Fizica parașutismului

Parasuta este un echipament destinat să încetinească căderea unui obiect sau a unui om în așa fel încât atunci când aterizare, obiectul nu va fi distrus sau persoana vătămată sau ucis. Acest echipament constă dintr-o pânză mare care încetinește căderea persoanei prin generarea unei rezistențe puternice la aer. Parașutele sunt fabricate din materiale ușoare, cum ar fi mătase sau nailon. Pentru ca o parașută să fie eficientă, viteza terminală trebuie să fie de ordinul a 30 km / h , ceea ce corespunde la 8 m / s sau la căderea unei a doua etape.

Model ultra simplificat: viteza dobândită în timpul unei coborâri

La începutul căderii parașutistului dintr-un avion, rezistența aerului este inițial mai mică decât greutatea, astfel că căderea accelerează. Parașutistul este chiar la început în cvasiponderabilitate la 0 g , accelerația sa fiind de 1 g în jos. Această rezistență la aer crește proporțional cu pătratul vitezei de cădere, până când este egală cu greutatea și viteza se stabilizează. Procesul este ilustrat în linkuri.

Accelerația scade treptat până la aproximativ 0,1 g în poziția arcuită după aproximativ un minut, chiar înainte de deschiderea parașutei. Un parașutist care cade într-o poziție culcată orizontal, numit „arcuit”, întâlnește mai multă rezistență decât căderea într-o poziție verticală profilată (aproximativ 300 km / h) și, prin urmare, coboară mai încet (aproximativ 200 km / h), cuplul său principal fiind mai mare. În poziții foarte particulare, s-au obținut viteze de cădere instantanee de 450 km / h .

Când parașutistul își deschide parașuta, aerul se repede în baldachin și impune o rezistență puternică, inițial mai mare decât greutatea: căderea este frânată în câteva secunde de la aproximativ 200 km / h la 15 km / h, asigurând o accelerație ascendentă între 3 și 6 g , oferindu-i parașutistului impresia iluzorie de ascensiune. Pe măsură ce viteza scade, rezistența aerului scade, de asemenea, pentru a egala greutatea, iar viteza se stabilizează din nou, dar la o valoare mult mai mică decât fără o parașută (aproximativ 15 km / h). Prin comparație, parapanta cu un baldachin chiar mai mare, la fel ca un planor, oferă o astfel de rezistență încât curenții ascendenți ai aerului permit să rămână în suspensie și chiar să urce.

Cu toate acestea, acest model este foarte incomplet, deoarece accelerația nu este constantă , dar „ smucitul ” este constant. Acest punct va fi discutat în detaliu mai jos.

Căderea unei persoane

O ființă umană în poziție verticală poate rezista cu greu la o accelerație mai mare de 5 g . Dincolo de asta, parașutistul va fi victima unui voal negru . În poziție orizontală pe stomac, parașutistul ar putea suferi o accelerație de 20 g (ochii care ies din prize). Accelerația maximă tolerată depinde de timpul de expunere. Oricum, orice accelerație de peste 30g este fatală. În plus, parașutistul poate fi victima unor sechele incurabile; deși unele persoane care au suferit accelerații de 18 g s-au recuperat complet. Prin urmare, este important să proiectăm o parașută care să încetinească suficient persoana și să nu o supună unor accelerații nebunești. În consecință, o deschidere aproape instantanee a parașutei nu este de dorit.

Puncte tari

Cele 2 forțe implicate sunt:

Rezistența la aer care este ; ${\ displaystyle R = - {1 \ peste 2} \ rho SC_ {x} v ^ {2}}$
Greutatea: P = mg ;

ρ este densitatea aerului;
S este zona efectivă a parașutei;
C x este un factor de formă care trebuie determinat;
v este viteza de cădere;
m Este masa ansamblului parașutist + parașută.

Greutatea sa este îndreptată în jos, iar forța de frecare sau rezistența aerului este îndreptată în sus.

Rolul parașutei este de a limita viteza de cădere terminală a parașutistului. Acest lucru se face în 2 moduri, mărind considerabil cuplul principal S și, de asemenea, într-o măsură mai mică, coeficientul C x .

Limita de viteză

Rezultatul forțelor aplicate unui obiect în timpul căderii sale, numărate pozitiv în jos, este: F = P - R și
Accelerarea obiectului este: a = F / m .

