Spațiul simetric

În matematică și mai precis în geometria diferențială , un spațiu (local) simetric denotă în mod obișnuit o varietate Riemanniană pentru care tensorul Riemann are o derivată covariantă zero. Această condiție o generalizează pe cea a „ spațiului cu o curbură constantă (în) ” și nu trebuie confundată cu aceasta (deoarece pentru aceasta din urmă este curbura secțională care este constantă). Spațiile simetrice au fost introduse și clasificate de Élie Cartan în anii 1920. Au mai multe caracterizări echivalente, în special faptul că în fiecare punct, aplicarea simetriei de-a lungul geodeziei constituie o izometrie (locală). Structura globală a spațiilor simetrice complete este, de asemenea, bine cunoscută, acestea sunt spații omogene , cote ale grupurilor Lie .

Spațiile simetrice constituie un cadru natural pentru a generaliza analiza armonică clasică pe sfere .

Într-un sens mai larg, un spațiu simetric este o varietate diferențială dotată, în fiecare punct, cu o involutie al cărei punct este un punct fix izolat și care îndeplinește anumite condiții. Atunci când nu există riscul de confuzie, spațiile Riemanniene simetrice sunt pur și simplu numite spații simetrice.

Spațiile cu curbură constantă, majoritatea spațiilor omogene uzuale de geometrie diferențială sunt fie spații simetrice (Riemannian sau nu), fie ceea ce numim varietăți generalizate de steaguri (generalizarea spațiilor proiective, Grassmannieni, cvadricele proiective).

Spații Riemanniene simetrice

Caracter local simetric

În geometria Riemanniană , o varietate Riemanniană $(M, g)$ are o conexiune canonică: conexiunea Levi-Civita , care permite derivarea tensorilor tuturor ordinelor. În vecinătatea fiecărui punct $x$ , putem considera aplicarea simetriei geodezice care face ca două puncte de coordonate opuse să corespundă pe harta exponențială . A priori este definit doar local (atâta timp cât geodezica există de ambele părți). $\ sigma_x$

Soiul se spune că este local simetric atunci când se verifică una dintre următoarele două proprietăți echivalente:

tensorul curbura este paralelă, adică a derivatului covariantă la zero . ${\ displaystyle \ nabla R = 0}$
sau, pentru fiecare punct $x$ , este o izometrie locală $\ sigma_x$

Putem oferi o justificare schematică a echivalenței. Pe de o parte, dacă simetria geodezică este o izometrie, ea se schimbă la opus, deoarece este un tensor de rang 5 și, pe de altă parte, o păstrează, deoarece este un invariant riemannian. Prin urmare, este zero. În schimb, dacă această derivată este zero, putem deduce din ea ecuația de evoluție a câmpurilor Jacobi de -a lungul geodeziei: au o normă constantă și deducem caracterul izometric al lui . ${\ displaystyle \ nabla R}$ $\ sigma_x$

Caracter simetric

Când colectorul este complet, prin teorema Hopf-Rinow , fiecare hartă exponențială și, prin urmare, fiecare simetrie geodezică, este definită global. Numim spațiul simetric o varietate Riemanniană locală, simetrică, astfel încât simetriile geodezice să fie izometrii (de data aceasta în sens global).

În mod echivalent, o varietate Riemanniană $(M, g)$ se spune că este simetrică atunci când, pentru orice punct x al lui M , există o izometrie care verifică: ${\ displaystyle \ sigma _ {x}: M \ to M}$

${\ displaystyle \ sigma _ {x} (x) = x}$ ;
${\ displaystyle d \ sigma _ {x} (x) = - Id}$ .

Această izometrie se numește involuție în x . Există apoi o singură simetrie adecvată în x : găsim simetria geodezică. $\ sigma_x$

Un colector local simetric, complet și simplu conectat este simetric. Cu toate acestea, există spații simetrice la nivel local care nu sunt incluse într-un spațiu simetric (chiar și cu ipoteza conectivității simple): acesta este un fenomen pe care îl observăm deja în cazul spațiilor cu curbură constantă, de exemplu luând acoperirea universală a o sferă din care au fost îndepărtate două puncte antipodale.

Exemple de spații simetrice

Spațiile euclidiene sunt spații Riemanniene simetrice.
Sferele, spațiile eliptice (reale, complexe și cuaternioniene) sunt spații simetrice, de rangul 1.
Multiple Riemanniene cu curbură secțională constantă sunt spații simetrice local.
Spațiile hiperbolice (reale, complexe și cuaternioniene) sunt spații simetrice de rangul 1.
Spațiile Heisenberg sunt spații simetrice.

