text {cu}} t ^ {*} = (t / \ tau) ^ {2}

este

\ left ((1-t ^ {*}) ^ {n} \ right) '= - t ^ {{* \ prime}} \ ori n (1-t ^ {*}) ^ {{n-1} } {\ text {et}} t ^ {{* \ prime}} = {\ frac {2t} {\ tau ^ {2}}}

care deci derivă în

{\ begin {align} v \ & = - x_ {0} \ left (-t ^ {{* \ prime}} \ times {\ frac {1} {2}} (1-t ^ {*}) ^ {{-1/2}} \ right) \\ & = {\ frac {x_ {0} t} {\ tau ^ {2} {\ sqrt {1- (t / \ tau) ^ {2}}} }} \ end {align}}

Vedem că viteza tinde spre + ∞ când t se apropie de τ. Aceasta corespunde situației în care traseul camei face un sfert de tură: forța de împingere se găsește perpendiculară pe traseul impus de ghidul căruciorului, provocând o situație de blocare. Prin urmare, această fază se termină pentru o valoare de timp t 1 strict mai mică decât τ. Dincolo de aceasta, camera are o linie dreaptă, ceea ce înseamnă că viteza este constantă:

{\ begin {cases} t \ leqslant t_ {1} {\ text {:}} v (t) = {\ frac {x_ {0} t} {\ tau ^ {2} {\ sqrt {1- (t / \ tau) ^ {2}}}}} \\ t \ geqslant t_ {1} {\ text {:}} v (t) = v_ {1} {\ text {, cu}} v_ {1} = {\ frac {x_ {0} t_ {1}} {\ tau ^ {2} {\ sqrt {1- (t_ {1} / \ tau) ^ {2}}}}} \ end {cases}}

Vedem aici că există o ruptură în panta legii v ( t ), deci o discontinuitate a accelerației la începutul și la sfârșitul părții circulare.

Acest lucru este confirmat de calculul accelerației, care arată două discontinuități: una la 0 și una la t 1

{\ begin {cases} t <0 {\ text {:}} a = 0 \\ 0 <t <t_ {1} {\ text {:}} a = {\ frac {x_ {0}} {\ tau ^ {2}}} (1- (t / \ tau) ^ {2}) ^ {{- 3/2}} \\ t> t_ {1} {\ text {:}} a = 0 \ end { cazuri}}

Demonstrație

Pentru a fi mai precise, avem:

((1-t ^ {*}) ^ {n}) '' = t ^ {{* \ prime \ prime}} \ times {\ frac {-1} {2}} \ times (1-t ^ { *}) ^ {{- 3/2}}

t ^ {{* \ prime \ prime}} = 2 / \ tau ^ {2}

prin urmare

{\ displaystyle a = {\ frac {x_ {0}} {\ tau ^ {2}}} \ left (1- \ left ({\ frac {t} {\ tau}} \ right) ^ {2} \ dreapta) ^ {- 3/2}}

Așadar

{\ displaystyle a (0) = {\ frac {x_ {0}} {\ tau ^ {2}}}> 0}

;

{\ displaystyle a (t_ {1}) = {\ frac {x_ {0}} {\ tau ^ {2}}} \ left (1- \ left ({\ frac {t_ {1}} {\ tau} } \ right) ^ {2} \ right) ^ {- 3/2}> 0}

Așadar, avem din nou aici un smucit infinit (dirac) în două momente. Prin urmare, designul acestei came nu este satisfăcător din punct de vedere al sacadării. Între aceste două diracții, merită smucitură

j = {\ frac {3x_ {0} t} {\ tau ^ {4}}} (1- (t / \ tau) ^ {2}) ^ {{- 5/2}}

Soluții cu un smucit finit

Pentru a fi sigur că aveți un smucit terminat (fără un vârf de dirac), este necesar să vă asigurați că accelerația este continuă. Prin urmare, este necesar să se definească legea dintr-un profil de accelerație continuu (dar nu neapărat diferențiat), apoi să se integreze pentru a avea profilul de viteză, apoi în cele din urmă, profilul de deplasare. În proiectarea unei came, aceasta echivalează cu asigurarea continuității curburii : o curbură continuă face posibilă o accelerare radială continuă, fără variații bruste.

Pentru accelerație, luăm în general legi simple pe parte, de exemplu:

liniar;
sinusoidal;
polinom.

Limita de scuturare și filtrul de scuturare liniar

Dacă mișcarea este gestionată de un automat programabil, este posibil să o faci să genereze legi ale mișcării prin limitarea derivatelor poziției, adică prin impunerea unei viteze maxime, a accelerației și a smuciturilor.

Cea mai simplă modalitate constă în a avea o smucitură în scară, adică a putea lua trei valori, j max , 0 și - j max . Prin urmare, avem neapărat o lege a accelerației trapezoidale. Dacă mișcarea este scurtă, atunci

fie accelerația maximă nu este atinsă niciodată și, prin urmare, avem o lege a accelerației triunghiulare, fazele de creștere și descreștere a vitezei nu au o parte rectilinie;
altfel viteza maximă nu este atinsă niciodată, legea vitezei nu prezintă un platou în mijloc;
iar dacă mișcarea este foarte scurtă, nu se atinge nici viteza, nici accelerația maximă.