La începutul toamnei, când viteza este încă mică, rezistența aerului este mult mai mică decât greutatea, iar căderea accelerează.

Pe măsură ce frecarea crește odată cu viteza, rezistența aerului echilibrează în cele din urmă greutatea, iar viteza de cădere tinde spre o constantă numită viteza limită (sau viteza terminală ).

Viteza terminală, definită de γ = 0, prin urmare P = R , se calculează ușor:

{\ displaystyle v _ {\ text {t}} = {\ sqrt {2mg \ peste C \ rho S}}}

Model „naiv” al parașutistului

Se presupune incorect că parașuta se deschide instantaneu.

Prin urmare, ecuația dinamică este scrisă:

{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ over 2} \ rho SCv ^ {2}}

Fie viteza inițială a parașutei scade la deschiderea parașutei. Se presupune că parașutistul este în cădere liberă. $v_0$

Noi definim ${\ displaystyle T = {v_ {t} \ peste 2g}}$

{\ displaystyle K = {v_ {0} -v_ {t} \ over v_ {0} + v_ {t}}}

Legea vitezei este următoarea:

{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ over T}} \ over 1-Ke ^ {- {t \ over T}}} v_ {t}}

Rezolvarea ecuației diferențiale

Prin urmare, obținem:

{\ displaystyle {dv \ over dt} = g- {1 \ over 2} {\ rho SC \ over m} v ^ {2}}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dv \ over g- {1 \ over 2} {\ rho SC \ over m} v ^ {2}} = dt}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dv \ over - {2gm \ over \ rho SC} + v ^ {2}} = - {\ rho SC \ over 2m} dt}

Amintiți-vă că viteza terminalului este:

{\ displaystyle v_ {t} = {\ sqrt {2gm \ over \ rho SC}}}

Prin urmare, ecuația diferențială care trebuie rezolvată este:

{\ displaystyle {dv \ over v ^ {2} -v_ {t} ^ {2}} = {\ rho SC \ over 2m} dt}

Unul se descompune în elemente simple. Observăm că:

{\ displaystyle {1 \ over v ^ {2} -v_ {t} ^ {2}} = {1 \ over 2v_ {t}} \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ peste v + v_ {t}} \ dreapta)}

Prin urmare, obținem:

{\ displaystyle {1 \ over 2v_ {t}} \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v + v_ {t}} \ right) dv = - {g \ over v_ { t} ^ {2}} dt}

Prin urmare,

{\ displaystyle \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v-v_ {t}} \ right) dv = - {2g \ over v_ {t}} dt}

Noi definim ${\ displaystyle T = {v_ {t} \ peste 2g}}$

Prin urmare, rezolvăm:

{\ displaystyle \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v-v_ {t}} \ right) dv = - {dt \ over T}}

Calculăm primitivul. Prin urmare,

{\ displaystyle \ log (v-v_ {t}) - \ log (v + v_ {t}) = Cte- {t \ over T}}

Prin urmare,

{\ displaystyle \ log \ left ({v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} \ right) = Cte- {t \ over T}}

Prin urmare,

{\ displaystyle {v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} = \ exp \ left (Cte- {t \ over T} \ right)}

Prin urmare,

{\ displaystyle {v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} = Ke ^ {- {t \ over T}}}

Prin urmare,

{\ displaystyle v-v_ {t} = Ke ^ {- {t \ over T}} (v + v_ {t})}

Prin urmare,

{\ displaystyle \ left (Ke ^ {- {t \ over T}} + 1 \ right) v_ {t} = v \ left (1-Ke ^ {- {t \ over T}} \ right)}

Prin urmare,

{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ over T}} \ over 1-Ke ^ {- {t \ over T}}} v_ {t}}

Presupunem că la t = 0, atunci v = v 0 . Prin urmare,

{\ displaystyle v_ {0} = {1 + Ke ^ {0} \ over 1-Ke ^ {- 0}} v_ {t}}

Prin urmare,

{\ displaystyle (1-K) v_ {0} = (1 + K) v_ {t}}

Prin urmare,

{\ displaystyle K = {v_ {0} -v_ {t} \ over v_ {0} + v_ {t}}}

Așadar:

