Simbolul Pochhammer
În matematică , simbolul Pochhammer este o funcție specială utilizată în combinatorică și în teoria funcțiilor hipergeometrice . Această notație a fost introdusă de Leo Pochhammer . Se utilizează pentru a indica factorialul în creștere sau factorul în scădere.
Evaluare
Simbolul care reprezintă această funcție este utilizat în mai multe variante:
X(nu){\ displaystyle x ^ {(n)}} (printre altele în combinatorică)
(X)nu{\ displaystyle (x) _ {n}}sau (în analiză)
(X,nu){\ displaystyle (x, n)}
(Xnu){\ displaystyle (x ^ {n})} (alte utilizări)
În teoria funcției speciale , denotăm factorialul în creștere
(X)nu{\ displaystyle (x) _ {n} \,}
(X)nu=X(X+1)(X+2)⋯(X+nu-1){\ displaystyle (x) _ {n} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1)},
în timp ce același simbol este utilizat în combinatorică pentru a reprezenta factorialul descrescător
(X)nu=X(X-1)(X-2)⋯(X-nu+1)=LAXnu{\ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = A_ {x} ^ {n}}.
Pentru a evita confuzia, folosim frecvent - și se va face aici - simbolul factorialului crescător și
al factorului descrescător.
X(nu){\ displaystyle x ^ {(n)}}(X)nu{\ displaystyle (x) _ {n}}
În cele din urmă, există alte două notații introduse de Ronald L. Graham , Donald Knuth și Oren Patashnik în cartea lor Concrete Mathematics , notații care se întorc, respectiv, la A. Capelli (1893) și L. Toscano (1939). Ei scriu
Xnu¯=(X+nu-1)!(X-1)!{\ displaystyle x ^ {\ overline {n}} = {\ frac {(x + n-1)!} {(x-1)!}}},
pentru factorialul în creștere și
Xnu_=X!(X-nu)!{\ displaystyle x ^ {\ underline {n}} = {\ frac {x!} {(xn)!}}}pentru factorialul descrescător.
Exemple (cu notațiile utilizate în combinatorică):
- (9)4=94_=9×8×7×6=LA94{\ displaystyle (9) _ {4} = 9 ^ {\ underline {4}} = 9 \ times 8 \ times 7 \ times 6 = A_ {9} ^ {4}}
- 9(4)=94¯=9×10×11×12{\ displaystyle 9 ^ {(4)} = 9 ^ {\ overline {4}} = 9 \ ori 10 \ ori 11 \ ori 12}
Definiție și utilizare (notații utilizate în combinatorică)
Observăm
X(nu)=X(X+1)(X+2)⋯(X+nu-1){\ displaystyle x ^ {(n)} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1)}factorialul în creștere și
(X)nu=X(X-1)(X-2)⋯(X-nu+1){\ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1)}factorialul descrescător.
Dacă și sunt numere întregi, avem:
X{\ displaystyle x}nu{\ displaystyle n}
X(nu)=(X+nu-1)!(X-1)!{\ displaystyle x ^ {(n)} = {(x + n-1)! \ over (x-1)!}} pentru factorialul în creștere și
(X)nu=X!(X-nu)!{\ displaystyle (x) _ {n} = {x! \ over (xn)!}} pentru factorialul descrescător.
Produsul gol sau este definit ca fiind egal cu 1 în ambele cazuri. Putem extinde definiția la valori non-întregi ale lui n prin
X(0){\ displaystyle x ^ {(0)}}(X)0{\ displaystyle (x) _ {0}}
X(nu)=Γ(X+nu)Γ(X){\ displaystyle x ^ {(n)} = {\ Gamma (x + n) \ over \ Gamma (x)}} pentru factorialul în creștere,
(X)nu=Γ(X+1)Γ(X-nu+1){\ displaystyle (x) _ {n} = {\ Gamma (x + 1) \ over \ Gamma (x-n + 1)}} pentru factorialul descrescător.
Conform proprietăților funcției Gamma , această definiție este în concordanță cu cea pentru valorile întregi ale lui n .
Proprietăți
Factorii în creștere și în scădere sunt legați de coeficienții binomiali prin următoarele relații:
X(nu)nu!=(X+nu-1nu)=ΓnuXși(X)nunu!=(Xnu)=VSXnu.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {(n)}} {n!}} = {x + n-1 \ alege n} = \ Gamma _ {n} ^ {x} \ quad {\ mbox {și} } \ quad {\ frac {(x) _ {n}} {n!}} = {x \ alege n} = C_ {x} ^ {n}.}Prin urmare, multe identități pe coeficienți binomiali duc la factori crescători sau descrescători.