Clasificarea spațiilor Riemanniene simetrice

Spații Riemanniene simetrice ireductibile conectate pur și simplu de tip compact

Iată spațiile Riemanniene ireductibile simetrice, pur și simplu conectate, de tip compact al căror grup este clasic

SU ( n ) / SO ( n )
SU (2 n ) / Sp ( n )
SU ( p + q ) / S ( U ( p ) × U ( q ))
SO ( p + q ) / ( SO ( p ) × SO ( q ))
Sp ( p + q ) / ( Sp ( p ) × Sp ( q ))
Sp ( n ) / U ( n )
SO (2 n ) / U ( n )
SU ( n )
Sp ( n )
Rotire ( n )

Spații Riemanniene simetrice ireductibile conectate pur și simplu de tip necompact

Iată spațiile Riemanniene simetrice ireductibile, pur și simplu conectate, de tip necompact, al căror grup este clasic

SL ( n , R ) / SO ( n )
SL ( n , H ) / Sp ( n )
SU ( p , q ) / S ( U ( p ) × U ( q ))
SO ( p , q ) / ( SO ( p ) × SO ( q ))
Sp ( p , q ) / ( Sp ( p ) × Sp ( q ))
Sp (2 n , R ) / U ( n )
O ( n , H ) / U ( n )
SL ( n , C ) / SU ( n )
Sp (2 n , C ) / Sp ( n )
SO ( n , C ) / SO ( n )

Spații hermitiene simetrice

Spații r simetrice

Clasificare

Iată clasificarea spațiilor R simetrice ale grupurilor clasice de Lie. Toți admit o interpretare geometrică simplă. De către Lagrangian Grassmannian , trebuie să înțelegem aici varietatea subspaiilor vectoriale de dimensiune n care sunt total izotrope, adică pe care formele sunt anulate identic.

Grassmannieni reali, complexi și cuaternionieni ai indicilor p :
- U ( p + q ) / S ( U ( p ) × U ( q ));
- SO ( p + q ) / S ( O ( p ) × O ( q ));
- Sp ( p + q ) / ( Sp ( p ) × Sp ( q )).
Grassmannieni lagrangieni cu forme quadratice, complexe hermitiene și cuaternioniene reale cu semnătură ( n , n ) (una dintre cele două componente conectate în cazul real):
- ( SO ( n ) × SO ( n )) / SO ( n );
- ( U ( n ) × U ( n )) / U ( n );
- ( Sp ( n ) × Sp ( n )) / Sp ( n ).
Grassmannieni lagrangieni de forme biliniare reale și complexe alternante în dimensiunea 2 n :
- U ( n ) / O ( n );
- Sp ( n ) / U ( n ).
Formele pătratice complexe Lagrangiene Grassmanniene (una dintre cele două componente conectate de fapt) și formele antihermitiene cuaternioniene în dimensiunea 2 n :
- SO (2 n ) / U ( n );
- U (2 n ) / Sp ( n ).
Cadrice proiective reale și complexe:
- ( O ( p ) × O ( q )) / ( O ( 1 ) × O ( p - 1 ) × O ( q - 1 )).
- SO ( n ) / ( SO (2) × SO ( n - 2)).

Aceste interpretări nu sunt intrinseci: ele depind de sistemul de coordonate ales. De exemplu, Grassmannianul indicelui p al unui spațiu vectorial real nu este intrinsec un spațiu simetric, ci devine așa dacă spațiul vectorial este dotat cu un produs scalar euclidian.

Spații simetrice generale

Clasificarea spațiilor simetrice simple

Există (la nivel local) 54 de familii de spații simetrice simple ale grupurilor clasice de Lie simple. Există primele zece familii de spații simetrice complexe simple (de forma G / H , unde G și H sunt grupuri complexe de Lie), și versiunile reale ale acestor spații simetrice complexe. Fiecare dintre cele zece tabele corespunde unei familii de spații simetrice complexe, iar primul rând este cel al spațiului simetric complex corespunzător. Când există două coloane într-un tabel, prima este cea a spațiilor simetrice simple, iar a doua este cea a spațiilor simetrice „reductive” legate de cele din prima coloană: au o interpretare geometrică uneori mai simplă. Rețineți că spațiul simetric al celei de-a doua coloane poate fi canonic izomorf cu cel al primei coloane.

SL ( n , C )	GL ( n , C )
SL ( n , R )	GL ( n , R )
SL ( n , H )	GL ( n , H )
SU ( p , q )	U ( p , q )
SL ( n , C ) / SL ( n , R )	GL ( n , C ) / GL ( n , R )
SL (2 n , C ) / SL ( n , H )	GL (2 n , C ) / GL ( n , H )
SL ( p + q , C ) / SU ( p , q )	GL ( p + q , C ) / U ( p , q )

SL ( n , C ) / SO ( n , C )	GL ( n , C ) / O ( n , C )
SU ( p , q ) / SO ( p , q )	U ( p , q ) / O ( p , q )
SL ( p + q , R ) / SO ( p , q )	GL ( p + q , R ) / O ( p , q )
SL ( n , H ) / O ( n , H )	GL ( n , H ) / O ( n , H )
U ( n , n ) / O ( n , H )	-