{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ over T}} \ over 1-Ke ^ {- {t \ over T}}} v_ {t}}

Vedem că atunci când atunci cum era de așteptat. $t \ to \ infty$ ${\ displaystyle v \ to v_ {t}}$

Observăm că secunde. ${\ displaystyle T = 5 / (2 \ ori 10) = 0,25}$

Amintiți-vă că viteza terminalului este:

{\ displaystyle v_ {t} = {\ sqrt {2gm \ over \ rho SC}}}

După înlocuire, arătăm că decelerarea inițială este următoarea:

{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dt} = g- {g \ over v_ {t} ^ {2}} v_ {0} ^ {2}}

Observăm că:

{\ displaystyle g \ ll {g \ over v_ {t} ^ {2}} v_ {0} ^ {2}}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dt} \ approx -g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2}}

Acest model este evident invalid deoarece dacă presupunem că și , aceste 2 valori fiind rezonabile, atunci parașutistul ar suferi o accelerație de 100 g ceea ce l-ar ucide cu siguranță. ${\ displaystyle v_ {t} = 8}$ ${\ displaystyle v_ {0} = 80}$

Deschiderea în timp finit

Se știe că distanța parcursă în timpul deschiderii parașutei este independentă de condițiile inițiale. Acest lucru a fost justificat de francezi.

Deci, modelul de implementare instantanee este nevalid și este, de asemenea, contrazis de experiență. Într-adevăr, Knack a demonstrat că timpul de deschidere s-a terminat și că smucitura a fost constantă, așa cum se arată în figura opusă.

În plus, Potvin a confirmat experimental rezultatele lui Knack și a demonstrat experimental că accelerația maximă era cuprinsă între 5 și 7 g și că accelerația crește liniar cu timpul până la deplasarea completă (pentru parașute de formă dreptunghiulară). Aceste rezultate contrazic total modelul naiv propus mai sus .

Prin urmare, putem presupune că, ca o primă aproximare, jerk (care este derivata de accelerație în raport cu timpul) este constantă. Meade a propus ca modelul de deschidere a parașutei să fie împărțit în 3 faze care sunt:

Căderea liberă a parașutistului: cuplul principal este S 0 unde viteza asimptotică este v 0 .
Faza de deschidere a parașutei în care cuplul principal crește (liniar?). Viteza v variază semnificativ;
Faza terminală în care parașuta este complet deschisă și viteza de cădere se apropie de v t .

Următoarele ecuații se bazează pe modelul lui Meade. Ca primă aproximare, putem presupune că raza baldachinului variază liniar în funcție de timp. Deci, pentru o parașută semi-sferică, suprafața efectivă va crește patru în funcție de timp. Pentru o parașută modernă având o formă cilindrică alungită (așa cum se arată în figura opusă), putem considera că secțiunea efectivă va crește liniar în funcție de timp, deoarece zona efectivă va fi pur și simplu proporțională cu raza cilindrului. Acest lucru este confirmat ca o primă aproximare prin studiul lui Knack, care arată o creștere aproape liniară a factorului de sarcină, așa cum se arată în figura de mai sus.

Prin urmare, ecuația dinamică este scrisă:

{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ over 2} \ rho S (t) Cv ^ {2}}

Presupunem că aria variază liniar și scriem

{\ displaystyle S (t) = S_ {0} + \ sigma t}

Fie t 0 durata desfășurării parașutei. Ecuația dinamică poate fi apoi scrisă:

{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1- \ left ({v \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ right) -g \ left ({v \ over v_ {t }} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Calculul ecuației dinamice pentru un timp finit de deschidere

{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ over 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma t) v ^ {2}}

Presupunem că la t = 0, există echilibru. Prin urmare,

{\ displaystyle 0 = m {dv \ over dt} (t = 0) = mg- {1 \ over 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma 0) v (t = 0) ^ {2}}

Observăm . Deci avem: ${\ displaystyle v_ {0} = v (t = 0)}$

{\ displaystyle 0 = mg- {1 \ over 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma 0) v_ {0} ^ {2}}

Prin urmare,

{\ displaystyle 0 = mg- {1 \ peste 2} \ rho CS_ {0} v_ {0} ^ {2}}

Prin urmare,

{\ displaystyle {1 \ over 2} \ rho CS_ {0} = {mg \ over v_ {0} ^ {2}}}

Prin urmare, ecuația dinamică devine:

