Spațiu total discontinuu
În matematică , mai exact în topologie , un spațiu total discontinuu este un spațiu topologic care este „cel mai puțin conectat posibil” în sensul că nu are parte conectată non-trivială: în orice spațiu topologic, mulțimea goală și singletonii sunt înrudite ; într-un spațiu total discontinuu, acestea sunt singurele părți conectate.
Un exemplu popular de spațiu total discontinuu este setul Cantor . Un alt exemplu, important în teoria numerelor algebrice , este câmpul Q p al numerelor p-adice .
Definiție
Un spațiu topologic X este complet discontinuu dacă componenta conectată a oricărui punct x al lui X este singletonul { x }.
Exemple
Următoarele spații sunt complet discontinue:
- toate spațiile total separate (adică în care două puncte distincte pot fi întotdeauna separate de un deschis-închis ), în special
- teepee Cantor lipsit de partea superioară (total deconectată , dar nu complet separat).
Proprietăți
- Subspatiile, spatiile de produs si coprodusele spatiilor total discontinue sunt total discontinue.
- Un spațiu total discontinuu este întotdeauna T 1 , deoarece singletonii săi sunt închise.
- O imagine continuă a unui spațiu total discontinuu nu este neapărat total discontinuă (de exemplu: orice compact metrizabil este o imagine continuă a spațiului Cantor).
- Un spațiu compact local este complet discontinuu dacă și numai dacă este de dimensiune zero.
- Un spațiu compact este complet discontinuu dacă și numai dacă este complet separat, și dacă și numai dacă este spațiul de piatră S ( B ) al algebrei booleene B (punctele lui S ( B ) sunt ultrafiltrele de pe B care nu conțin 0 , iar o bază deschisă constă din { x ∈ S ( B ) | b ∈ x }, pentru elementul b al lui B ); S ( B ) este extrem de discontinuu ( adică aderența tuturor deschise este deschisă) dacă și numai dacă B este completă ;
- Orice spațiu metrizabil complet discontinuu este homeomorf pentru un subspatiu al unui produs numărabil din spații discrete.
- Pentru orice spațiu topologic X , spațiul componentelor conectate ale lui X este „cel mai mare” coeficient al lui X care este total discontinuu, în sensul că este inițial printre astfel de coeficienți.
Note și referințe
-
(ro) Lynn Arthur Steen și J. Arthur Seebach, Jr. , contraexemple în topologie , Dover ,1995( 1 st ed. Springer , 1978) ( citit on - line ) , p. 32-33.
-
(în) P. Erdős, „ Dimensiunea punctului rațional în spațiul Hilbert ” , Ann. Matematica. , 2 nd serii, voi. 41,1940, p. 734-736 ( citește online ).
-
(în) Michel Coornaert, Dimensiunea topologică și sistemele dinamice , Springer,2015( DOI 10.1007 / 978-3-319-19794-4 , citit online ) , cap. 5.1.
-
(în) Jan J. Dijkstra, „ Un criteriu pentru spațiile Erdős ” , Proc. Edinb. Matematica. Soc. , 2 nd serii, voi. 48, n o 3,2005, p. 595-601 ( citiți online ).
-
Steen și Seebach , contraexemple 127 (subspațiul zăbrelei lui Roy) .
-
(în) Andrew M. Gleason , „ Spații topologice proiective ” , Illinois J. Math. , vol. 2, n o 4A,1958, p. 482-489 ( citiți online ).
Articol asociat
Grup complet deconectat (en)