SL (2 n , C ) / Sp (2 n , C )	GL (2 n , C ) / Sp (2 n , C )
SL (2 n , R ) / Sp (2 n , R )	GL (2 n , C ) / Sp (2 n , R )
SL ( p + q , H ) / Sp ( p , q )	GL ( p + q , H ) / Sp ( p , q )
SU ( n , n ) / Sp (2 n , R )	U ( n , n ) / Sp (2 n , R )
SU (2 p , 2 q ) / Sp ( p , q )	U (2 p , 2 q ) / Sp ( p , q )

SL ( p + q , C ) / S ( GL ( p , C ) × GL ( q , C ))	GL ( p + q , C ) / ( GL ( p , C ) × GL ( q , C ))
SL ( p + q , R ) / S ( GL ( p , R ) × GL ( q , R ))	GL ( p + q , R ) / ( GL ( p , R ) × GL ( q , R ))
SL ( p + q , H ) / S ( GL ( p , H ) × GL ( q , H ))	GL ( p + q , H ) / ( GL ( p , H ) × GL ( q , H ))
SU ( n , n ) / GL ± ( n , C )	U ( n , n ) / GL ( n , C )
SU ( p + q , r + s ) / S ( U ( p , r ) × U ( q , s ))	U ( p + q , r + s ) / ( U ( p , r ) × U ( q , s ))
SL (2 n , R ) / SL * ( n , C )	GL (2 n , R ) / GL ( n , C )
SL ( n , H ) / SL * ( n , C )	GL ( n , H ) / GL ( n , C )

SO ( n , C )	O ( n , C )
SO 0 ( p , q )	O ( p , q )
O ( n , H )	-
SO ( p + q , C ) / SO ( p , q )	O ( p + q , C ) / O ( p , q )
SO (2 n , C ) / O ( n , H )	O (2 n , C ) / O ( n , H )

SO ( p + q , C ) / S ( O ( p , C ) × O ( q , C ))	O ( p + q , C ) / ( O ( p , C ) × O ( q , C ))
SO ( p + q , r + s ) / S ( O ( p , r ) × O ( q , s ))	O ( p + q , r + s ) / ( O ( p , r ) × O ( q , s ))
O ( p + q , H ) / ( O ( p , H ) × O ( q , H ))	-
SO 0 ( n , n ) / O ( n , C )	O ( n , n ) / O ( n , C )
O ( n , H ) / O ( n , C )	-

SO (2 n , C ) / GL ( n , C )	O (2 n , C ) / GL ( n , C )
SO 0 ( n , n ) / GL + ( n , R )	O 0 ( n , n ) / GL ( n , R )
O (2 n , H ) / GL ( n , H )	-
SO 0 (2 p , 2 q ) / U ( p , q )	O (2 p , 2 q ) / U ( p , q )
O ( p + q , H ) / U ( p , q )	-

Sp (2 n , C )

Sp (2 n , R )

Sp ( p , q )

Sp (2 n , C ) / Sp (2 n , R )

Sp (2 p + 2 q , C )) / Sp ( p , q )

Sp (2 p + 2 q , C ) / ( Sp (2 p , C ) × Sp (2 q , C )

Sp (2 p + 2 q , R ) / ( Sp (2 p , R ) × Sp (2 q , R )

Sp ( p + q , r + s ) / ( Sp ( p , r ) × Sp ( q , s ))

Sp (4 n ) / Sp (2 n , C )

Sp ( n , n ) / Sp (2 n , C )

Sp (2 n , C ) / GL ( n , C )

Sp (2 n , R ) / GL ( n , R )

Sp ( n , n ) / GL ( n , H )

Sp (2 p + 2 q , R ) / U ( p , q )

Sp ( p + q ) / U ( p , q )

Istoric

Teoria și clasificarea spațiilor simetric Riemann sunt opera lui Élie Cartan . Clasificarea spațiilor simetrice semi-simple necompacte se datorează lui Marcel Berger .

Bibliografie

Articole

M. Berger , Despre grupurile holonomice ale varietăților Riemanniene nesimetrice , 1953.
M. Berger, Structura și clasificarea spațiilor omogene simetrice cu un grup izometric semi-simplu , 1955.
M. Berger, Spații simetrice non-compacte , 1957.
M. Berger, Despre unele soiuri compacte Einstein , 1962.

Cărți

( fr ) Arthur Besse , varietăți Einstein , col. "Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete",1987( ISBN 0-387-15279-2 ), în special capitolul 10 secțiunea G.
(ro) S. Helgason (de) , Geometrie diferențială, grupuri de minciuni și spații simetrice , Academic Press, 1978 ( ISBN 0-8218-2848-7 ) . Cartea de referință pe spații simetrice.

Vezi și tu

Besse 1987 , p. 295 și 297
(ro) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry ,2003[ detaliul ediției ], p. 190
(în) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ detaliu ediții ], p. 238 și 241
Berger 2003 , p. 191