Seria hipergeometrică

În matematică , o serie hipergeometrică este suma unei secvențe de termeni astfel încât coeficientul termenului cu index $k + 1$ împărțit la termenul cu index $k$ este o funcție rațională a lui $k$ .

Seria, atunci când converge, definește o funcție hipergeometrică care poate fi apoi extinsă la un domeniu mai mare prin extensie analitică . Seria hipergeometrică este în general scrisă după cum urmează:

{\ displaystyle _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1}, \ ldots, b_ {q}; x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {k} x ^ {k}}

unde coeficienții sunt definiți prin inducție:

c_ {0} = 1 {\ text {et}} {\ frac {c _ {{k + 1}}} {c_ {k}}} = {\ frac {(k + a_ {1}) (k + a_ {2}) \ cdots (k + a_ {p})} {(k + b_ {1}) (k + b_ {2}) \ cdots (k + b_ {q})}} \, {\ frac {1} {k + 1}}.

Îl putem scrie și:

{\ displaystyle _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1}, \ ldots, b_ {q}; x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}) _ {k} (a_ {2}) _ {k} \ ldots (a_ {p}) _ {k}} {(b_ {1}) _ { k} (b_ {2}) _ {k} \ ldots (b_ {q}) _ {k}}} \, {\ frac {x ^ {k}} {k!}}}

unde este „ factorialul în creștere” sau simbolul Pochhammer . $(a) _ {k} = a (a + 1) \ ldots (a + k-1) = {\ frac {(a + k-1)!} {(a-1)!}}$

Cazul $2 F 1$ este funcția hipergeometrică obișnuită.

Introducere

O serie hipergeometrică este o serie formală în care coeficientul coeficienților succesivi $α n / α n -1$ este o fracție rațională a $n$ : există polinoame și astfel încât $\ widetilde P (n)$ $\ widetilde Q (n)$

{\ frac {\ alpha _ {n}} {\ alpha _ {{n-1}}}} = {\ frac {\ widetilde P (n)} {\ widetilde Q (n)}}

Deci, de exemplu, în cazul unei serii geometrice , acest coeficient este o constantă. Un alt exemplu este seria Taylor a funcției exponențiale unde

\ alpha _ {n} / \ alpha _ {{n-1}} = z / n.

În practică, seria este scrisă ca o serie generatoare exponențială, modificând coeficienții astfel încât termenul general al seriei să aibă forma

\ alpha _ {n} = \ beta _ {n} z ^ {n} / n! \,

și $β 0 = 1$ . Aici variabila $z$ corespunde unei constante din coeficient . Vom folosi funcția exponențială ca model pentru următoarele. $\ widetilde P / \ widetilde Q$

Multe secvențe interesante din matematică au proprietatea că coeficientul a doi termeni succesivi este o fracție rațională. Cu toate acestea, atunci când este codificat într-o serie de generatoare exponențiale, acesta din urmă are o rază de convergență diferită de zero numai în anumite condiții. Prin convenție, termenul serie hipergeometrică este de obicei rezervat cazului în care seria definește o adevărată funcție analitică cu o rază de convergență strict pozitivă. O astfel de funcție și posibila sa extensie analitică se numește funcție hipergeometrică .

Condițiile de convergență au fost date de Carl Friedrich Gauss , în cazul: care corespunde seriei clasice hipergeometrice standard ${\ frac {\ beta _ {n}} {\ beta _ {{n-1}}}} = {\ frac {(n + a) (n + b)} {(n + c)}},$

\, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z).

Evaluare

Notația standard pentru seria hipergeometrică generală este

{\ displaystyle _ {p} F_ {q}}

unde numerele întregi $p$ și $q$ sunt gradele polinoamelor $P$ și $Q$ din coeficient

{\ frac {\ beta _ {n}} {\ beta _ {{n-1}}}} = {\ frac {P (n)} {Q (n)}}.

Dacă $p > q +1$ , raza de convergență este zero și nu există o funcție analitică asociată. Seria se termină la sfârșitul unui număr finit de termeni dacă vreodată $P ( n )$ dispare într-un număr natural $n$ . Dacă $Q ( n )$ este zero, termenii secvenței nu sunt definiți.