{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- \ left ({mg \ over v_ {0} ^ {2}} + {1 \ over 2} \ rho C \ sigma t \ right) v ^ {2} }

Prin urmare,

{\ displaystyle {dv \ over dt} = g- \ left ({g \ over v_ {0} ^ {2}} - {1 \ over 2} {\ rho C \ sigma \ over m} t \ right) v ^ {2}}

Avem: . Prin urmare, ${\ displaystyle \ sigma = S / t_ {0}}$

{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1- \ left ({v \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ right) - {1 \ over 2} {\ rho CS \ peste mt_ {0}} tv ^ {2}}

Sa nu uiti asta

{\ displaystyle {1 \ over 2} {\ rho CS \ over m} = {1 \ over v_ {t}} g ^ {2}}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1- \ left ({v \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ right) -g \ left ({v \ over v_ {t }} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Soluția riguroasă a așa-numitei ecuații diferențiale Riccati implică funcții Airy care sunt în mod clar dincolo de scopul acestei discuții.

Deoarece suntem interesați de comportamentul de la începutul deschiderii parașutei și vom demonstra că decelerarea este suportabilă, vom lineariza ecuația diferențială și vom examina comportamentul atunci când t este mic.

Noi definim . Noi definim ${\ displaystyle w = v_ {0} -v> 0}$

{\ displaystyle x = {2g \ over v_ {0}} t}

Putem arăta că:

{\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}

{\ displaystyle {dw \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ peste 2g} \ dreapta) ^ {2} (1-e ^ {- x})}

Prin urmare,

{\ displaystyle {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right) ^ {2} e ^ {- x}}

Observăm că pentru x mici, avem . ${\ displaystyle e ^ {- x} \ approx 1}$

Deci, pentru , obținem: ${\ displaystyle x \ ll 1}$

{\ displaystyle w \ approx {1 \ over 2} {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ peste 2g} \ dreapta) ^ {2} x ^ {2}}

{\ displaystyle {dw \ over dx} \ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right) ^ {2} x}

{\ displaystyle {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} \ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2 } \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right) ^ {2}}

Vedem că pentru x mic, smucitul este practic constant.

Dovada formulei aproximative

Prin urmare,

{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1+ {v \ over v_ {0}} \ right) \ left (1- {v \ over v_ {0}} \ right) -g \ left ( {v \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

La început, rezistența la aer este mult mai mare decât greutatea pe care o are . Prin urmare, putem simplifica ecuația prin ${\ displaystyle v \ approx v_ {0}}$

{\ displaystyle {dv \ over dt} \ approx g \ left (1 + 1 \ right) \ left (1- {v \ over v_ {0}} \ right) -g \ left ({v \ over v_ {t }} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dv \ over dt} = 2g {v_ {0} -v \ over v_ {0}} - g \ left ({v \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Noi pozăm ${\ displaystyle w = v_ {0} -v}$

Prin urmare,

{\ displaystyle {d (v_ {0} -w) \ over dt} = 2g {w \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ { 2} {t \ over t_ {0}}}

Este primul ordin și t este mică (termenii de îndepărtare 2 - lea ordin)

Prin urmare,

{\ displaystyle - {dw \ over dt} = 2g {w \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Avem o ecuație liniară cu al doilea membru.

Soluția sistemului omogen este

{\ displaystyle - {dW \ over dt} = 2g {W \ over v_ {0}}}

Prin urmare, obținem:

{\ displaystyle {dW \ over W} = - {2g \ over v_ {0}} dt}

Prin urmare,

{\ displaystyle \ log (W) = Cte- {2g \ over v_ {0}} t}

Prin urmare,

{\ displaystyle W = \ exp \ left (- {2g \ over v_ {0}} t \ right)}

Acum variem constanta K și definim:

{\ displaystyle w = KW}

Apoi obținem:

{\ displaystyle - {d (KW) \ over dt} = 2g {KW \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Echivalent:

{\ displaystyle {d (KW) \ over dt} = - 2g {KW \ over v_ {0}} + g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Prin urmare,

{\ displaystyle K'W + KW '= - 2g {KW \ over v_ {0}} + g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Există simplificare și, prin urmare:

{\ displaystyle K'W = g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Prin urmare, problema se reduce la calcularea unui antiderivativ.

