Un poliedru uniform este un poliedru ale cărui fețe sunt poligoane regulate și care este izogonală , adică pentru orice pereche de vârfuri, există o izometrie care aplică un vârf celuilalt. Rezultă că toate vârfurile sunt congruente și că poliedrul are un grad ridicat de simetrie prin reflecție și rotație . Noțiunea de poliedru uniform este generalizată, pentru orice număr de dimensiuni, de cea de politop uniform (în) .
Poliedrele uniforme pot fi regulate , cvasi-regulate sau semi-regulate . Fețele nu trebuie să fie convexe , așa că multe poliedre uniforme sunt stelate .
Excluzând cele două seturi infinite de prisme și antiprisme uniforme (inclusiv convexe și stelate), există 75 de poliedre uniforme (sau 76 dacă marginile sunt permise să coincidă):
De asemenea, pot fi grupate după grupul de simetrie , care se face mai jos.
Există patru eforturi majore de indexare publicate din lucrarea de mai sus. Pentru a le distinge, acestea sunt date de diferite litere index, C pentru prima enumerare a solidelor de către Coxeter în 1954, W pentru cartea din 1974 privind modelele de poliedru de Wenninger, K pentru soluția Kaleido din 1993 și U pentru soluția lui Maeder folosită de Mathematica și reproduse pe larg în altă parte.
Poliedrele uniforme convexe pot fi denumite prin operații de construcție Wythoff pe o formă părinte.
Notă : diedrele (en) fac parte dintr-un set infinit de poliedre pe două fețe (2 poligoane identice) care generează prismele ca forme trunchiate.
Fiecare dintre aceste forme convexe definește un set de vârfuri care pot fi identificate pentru formele neconvexe din secțiunea următoare.
Mamă | Trunchiat | Rectificat | Bitronqué (dual trunchiat) |
Birected (dual) |
Tevat | Omni -trunchiat ( Rectificat-trunchiat ) |
Înmuiat | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simbol Schläfli extins |
||||||||
t 0 {p, q} | t 0,1 {p, q} | t 1 {p, q} | t 1,2 {p, q} | t 2 {p, q} | t 0,2 {p, q} | t 0,1,2 {p, q} | s {p, q} | |
Simbolul Wythoff p-q-2 |
q | p 2 | 2 q | p | 2 | pq | 2 p | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pk 2 |
Diagrama Coxeter-Dynkin (variații) | ||||||||
(o) -poqo | (o) -p- (o) -qo | op- (o) -qo | op- (o) -q- (o) | opoq- (o) | (o) -poq- (o) | (o) -p- (o) -q- (o) | () -p- () -q- () | |
xPoQo | xPxQo | oPxQo | oPxQx | oPoQx | xPoQx | xPxQx | sPsQ-uri | |
[p, q]: 001 | [p, q]: 011 | [p, q]: 010 | [p, q]: 110 | [p, q]: 100 | [p, q]: 101 | [p, q]: 111 | [p, q]: 111s | |
Configurare de sus (ro) | p q | (q.2p.2p) | (pqpq) | (p.2q.2q) | q p | (p.4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p.3.q) |
Tetraedru 3-3-2 |
{3.3} |
(3.6.6) |
(3.3.3.3) |
(3.6.6) |
{3.3} |
(3.4.3.4) |
(4.6.6) |
(3.3.3.3.3) |
Octahedral 4-3-2 |
{4.3} |
(3.8.8) |
(3.4.3.4) |
(4.6.6) |
{3,4} |
(3.4.4.4) |
(4.6.8) |
(3.3.3.3.4) |
Icosaedru 5-3-2 |
{5.3} |
(3.10.10) |
(3.5.3.5) |
(5.6.6) |
{3.5} |
(3.4.5.4) |
(4.6.10) |
(3.3.3.3.5) |
Diedru p-2-2 Exemplu p = 5 |
{5.2} | 2.10.10 | 2.5.2.5 |
4.4.5 |
{2.5} | 2.4.5.4 |
4.4.10 |
3.3.3.5 |
Interventie chirurgicala | Simboluri Schläfli extinse |
Diagrama lui Coxeter- Dynkin |
Descriere | |
---|---|---|---|---|
Mamă | t 0 {p, q} | Orice poliedru sau pavaj regulat | ||
Rectificat | t 1 {p, q} | Marginile sunt complet trunchiate în puncte unice. Poliedrul are acum fețele combinate ale părintelui și dualului. | ||
Birected Dual |
t 2 {p, q} | Birectificat (dual) este o trunchiere suplimentară, adică fațele originale sunt reduse la puncte. Fețele noi sunt formate sub fiecare vârf al părintelui. Numărul muchiilor este neschimbat și este rotit cu 90 de grade. Dualul unui poliedru regulat {p, q} este, de asemenea, un poliedru regulat {q, p}. | ||
