Lungime spațiu
În matematică , un spațiu de lungime este un anumit spațiu metric , care generalizează noțiunea de
varietate riemanniană : distanța este definită de o funcție care verifică o axiomatică făcându-l aproape de ideea concretă de distanță. Lungimea zonelor au fost studiate la începutul XX - lea secol de Busemann (in) si Rinow (in) sub numele de spații metrice intrinseci și reintrodus mai recent , de Mikhail Leonidovici Gromov .
Structuri de lungime
Fie X un spațiu topologic. O curbă în X este o hartă continuă , unde I este un interval de .
vs.:Eu→X{\ displaystyle c: I \ rightarrow X}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
O structură de lungime pe X reprezintă datele unui set de curbe (numite admisibile) și ale unei aplicații care
verifică următoarele proprietăți:
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}L:VS→R+{\ displaystyle L: {\ mathcal {C}} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}
- dacă c este constant,L(vs.)=0{\ displaystyle L (c) = 0}
- Juxtapunere: dacă și sunt admisibile și astfel încâtvs.1:[la,b]→X{\ displaystyle c_ {1}: [a, b] \ rightarrow X}vs.2:[b,vs.]→X{\ displaystyle c_ {2}: [b, c] \ rightarrow X}vs.1(b)=vs.2(b){\ displaystyle c_ {1} (b) = c_ {2} (b)}
iar dacă este curba obținută prin urmarea lui , atunci este admisibilă șivs.3:[la,vs.]→X{\ displaystyle c_ {3}: [a, c] \ rightarrow X}vs.1{\ displaystyle c_ {1}}vs.2{\ displaystyle c_ {2}}vs.3{\ displaystyle c_ {3}}L(vs.3)=L(vs.1)+L(vs.2){\ displaystyle L (c_ {3}) = L (c_ {1}) + L (c_ {2})}
- Restricție: dacă este admisibilă, același lucru se aplică restricțiilor sale la orice subinterval, iar aplicația este continuă.vs.:[la,b]→X{\ displaystyle c: [a, b] \ rightarrow X}t↦L(vs.|[la,t]){\ displaystyle t \ mapsto L (c _ {\ vert [a, t]})}
- Independența decorului: dacă este admisibil și dacă , atunci este admisibil șivs.:Eu→X{\ displaystyle c: I \ rightarrow X}φ(t)=αt+β{\ displaystyle \ varphi (t) = \ alpha t + \ beta}vs.∘ϕ{\ displaystyle c \ circ \ phi}L(vs.∘ϕ)=L(vs.){\ displaystyle L (c \ circ \ phi) = L (c)}
- Compatibilitate: pentru orice x din X și orice vecinătate deschisă x , există o astfel încât orice curbă admisibilă astfel încât și satisface .U⊂X{\ displaystyle U \ subset X}r>0{\ displaystyle r> 0}vs.:[la,b]→X{\ displaystyle c: [a, b] \ rightarrow X}vs.(la)=X{\ displaystyle c (a) = x}vs.(b)∉U{\ displaystyle c (b) \ notin U}L(vs.)>r{\ displaystyle L (c)> r}
Exemple
- Cazul model este evident cel al spațiului euclidian.
Se ia pentru curbele admisibile curbele pe bucăți, iar pentru L lungimea obișnuită.
VS1{\ displaystyle C ^ {1}}
- Dacă luăm pentru curbe admisibile curbele pe bucăți deVS1{\ displaystyle C ^ {1}}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}
la fel de
z′-Xy′=0{\ displaystyle z ^ {\ prime} -xy ^ {\ prime} = 0}
se obține un exemplu de structură de lungime Carnot-Carathéodory .
- Orice metrică Riemanniană sau Finsleriană definește o structură de lungime.
Distanța asociată cu o structură de lungime.
Fie limita inferioară a robinetelor pentru toate curbele admisibile care unesc x și y . Astfel, definim o distanță pe X (luând valori posibile infinite). Topologia asociată cu această distanță este mai fină decât topologia de pornire.
dL(X,y){\ displaystyle d_ {L} (x, y)}L(vs.){\ displaystyle L (c)}
Structura lungimii definită de o distanță.