Un factorial în creștere este exprimat ca un factor în descreștere de la celălalt capăt:
X(nu)=(X+nu-1)nu.{\ displaystyle x ^ {(n)} = {(x + n-1)} _ {n}.}Acesta este un caz special al relației:
(-X)(nu)=(-1)nu(X)nu.{\ displaystyle {(-x)} ^ {(n)} = {(- 1)} ^ {n} {(x)} _ {n}.}între factorii crescători și descrescători.
Observați că factorialele crescătoare și descrescătoare sunt definite în orice inel , astfel încât elementul poate fi de exemplu un număr complex, un polinom sau orice funcție cu valoare complexă.
X{\ displaystyle x}
Legătură cu calculul ombral
Factorialul descrescător apare într-o formulă care permite reprezentarea unui polinom folosind operatorul de diferență , care este similar cu formula lui Taylor în analiză . În această formulă, factorialul descrescător joacă rolul, în calculul diferențelor finite , al monomiului în calcul diferențial. Rețineți, de exemplu, asemănarea dintre
Δ{\ displaystyle \ Delta}(X)k{\ displaystyle (x) _ {k}}Xk{\ displaystyle x ^ {k}}
Δ((X)k)=k⋅(X)(k-1){\ displaystyle \ Delta ((x) _ {k}) = k \ cdot (x) _ {(k-1)}}și de
D(Xk)=k⋅Xk-1{\ displaystyle D (x ^ {k}) = k \ cdot x ^ {k-1}}unde denotă operatorul derivat al polinoamelor . Studiul analogiilor de acest tip este cunoscut sub numele de calcul ombral . O teorie generală care acoperă astfel de relații este dată de teoria secvenței lui Sheffer . Factorii în creștere și în scădere sunt astfel de secvențe și verifică:
D{\ displaystyle D}
(la+b)(nu)=∑j=0nu(nuj)(la)(nu-j)(b)(j){\ displaystyle (a + b) ^ {(n)} = \ sum _ {j = 0} ^ {n} {n \ alege j} (a) ^ {(nj)} (b) ^ {(j) }}
(la+b)nu=∑j=0nu(nuj)(la)nu-j(b)j{\ displaystyle (a + b) _ {n} = \ sum _ {j = 0} ^ {n} {n \ alege j} (a) _ {nj} (b) _ {j}}
Coeficienți de conexiune
Deoarece factorialele descrescătoare formează o bază a inelului de polinoame, putem exprima produsul a două factoriale ca o combinație liniară de factoriale. Formula este:
(X)m(X)nu=∑k=0m(mk)(nuk)k!(X)m+nu-k.{\ displaystyle (x) _ {m} (x) _ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {m \ choose k} {n \ choose k} k! \, (x) _ {m + nk}.}Coeficienții lui sunt numiți coeficienți de conexiune . Au o interpretare combinatorie: este numărul de moduri de a fuziona elemente luate într-un set de elemente și elemente luate într-un set de elemente.
(X)m+nu-k{\ displaystyle (x) _ {m + nk}}k{\ displaystyle k}m{\ displaystyle m}k{\ displaystyle k}nu{\ displaystyle n}
q - simbol Pochhammer
Există un echivalent al simbolului în Pochhammer q -Series : a q -symbol Pochhammer , definit după cum urmează.
(la;q)nu=∏k=0nu-1(1-laqk)=(1-la)(1-laq)(1-laq2)⋯(1-laqnu-1){\ displaystyle (a; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1- aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {n-1})}
cu
(la;q)0=1{\ displaystyle (a; q) _ {0} = 1}.
Referințe
-
Ronald L. Graham , Donald Knuth și Oren Patashnik ( trad. Alain Denise), Matematică concretă: fundamentele pentru informatică , Vuibert , col. „Vuibert informatique”,2003, A 2 -a ed. , 687 p. ( ISBN 978-2-7117-4824-2 ).
-
Donald E. Knuth , The Art of Computer Programming (vol. 1) , p. 50.
-
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia în limba engleză intitulat „ Pochhammer symbol ” ( vezi lista autorilor ) .
-
(ro) Larry C. Andrews și Ronald L. Phillips, Tehnici matematice pentru ingineri și oameni de știință , 2003
Link extern
(ro) Eric W. Weisstein , „ Pochhammer Symbol ” , pe MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">