Trunchiat | t 0,1 {p, q} | Fiecare vârf original este decupat, cu fețe noi care umplu gaura. Trunchierea are un grad de libertate, care are o soluție care creează un poliedru uniform trunchiat. Poliedrul are fețele sale originale dublate de laturi și conține fețele dualului. |
||
Bitronqué | t 1,2 {p, q} | Identic cu dualul trunchiat. | ||
Beveled (sau rhombé) ( dezvoltate ) |
t 0,2 {p, q} | În plus față de trunchierea vârfurilor, fiecare margine originală este planificată dezvăluind în loc de fețe dreptunghiulare noi. Tivul uniform este la jumătatea distanței dintre formele părinte și cele duale. |
||
Omnitroncatură (sau rectificare-trunchiere) |
t 0,1,2 {p, q} | Trunchierea și rectificarea sunt aplicate împreună, creând o formă omnitronată care are fețele părintelui dublate pe laturi, fețele dualului dublate pe laturi și pătrate unde existau marginile originale. | ||
Înmuiat | s {p, q} | Înmuierea ia forma omnitronizată și rectifică vârfurile alternativ (această operațiune este posibilă numai pentru poliedre cu toate fețele pe părți egale). Toate fețele originale se termină cu jumătate din laturi, iar pătratul degenerează în margini. Deoarece formele omnitronizate au 3 fețe / vârf, se formează noi triunghiuri. |
Toate poliedrele uniforme sunt enumerate mai jos după grupurile lor de simetrie și subgrupate după aranjamentele lor de vârf (configurații de vârf).
Poliedrele regulate sunt marcate de simbolurile lor Schläfli . Celelalte poliedre uniforme, neregulate sunt listate după configurațiile lor de vârf (en) sau după indicii poliedrului uniform U (1-80).
Notă : Pentru formele neconvexe , se folosește un descriptor suplimentar, „ neuniform ”, atunci când învelișul convex al aranjamentului vârfului are aceeași topologie ca una dintre ele, dar are fețe neregulate. De exemplu, o formă teșită neuniformă ar putea avea dreptunghiuri create în locul marginilor, mai degrabă decât pătratelor .
Există două poliedre uniforme convexe, tetraedrul și tetraedrul trunchiat , și o formă neconvexă, tetrahememihexaedrul care are simetrie tetraedronă (în) . Tetraedrul este un poliedru autodual .
În plus, octaedrul , octaedrul trunchiat , cuboctaedrul și icosaedrul au simetrie tetraedrică, precum și simetrie superioară. Acestea sunt adăugate pentru completitudine mai jos, deși formele lor neconvexe cu simetrie octaedrică nu sunt incluse aici.
Grupul Summit-ului | Convex | Nu convex | |
---|---|---|---|
(Tetraedru) |
{3.3} |
||
Trunchiat (*) |
(3.6.6) |
||
Rectificat (*) |
{3,4} |
(4.3 / 2.4.3) |
|
Tevit (*) |
(3.4.3.4) |
||
Omni-trasat (*) |
(4.6.6) |
||
Înmuiat (*) |
{3.5} |
Există 8 forme convexe și 10 forme neconvexe cu simetrie octaedrică .
Grupul Summit-ului | Convex | Nu convex | ||
---|---|---|---|---|
(Octaedru) |
{3,4} |
|||
Trunchiat (*) |
(4.6.6) |
|||
Rectificat (*) |
(3.4.3.4) |
(6.4 / 3.6.4) |
(6.3 / 2.6.3) |
|
Dual trunchiat (*) |
(3.8.8) |
(4,8 / 3,4 / 3,8 / 5) |
(8 / 3.3.8 / 3.4) |
(4.3 / 2.4.4) |
Dual (*) |
{4.3} |
|||
Tevit (*) |
(3.4.4.4) |
(4.8.4 / 3.8) |
(8.3 / 2.8.4) |
(8 / 3,8 / 3,3) |
Omni-trasat (*) |
(4.6.8) |
|||
Omisiune neuniformă (*) | (4.6.8) |
(8 / 3.4.6) |
(8 / 3.6.8) |
|
Înmuiat (*) |
(3.3.3.3.4) |
Există 8 forme convexe și 46 de forme neconvexe cu simetrie icosaedrică (sau 47 de forme neconvexe dacă este inclus poliedrul Skilling). Unele forme moi, non-convexe au simetrie chirală neuniformă, iar altele au simetrie achirală.
Există multe forme neuniforme cu diferite grade de trunchiere și teșit.
