Nucleul reproducător spațiul Hilbert

În analiza funcțională , un nucleu de reproducere a spațiului Hilbert este un spațiu Hilbert de funcții pentru care toate hărțile sunt forme liniare continue . În mod echivalent, există spații care pot fi definite prin reproducerea nucleelor . Subiectul a fost dezvoltat inițial și simultan de Nachman Aronszajn și Stefan Bergman în 1950. Reproducerea spațiilor Hilbert din nucleu este uneori menționată prin acronimul din titlul englez RKHS , pentru Reproducing Kernel Hilbert Space . $f \ mapsto f (x)$

În acest articol, presupunem că spațiile Hilbert sunt complexe . Motivul principal este că există multe exemple de reproducere a spațiilor Hilbert care sunt spații cu funcții analitice complexe , chiar dacă există spații Hilbert reale care au nuclee reproducătoare.

Un subset important de spații Hilbert de reproducere a nucleului sunt spațiile Hilbert de reproducere asociate cu un nucleu continuu. Aceste spații au aplicații importante în domeniile analizei complexe , mecanicii cuantice , statisticii , analizei armonice și învățării automate .

Definiție

Sau X un set arbitrar și H un spațiu Hilbert de funcții complexe evaluate pe X . Spunem că H este un nucleu de spațiu Hilbert care reproduce dacă pentru tot x în X , forma liniară

L _ {{x}}: f \ mapsto f (x)

de H în este continuu. Conform teoremei de reprezentare a lui Riesz , aceasta implică faptul că pentru tot x în X , există un element unic K x al lui H cu proprietatea că: $\ mathbb {C}$

f (x) = \ langle f, \ K_ {x} \ rangle \ quad \ forall f \ in H \ quad (*).

Funcția K x se numește funcția de evaluare în punctul x .

Deoarece H este un spatiu functional, elementul K x este ea însăși o funcție definită peste X . Definim funcția prin $K: X \ times X \ to {\ mathbb {C}}$

K (x, y) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ overline {K_ {x} (y)}.

Această funcție se numește nucleul de reproducere pentru spațiul Hilbert H și este determinată în totalitate de H deoarece teorema reprezentării Riesz garantează, pentru toate x în X , că elementul K x care îndeplinește (*) este unic.

Exemple

De exemplu, dacă X este finit și H este format din toate funcțiile cu valoare complexă peste X , atunci un element al lui H poate fi reprezentat printr-o matrice coloană de numere complexe. Dacă folosim produsul scalar canonic hermitian , atunci K x este funcția care valorează 1 în x și 0 în altă parte și K nu este alta decât matricea de identitate deoarece K ( x , y ) = 1 dacă x = y și K ( x , y ) = 0 în caz contrar. În acest caz, H este izomorf pentru . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

Un exemplu mai sofisticat este spațiul Bergman H 2 (D) al funcțiilor pătrate holomorfe integrabile pe unitatea de disc D. Putem arăta că nucleul de reproducere pentru H 2 (D) este

K (x, y) = {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {1} {(1-x \ overline {y}) ^ {2}}}.

Acest nucleu este un exemplu de nucleu Bergman , numit după Stefan Bergman .

Proprietăți

Proprietăți de bază

Din discuția de mai sus reiese clar că

K (x, y) \; = \; \ overline {K_ {x} (y)} \; = \; \ langle K_ {y}, K_ {x} \ rangle.

În special,

K (x, x) \; = \; \ langle K_ {x}, K_ {x} \ rangle \; \ geq \; 0, \ quad \ forall x \ in X.

Rețineți că

K_ {x} \; = \; 0 \ quad {\ text {dacă și numai dacă}} \ quad f (x) = 0 \ quad \ forall \; f \ în H.

Suitele ortonormale

Dacă este o bază Hilbert a lui H , atunci $\ textstyle \ left \ {\ phi _ {{k}} \ right \} _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}}$

K \ left (x, y \ right) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} \ phi _ {{k}} \ left (x \ right) \ overline {\ phi _ { {k}} \ left (y \ right)}.

Teorema lui Moore-Aronszajn

În secțiunile anterioare, am definit o funcție de nucleu dintr-un spațiu Hilbert de reproducere a nucleului. Din definiția unei forme hermitiene rezultă că nucleul pe care l-am definit este simetric și pozitiv definit (în) . Teorema Moore-Aronszajn afirmă că fiecare nucleu simetric definit pozitiv definește un spațiu Hilbert unic cu nucleu reproducător. Teorema apare prima dată în articolul lui Aronszajn Teoria reproducerii miezurilor , deși el o atribuie lui EH Moore .

Teorema - Dacă K este un nucleu definit simetric și pozitiv peste setul E , atunci există un spațiu Hilbert unic de funcții peste E pentru care K este un nucleu de reproducere.