{\ displaystyle K '= g {1 \ peste W} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Prin urmare,

{\ displaystyle K '= g {1 \ peste W} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}

Prin urmare,

{\ displaystyle K '= ge ^ {{2g \ over v_ {0}} t} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0} }}

Prin urmare,

{\ displaystyle K '= {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {{2g \ over v_ {0}} t } t}

Noi definim

{\ displaystyle x = {2g \ over v_ {0}} t}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dK \ over x} {dx \ over dt} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ { x} {xv_ {0} \ peste 2g}}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dK \ over dx} {2g \ over v_ {0}} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {x} {xv_ {0} \ peste 2g}}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dK \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {x} {xv_ {0 } \ over 2g} {v_ {0} \ over 2g}}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dK \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ peste 2g} \ dreapta) ^ {2} e ^ {x} x}

Primitivul din ${\ displaystyle \ int xe ^ {x} = xe ^ {x} -e ^ {x}}$

Prin urmare, obținem:

{\ displaystyle K = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (e ^ {x} xe ^ {x}) + Cte}

Prin urmare,

{\ displaystyle w = Ke ^ {- x} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ over 2g} \ right) ^ {2} \ left [(e ^ {x} xe ^ {x}) + Cte \ right] e ^ {- x}}

Prin urmare,

{\ displaystyle w = Ke ^ {- x} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ over 2g} \ right) ^ {2} (x-1) + Cte \ times e ^ {- x}}

La t = 0 , avem x = 0 . Prin urmare,

{\ displaystyle 0 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (0-1) + Cte \ times e ^ {0}}

Prin urmare,

{\ displaystyle Cte ​​= + {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g } \ dreapta) ^ {2}}

Prin urmare,

{\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (1-x) - {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right) ^ {2} e ^ {- x}}

Prin urmare,

{\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}

Prin urmare,

{\ displaystyle w '= {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ dreapta) ^ {2} (1-e ^ {- x})}

Prin urmare,

{\ displaystyle w '' = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ dreapta) ^ {2} e ^ {- x}}

Vedem că pentru x mic, smucitul este practic constant.

Acum vom calcula o estimare aproximativă a accelerației atunci când . ${\ displaystyle w (x) = v_ {0} / 2}$

Arătăm asta

{\ displaystyle x = {\ sqrt {4t_ {0} gv_ {t} ^ {2} \ over v_ {0} ^ {3}}}}

Calculul timpului normalizat

Considerăm x mic și calculăm x astfel încât să avem ${\ displaystyle w = v_ {0} / 2}$

Rezolvăm:

{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ peste 2g} \ dreapta) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}

Facem o dezvoltare limitată

{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ peste 2g} \ dreapta) ^ {2} (x-1 + (1-x + x ^ {2} / 2))}

Prin urmare,

{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ peste 2g} \ dreapta) ^ {2} x ^ {2} / 2}

Prin urmare,

{\ displaystyle v_ {0} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g } \ dreapta) ^ {2} x ^ {2}}

Prin urmare,

{\ displaystyle x ^ {2} = v_ {0} {t_ {0} \ over g} \ left ({v_ {t} \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ left ({2g \ peste v_ {0}} \ right) ^ {2}}

Prin urmare,

{\ displaystyle x ^ {2} = {v_ {0} t_ {0} v_ {t} ^ {2} 4g ^ {2} \ over gv_ {0} ^ {2} v_ {0} ^ {2}} }

Prin urmare,

{\ displaystyle x ^ {2} = {4t_ {0} gv_ {t} ^ {2} \ over v_ {0} ^ {3}}}

Presupunem că și . Atunci ajungem ${\ displaystyle v_ {t} = 7}$ ${\ displaystyle v_ {0} = 50}$ ${\ displaystyle t_ {0} = 5}$ ${\ displaystyle t \ approx 0,5}$

{\ displaystyle x ^ {2} = {4 \ times 5 \ times 10 \ times 7 ^ {2} \ over 50 ^ {3}}}