Grupul Summit-ului | Convex | Nu convex | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
(Icosahedral) |
{3.5} |
{5 / 2.5} |
{5.5 / 2} |
{3.5 / 2} |
|||||
Trunchiat (*) |
(5.6.6) |
||||||||
Trunchiere neuniformă (*) | (5.6.6) |
U32 |
U37 |
U61 |
U38 |
U44 |
U56 |
U67 |
U73 |
Rectificat (*) |
(3.5.3.5) |
U49 |
U51 |
U54 |
U70 |
U71 |
U36 |
U62 |
U65 |
Dual trunchiat (*) |
(3.10.10) |
U42 |
U48 |
U63 |
|||||
Trunchi dublu neuniform (*) | (3.10.10) |
U68 |
U72 |
U45 |
|||||
Dual (*) |
{5.3} |
{5 / 2.3} |
U30 |
U41 |
U47 |
||||
Tevit (*) |
(3.4.5.4) |
U33 |
U39 |
||||||
Teșit neuniform (*) | (3.4.5.4) |
U31 |
U43 |
U50 |
U55 |
U58 |
U75 |
U64 |
U66 |
Omni-trasat (*) |
(4.6.10) |
||||||||
Omisiune neuniformă (*) | (4.6.10) |
U59 |
|||||||
Înmuiat (*) |
(3.3.3.3.5) |
||||||||
Neuniform înmuiat (*) | (3.3.3.3.5) |
U40 |
U46 |
U57 |
U69 |
U60 |
U74 |
Există un poliedru non-convex suplimentar numit dirhombidodecaedru dezafectat , cunoscut și sub numele de poliedru Skilling. Există vârfuri uniforme, dar perechile de margini coincid în spațiu astfel încât patru fețe se întâlnesc la unele vârfuri. Uneori, dar nu întotdeauna, este considerat ca un poliedru uniform. Are I h simetrie .
Există două seturi infinite de poliedre uniforme cu simetrie diedrică :
Dacă p / q este un număr întreg , adică dacă q = 1, prisma sau antiprisma sunt convexe (fracția este întotdeauna presupusă a fi ireductibilă).
Diferența dintre grupurile de simetrie prismatică și anti-prismatică constă în faptul că D p h are un plan de reflexie paralel cu poligonul {p / q}, în timp ce D p d nu.
Un antiprism cu p / q <2 este traversat ; figura sa superioară seamănă cu o papion. Dacă p / q ≤ 3/2, nu poate exista niciun antiprism, deoarece figura sa de vârf ar încălca inegalitatea triunghiulară .
Notă : tetraedrul , cubul și octaedrul sunt listate aici cu simetrie diedrică (ca antiprismă digonală , prismă tetragonală și respectiv antiprismă trigonală ); deși uniform colorate, prima are și simetrie tetraedrică, iar celelalte două au simetrie octaedrică.
Simetrie de grup |
Convex | Nu convex | |||
---|---|---|---|---|---|
d 2d |
3.3.3 |
||||
d 3h |
3.3.4 |
||||
d 3d |
3.3.3.3 |
||||
d 4h |
4.4.4 |
||||
d 4d |
3.3.3.4 |
||||
d 5h |
4.4.5 |
4.4.5 / 2 |
3.3.3.5/2 |
||
d 5d |
3.3.3.5 |
3.3.3.5/3 (ro) |
|||
d 6h |
4.4.6 |
||||
d 6d |
3.3.3.6 |
||||
d 7h |
4.4.7 (in) |
4.4.7 / 2 (in) |
4.4.7 / 3 (in) |
3.3.3.7/2 (in) |
3.3.3.7/4 (ro) |
d 7d |
3.3.3.7 (in) |
3.3.3.7/3 (ro) |
|||
d 8h |
4.4.8 |
4.4.8 / 3 (in) |
|||
d 8d |
3.3.3.8 |
3.3.3.8/3 (ro) |
3.3.3.8/5 (in) |
||
d 9h |
4.4.9 (in) |
4.4.9 / 2 și 4.4.9 / 4 (in) |
3.3.3.9/2 și 3.3.3.9/4 (ro) |
||
d 9d |
3.3.3.9 (in) |
3.3.3.9/5 | |||
d 10h |
4.4.10 |
4.4.10 / 3 | |||
d 10d |
3.3.3.10 |
3.3.3.10/3 | |||
d 11h |
4.4.11 |
4.4.11 / 2 4.4.11 / 3 4.4.11 / 4 4.4.11 / 5 |
3.3.3.11/2 3.3.3.11/4 3.3.3.11/6 |
||
d 11d | 3.3.3.11 | 3.3.3.11/3 3.3.3.11/5 3.3.3.11/7 |
|||
d 12h |
4.4.12 |
4.4.12 / 5 | 3.3.3.12/7 | ||
d 12d |
3.3.3.12 |
3.3.3.12/5 | |||
... |