Într-un spațiu metric ( X , d ), definim lungimea unei curbe ca limita superioară a sumelor
vs.:[la,b]→X{\ displaystyle c: [a, b] \ rightarrow X}
∑eu=1nud(vs.(laeu-1),vs.(laeu)).{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d \ left (c (a_ {i-1}), c (a_ {i}) \ right).}
luată pentru toate subdiviziunile intervalului [a, b] . Pentru detalii, consultați lungimea articolului unui arc . Obținem astfel o structură de lungime pe X (curbele admisibile fiind curbele rectificabile). Dacă este distanța asociată cu această structură de lungime, avem .
la0=la<la1...<lanu=b{\ displaystyle a_ {0} = a <a_ {1} \ ldots <a_ {n} = b}d^{\ displaystyle {\ widehat {d}}}d<d^{\ displaystyle d <{\ widehat {d}}}
Exemplu . Dacă ( X , d ) este cercul unitar al planului euclidian dotat cu distanța indusă,
este distanța unghiulară.
d^{\ displaystyle {\ widehat {d}}}
Fii atent . Se poate întâmpla ca topologia definită de să
fie strict mai fină decât topologia de pornire.
d^{\ displaystyle {\ widehat {d}}}
Dacă reiterăm această construcție din , metrica nu se schimbă. Cu alte cuvinte .
d^{\ displaystyle {\ widehat {d}}}d^^=d^{\ displaystyle {\ widehat {\ widehat {d}}} = {\ widehat {d}}}
Spații de lungime
Definiție . Un spațiu metric ( X , d ) este un spațiu de lungime si . Mai spunem că ( X , d ) este un spațiu metric intrinsec.
d=d^{\ displaystyle d = {\ widehat {d}}}
Exemplu . O suprafață a spațiului euclidian, prevăzută cu metrica indusă, nu este un spațiu de lungime, decât dacă este total geodezică. Este dacă este prevăzută cu distanța asociată cu metrica Riemanniană indusă. Această situație justifică terminologia alternativă a metricii intrinseci.
Un spațiu de lungime este conectat prin arcuri și conectat local prin arcuri . Acesta este motivul pentru care există spații topologice metrizabile care nu pot fi prevăzute cu o structură de lungime, cum ar fi setul de numere raționale.
Un spațiu metric complet este un spațiu de lungime dacă și numai dacă există „puncte aproape medii”. Cu alte cuvinte
Teorema . Fie ( X , d ) un spațiu metric complet. Este un spațiu de lungime dacă și numai dacă, oricare ar fi x și y în X și , există un z astfel încât ϵ>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}
d(X,z)≤12d(X,y)+ϵșid(y,z)≤12d(X,y)+ϵ.{\ displaystyle d (x, z) \ leq {\ frac {1} {2}} d (x, y) + \ epsilon \ quad {\ hbox {și}} \ quad d (y, z) \ leq { \ frac {1} {2}} d (x, y) + \ epsilon.}
De asemenea, avem următoarea versiune a teoremei Hopf-Rinow .
Teorema . Fie ( X , d ) un spațiu de lungime compact local și complet. Atunci toate bilele închise sunt compacte și orice două puncte x și y
pot fi oricând unite printr-o curbă de lungime d ( x , y ).
Bibliografie
- D. Burago, Y. Burago (ro) și S. Ivanov , un curs de geometrie metrică , studii postuniversitare în matematică 33, Amer. Matematica. Soc.
- H. Busemann, Geometria Geodeziei , Academic Press , New York 1955
- M. Gromov, Metric Strutures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces , Progress in Math. 152, Birkhäuser , Boston 1999
- A. Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 6, European Mathematical Society 2005.
- Herbert Busemann, Opere selectate, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volumul I, 908 p., Editura Springer International, 2018.
- Herbert Busemann, Opere selectate, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volumul II, 842 p., Editura Springer International, 2018.
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">