Prin urmare, x = 0,28

Accelerația estimată este deci următoarea

{\ displaystyle {dw \ over dt} = {v_ {0} ^ {3} \ over 2t_ {0} v_ {t} ^ {2}} x}

Calculul accelerației când

{\ displaystyle v = v_ {0} / 2}

Pentru x mici, avem:

{\ displaystyle w '\ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ dreapta) ^ {2} x}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dw \ over dt} {dt \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ( {v_ {0} \ peste 2g} \ dreapta) ^ {2} x}

Înlocuim dt / d x. Prin urmare,

{\ displaystyle {dw \ over dt} {v_ {0} \ over 2g} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right) ^ {2} x}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dw \ over dt} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {v_ {0} \ over 2g} X}

Prin urmare, obținem:

{\ displaystyle {dw \ over dt} = {gv_ {0} ^ {2} v_ {0} \ over t_ {0} v_ {t} ^ {2} 2g} x}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dw \ over dt} = {v_ {0} ^ {3} \ over 2t_ {0} v_ {t} ^ {2}} x}

Prin urmare,

{\ displaystyle {dw \ over dt} = 2g {t \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2}}

Numeric, avem:

{\ displaystyle {dw \ over dt} = {50 ^ {3} \ peste 2 \ ori 5 \ ori 7 ^ {2}} \ ori 0,28 = 71,4}

Accelerația este atunci de ordinul a 7 g .

În plus, rezultatele experimentale ale lui Potvin sunt în concordanță cu acest model. Măsurătorile au indicat că smucitul a fost aproximativ constant la deschiderea parașutei și că accelerația maximă a fost de ordinul a 7 g .

Modelul nu a ținut cont de elasticitatea liniilor. Cu toate acestea, valorile sunt foarte apropiate de valorile experimentale date de Potvin.

Reintrarea sondelor spațiale

Când o navă spațială intră în atmosferă, viteza este de obicei supersonică și modelul de mai sus nu se aplică.

Note și referințe

(în) „ Fizica parașutismului ”
(în) „ Fizica parașutismului ”
(în) Dane Lenaker, " The Physics of Skydiving " ,2002
„ Ce viteză poți atinge în timpul unei căderi libere?” » (Accesat pe 5 ianuarie 2017 )
(în) Dulli Chandra Agrawal, „ Predarea fizicii: viteza maximă a parașutistilor ” , Educație fizică ,iulie 2000( DOI 10.1088 / 0031-9120 / 35/4/11 , citiți online )
(în) „ Rezultate live 2016 ” (accesat la 5 ianuarie 2017 )
(în) Jean Potvin și Gary Peek, „ Parachute Opening Shock Basics ” ,2001(accesat la 1 st ianuarie 2017 )
(ro) Robert V. Brulle, Engineering the Space Age: A Rocket Scientist Remembers , Air University Press,iulie 2008, 268 p. ( ISBN 978-1-58566-184-8 , citit online ) , p. 135
(în) Calvin Lee, „ Modelarea deschiderii parașutei: o investigație experimentală ” , Journal of Aircraft , Aerospace Research Central flight. 26, nr . 5,1989( DOI 10.2514 / 3.45783 )
(în) Dean F. Wolf, „ Parachute Deployment ” (accesat la 3 ianuarie 2017 ) , p. 5
(în) Kenneth E. French, „ Inflația unei parașute ” , Jurnalul AIAA, AIAA, vol. 1, n o 11,Noiembrie 1963( DOI 10.2514 / 3.2113 )
(în) Theo W. Knack, " Manual de proiectare a sistemelor de recuperare a parașutelor " ,Martie 1991(accesat la 1 st ianuarie 2017 ) ,p. 5-49
(în) Jean Potvin , „ Considerații de universalitate pentru graficarea factorului de șoc de deschidere a parașutei față de raportul de masă ” , Journal of Aircraft , Aerospace Research Central flight. 44, n o 22007, p. 529-533 ( DOI 10.2514 / 1.24061 )
(în) Douglas B. Meade , „ Modele ODE pentru problema parașutei ” (accesat la 22 decembrie 2016 )
(ro) Douglas B. Meade și Allan A Struthers , „ Ecuații diferențiale în noul mileniu: problema parașutei ” , International Journal of Engineering , vol. 15, nr . 6,1999, p. 419 ( citit online , consultat la 7 ianuarie 2017 )

Vezi și tu

Articole similare