O altă modalitate de a face acest lucru este de a limita viteza și accelerația, dar de a aplica un filtru liniar la jerk, de obicei un filtru trece jos pentru a împiedica jerk să aibă variații bruște. Acest proces face posibilă modificarea legii mișcării din mers, de exemplu dacă poziția finală este schimbată în timpul mișcării (în urma unei ținte în mișcare). În funcție de puterea filtrului, aceasta echivalează cu limitarea unui derivat de ordin superior al poziției.

Derivate ale smecheriei

Derivatele vectorului de poziție ale ordinelor mai mari de 3, care sunt, prin urmare, ele însele derivate ale jerk, există, de asemenea, funcțiile de timp mecanice fiind toate derivabile pe parte.

Pe parcursul dezvoltării Hubble Hubble și , în special , a sistemelor sale de control orientare servo, a fost utilizată patra derivată a vectorului de poziție și ingineri folosit termenul jounce în publicațiile lor să - l desemneze. De asemenea, se folosește termenul snap .

Aceste derivate de ordin superior nu au o semnificație fizică specială, dar sunt modalități de a genera o lege a mișcării care limitează viteza, accelerația și smucirea.

Scutură unghiulară

Luați în considerare o mișcare de rotație în jurul unei axe fixe în cadrul de referință. Orientarea solidului poate fi exprimată printr-un unghi θ (în radiani), poziția unghiulară, din care putem exprima:

vitezei unghiulare w (în radiani pe secundă), derivatul de timp;
accelerația unghiulară a (în radiani pe secundă la pătrat), derivata de ω.

De asemenea, putem diferenția α în raport cu timpul și astfel putem defini o smucitură unghiulară j a :

{\ displaystyle j _ {\ mathrm {a}} = {\ dot {\ alpha}} = {\ ddot {\ omega}} = {\ dot {\ ddot {\ theta}}}}

;

{\ displaystyle j _ {\ mathrm {a}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ alpha} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ omega } {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {3}}}}

Accelerația unghiulară implică un cuplu și, prin urmare, o torsiune a sistemului. Un smucitură mare implică o schimbare bruscă a cuplului și, prin urmare, propagarea unei unde de forfecare în sistem.

În cazul unei mișcări în spațiu, se poate modela deplasarea unui solid nedeformabil de către un torsor cinematic și astfel se poate defini în fiecare moment o viteză de rotație vectorială . De acolo, putem defini un vector de accelerație unghiulară ${\ vec {\ Omega}}$

{\ vec {\ alpha}} = {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ vec {\ Omega}}

și, astfel, un vector unghiular

{\ vec {\ jmath}} _ {{\ mathrm {a}}} = {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ vec {\ alpha}}

Luați în considerare, de exemplu, o cruce malteză , un dispozitiv pentru a crea o rotație intermitentă a roții conduse dintr-o rotație continuă a roții motrice. De-a lungul unui ciclu, există deci o variație a poziției unghiulare θ în timpul unui sfert de ciclu și o poziție unghiulară constantă în restul ciclului.

Acest dispozitiv generează o discontinuitate în accelerația unghiulară α și, prin urmare, o smucitură unghiulară ( infinită ) ( dirac ), generând o smucitură.

Acest lucru nu împiedică utilizarea mecanismului în proiectoarele cinematografice de film cu fiabilitate foarte mare (durată de viață foarte lungă) și doar un zgomot ușor, deoarece sarcinile sunt foarte mici - sistemul servește la acționarea părții filmului situat în coridorul de proiecție , deci o inerție foarte scăzută (o peliculă plastică de aproximativ douăzeci de centimetri lungime, câteva zecimi de milimetru grosime și 35 mm lățime), frecare mică și o viteză moderată ( 2,4 m / s , 8,6 km / h ).

Pentru a evita această problemă ciudată , se poate folosi în schimb un dispozitiv cu came conjugate precum camera dublă a lui Trézel , mai voluminos și mai scump, dar și mai silențios.

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe

[Gibbs și colab. 1998] (ro) Philip Gibbs, Stephanie Gragert și PEG, „ Care este termenul folosit pentru al treilea derivat de poziție? » , Întrebări frecvente Usenet Physics , 1996-1998 (accesat la 13 august 2005 ) - Descrierea tâmpitului

Note și referințe

„Cinematica ascensorului descrie mișcarea unui vagon de ascensor într-un arbore, în absența masei sau a forței. Este vorba de găsirea accelerației maxime și a șocului (modificarea accelerației) care poate fi susținută fără disconfort de către pasageri, pentru a garanta cel mai bun confort posibil. " " Raport de management 2002 " , despre Grupul Schindler , 2002, p. 68
Gibbs și colab. 1998
treia derivată , în forumul Futura-Sciences
(în) Theo W. Knack, " Parachute de recuperare Sisteme de proiectare Manual " (accesat la 1 st ianuarie 2017 ) , p. 5-49
(în) Jean Potvin , „ Considerații de universalitate pentru graficarea factorului de șoc de deschidere a parașutei față de raportul de masă ” , Journal of Aircraft , Aerospace Research Central flight. 44, n o 22007, p. 529-533 ( DOI 10.2514 / 1.24061 )
[PDF] (în) Peter M. Thompson, „ Snap, Crackle, and Pop ” pe AIAA (Institutul American de Aeronautică și Astronautică)