Notația completă $F$ presupune că $P$ și $Q$ sunt unitare și luate, astfel încât acesta cuprinde o $p$ -tuple este o listă de zerouri $P$ și $q$ -tuple celor ale $Q$ . Prin teorema fundamentală a algebrei, aceasta nu este într-adevăr o restricție. Mai mult, se pot absorbi și coeficienții dominanți ai lui $P$ sau $Q$ schimbând $z$ . În această formă, termenul general al secvenței este un produs de coeficienți ai simbolurilor Pochhammer . Deoarece factorul de rating pentru Pochhammer de jos este tradițional, este mai convenabil să indice $F$ prin liste de zerouri opuse ale $P$ și $Q$ . Astfel, avem

\, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n}}} \, {\ frac {z ^ {n}} {n!}} \ quad {\ mathrm {o {\ grave u}}} \ quad (a) _ {n} = a (a + 1) (a + 2) ... (a + n-1).

În acest exemplu, zerourile lui $P$ sunt $- a$ și $- b$ , iar zeroul lui $Q$ este $- c$ .

Cazuri speciale

Unele funcții obișnuite pot fi exprimate ca serii hipergeometrice:

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {z} = {} _ {0} F_ {0} (;; z), \ quad \ cosh z = {} _ {0} F_ {1} \ left (; { \ cfrac {1} {2}}; {\ cfrac {z ^ {2}} {4}} \ right), \ quad \ sinh z = z \ _ {0} F_ {1} \ left (; {\ cfrac {3} {2}}; {\ cfrac {z ^ {2}} {4}} \ right), \ quad (1-z) ^ {- a} = {} _ {1} F_ {0} (a ;; z)}

Funcțiile Kummer $1 F 1 ( a , b ; z )$ sunt funcțiile hipergeometrice confluente .

Vezi și cazurile particulare ale lui $2 F 1$ și teorema hipergeometrică a lui Gauss .

Următoarea formulă implică coeficienții binomiali centrali (în) :

{\ displaystyle 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {k} {\ binom {2n} {n}}}} = {_ {k + 1} F_ {k} \ left (1, \ dots, 1; {\ tfrac {3} {2}}, 2, \ dots, 2; {\ tfrac {1} {4}} \ right)}}

Istorie și generalizări

Lucrările XIX E secol includ pe cele ale Ernst Kummer și caracterizarea fundamentală de Bernhard Riemann a funcției $F$ prin intermediul ecuației diferențiale care verifică. Riemann a demonstrat că ecuația diferențială de ordinul doi (în variabila $z$ ) pentru $F$ , considerată în planul complex, ar putea fi caracterizată (pe sfera Riemann ) prin cele trei singularități sale regulate (în) : că întreaga parte algoritmică a teoriei a fost o consecință a rezultatelor de bază și a utilizării transformărilor Möbius ca grup de simetrie.

Ulterior, seriile hipergeometrice au fost generalizate în cazul mai multor variabile complexe, de exemplu de Paul Appell , dar o teorie generală comparabilă a durat să apară. Au fost descoperite multe identități, dintre care unele sunt remarcabile. Au fost găsiți analogi cu un parametru $q$ . În timpul XX - lea secol, funcțiile hipergeometrice au format o parte activă a matematicii combinatorii, cu multe interacțiuni cu alte domenii. Există mai multe definiții noi ale generalizărilor funcțiilor hipergeometrice, în special de Kazuhiko Aomoto (en) și Israel Gelfand . Există aplicații la combinatoria aranjamentelor hiperplane.

Putem defini serii hipergeometrice pe spații Riemanniene simetrice și pe grupuri de Lie semi-simple . Importanța lor este arătată în următorul exemplu: seria hipergeometrică $2 F 1$ este foarte apropiată de polinoamele Legendre și exprimă, văzută ca o armonică sferică , proprietățile simetriei sferei Riemann .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Funcția hipergeometrică ” ( vezi lista autorilor ) .

(în) Eric W. Weisstein , „ Central Binomial Coefficient ” pe MathWorld .

Vezi și tu

Bibliografie

Paul Appell și Joseph Kampé de Fériet , Funcții hipergeometrice și hipersferice , Gauthier-Villars , Paris, 1926
Édouard Goursat , „Memorie despre funcțiile hipergeometrice de un ordin superior”, în Analele științifice ale École normale supérieure , Sér. 2, vol. 12, 1883
- p. 261-286
- (a doua parte) p. 395-430
Pascal Maroni, Funcții hipergeometrice - Funcții Bessel , Tehnici de inginerie, Document A160, 1997

Articole similare

Link extern

(ro) Eric W. Weisstein , „ Funcția hipergeometrică generalizată ” , pe MathWorld