Deschis închis

În topologie , un deschis-închis este un subset al unui spațiu topologic X care este atât deschis, cât și închis . Poate părea contraintuitiv că există astfel de seturi, deoarece în sensul obișnuit, „deschis” și „închis” sunt antonime . Dar în sens matematic , aceste două noțiuni nu se exclud reciproc : o parte din X se spune că este închisă dacă complementul său din X este deschis, prin urmare un deschis-închis este pur și simplu un deschis al cărui complement este de asemenea deschis.

Exemple

În orice spațiu topologic X , setul gol și întregul spațiu X sunt ambele deschise-închise.

Un spațiu este discret dacă și numai dacă toate părțile sale sunt deschise-închise.

Într-o partiție a unui spațiu deschis, toate elementele partiției sunt deschise-închise, precum și orice întâlnire (posibil infinită) a unor astfel de elemente. De exemplu :

în spațiul X = ] 0, 1 [ ∪] 2, 3 [(prevăzut cu topologia indusă de topologia obișnuită a lui ℝ ), cele două deschise] 0, 1 [și] 2, 3 [sunt complementare una pe cealaltă , prin urmare, sunt, de asemenea, închise;
în spațiul rațional ℚ (înzestrat cu topologia indusă de cea a lui ℝ), cele două mulțimi și sunt deschise-închise; ${\ displaystyle \ {r \ in \ mathbb {Q} \ mid r ^ {2}> 2 \}}$ ${\ displaystyle \ {r \ in \ mathbb {Q} \ mid r ^ {2} <2 \}}$
într-un spațiu conectat local X , orice uniune a componentelor conectate ale lui X este deschis-închis;
într-un grup topologic , orice subgrup deschis este, de asemenea, închis.

Într-un scor închis (cum ar fi componentele conectate), dacă scorul este finit, atunci părțile sunt încă deschise-închise. De exemplu: într-un grup topologic, orice subgrup închis de index finit este un deschis-închis.

Proprietăți

Un spațiu X este numit conectat în cazul în care sa deschis-închis doar sunt ∅ și X .
Un spațiu care nu este gol se spune că este zero-dimensional dacă deschiderea-închisul său formează o bază deschisă .
O parte este deschisă-închisă dacă și numai dacă limita ei este goală.
Orice deschis-închis X este o întâlnire (eventual infinit) componente conexe X .
Deschis închis X formează o sub algebra booleană a setului de subseturi de X . Conform unei teoreme a Pietrei , orice algebră booleană poate fi obținută în acest mod, pentru un anumit spațiu compact X și de dimensiune zero (deci complet discontinuu ).

Note și referințe

( fr ) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia în engleză intitulat „ Clopen set ” ( vezi lista autorilor ) .

În plus, o parte nu este adesea nici deschisă, nici închisă.
N. Bourbaki , Elements of math, carte III: Topologie generală [ detaliile edițiilor ], p. I.5 , previzualizare pe Google Cărți .

Link extern

(ro) Sidney A. Morris, „ Topologie fără lacrimi ” ,2011