Demonstrație

Pasul 1 : construirea unui spațiu preilbertian $H_0$

Definirea, pentru fiecare x în E , . Lăsați spațiul vectorial generat de funcțiile Definiți un produs Hermitian pe : $K_ {x} = K (x, \ cdot)$ $H_ {0} = {\ mathrm {Vect}} (\ {K_ {x}: \ x \ în E \})$ $K_ {x}$ $H_0$

$\ left \ langle f, g \ right \ rangle _ {{H_ {0}}} = \ left \ langle \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} b_ {j} K _ {{y_ {j }}}, \ sum _ {{i = 1}} ^ {m} a_ {i} K _ {{x_ {i}}} \ right \ rangle _ {{H_ {0}}} = \ sum _ { {i = 1}} ^ {m} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} \ overline {a_ {i}} b_ {j} K (y_ {j}, x_ {i}).$

Simetria acestui produs rezultă din simetria lui K, iar nedegenerarea rezultă din faptul că K este pozitiv definit. Spațiul vectorial furnizat cu produsul scalar este, prin urmare, prehilbertian. $H_0$ $\ left \ langle.,. \ right \ rangle _ {{H_ {0}}}$

Trebuie remarcat un punct particular: reprezentările și nu sunt unice a priori în ! Putem arăta că produsul punct nu depinde de această reprezentare. Într-adevăr : $f$ $g$ $H_0$

$\ left \ langle f, g \ right \ rangle _ {{H_ {0}}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {m} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} \ overline {a_ {i}} b_ {j} K (y_ {j}, x_ {i}) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {m} \ overline {a_ {i}} \ left (\ sum _ {{j = 1}} ^ {n} b_ {j} K (y_ {j}, x_ {i}) \ right) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {m} \ overline { a_ {i}} f (x_ {i}).$

Deci produsul scalar va depinde doar de valorile luate de puncte și nu de . Raționamentul este același pentru . $f$ $x_ {i}$ $B j$ $g$

Pasul 2 : Construirea unui finalizat din interior $H$ $H_0$ ${\ mathbb {C}} ^ {E}$

Fie o secvență Cauchy în și . $(f_ {n}) _ {n}$ $H_0$ $x \ în E$

$\ left | f_ {n} (x) -f_ {m} (x) \ right | = \ left | \ left \ langle f_ {n} -f_ {m}, K_ {x} \ right \ rangle _ {{ H_ {0}}} \ right | \ leq \ left \ | f_ {n} -f_ {m} \ right \ | _ {{H_ {0}}} \ times {\ sqrt {K (x, x)} }$

Continuarea este deci de la Cauchy de . Deci, există o limită simplă a secvenței de funcții din . $(f_ {n} (x)) _ {n}$ $\ mathbb {R}$ $f$ $(f_ {n}) _ {n}$ ${\ mathbb {C}} ^ {E}$

Acum să introducem un spațiu nou:

$H = \ left \ {f: E \ rightarrow {\ mathbb {R}} ~ | ~ \ există (f_ {n}) _ {n} {\ text {de la Cauchy în}} H_ {0}, \ lim _ {{n \ to \ infty}} f_ {n} = f \ right \}$

Prin construcție și este în mod clar un spațiu vector, pe care putem defini următorul produs scalar: $H_ {0} \ subset H$ $H$

$\ left \ langle f, g \ right \ rangle _ {H} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ left \ langle f_ {n}, g_ {n} \ right \ rangle _ {{H_ { 0}}}$

Următoarea lemă arată că această hartă nu depinde de secvențele Cauchy și că este într-adevăr o formă pozitivă definită (sequilinearitatea și simetria hermitiană fiind evidente) și că coincide bine cu pe : $(f_ {n}) _ {n}$ $(g_ {n}) _ {n}$ $\ left \ langle.,. \ right \ rangle _ {{H_ {0}}}$ $H_0$

$\ left. {\ begin {matrix} (f_ {n}) _ {n} {\ text {de Cauchy in}} H_ {0} \\\ forall x \ in E, f_ {n} (x) {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} f (x) \ end {matrix}} \ right \} \ Rightarrow f_ {n} {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} f { \ text {în}} H_ {0}$

Și, în cele din urmă, această ultimă lemă face posibilă afirmarea faptului că este densă , adică : $H_0$ $H$ $H = \ overline {H_ {0}}$

$\ left. {\ begin {matrix} (f_ {n}) _ {n} {\ text {de Cauchy în}} H_ {0} \\\ forall x \ in E, f_ {n} (x) {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} f (x) ~~ (f \ in H) \ end {matrix}} \ right \} \ Rightarrow f_ {n} {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} f {\ text {in}} H$

Pasul 3 : este complet! $\ left (H, \ left \ langle.,. \ right \ rangle \ right)$

Fie o secvență Cauchy în . După densitate, putem găsi o succesiune de astfel încât . Asa de : $(h_ {n}) _ {n}$ $H$ $(f_ {n}) _ {n}$ $H_0$ $\ | h_ {n} -f_ {n} \ | _ {H} \ leq {\ frac 1n}$

${\ begin {align} \ | f_ {n} -f_ {m} \ | _ {H} & = \ | f_ {n} -h_ {n} + h_ {n} -h_ {m} + h_ {m } -f_ {m} \ | _ {H} \\\ & \ leq \ | f_ {n} -h_ {n} \ | _ {H} + \ | h_ {n} -h_ {m} \ | _ {H} + \ | h_ {m} -f_ {m} \ | _ {H} \\\ & \ leq {\ frac 1n} + {\ frac 1m} + \ | h_ {n} -h_ {m} \ | _ {H} ~~ {\ xrightarrow [{\ min {(n, m)} \ to \ infty}] {}} ~~ 0 \ end {align}}$

Prin urmare, secvența provine de la Cauchy în , deci există astfel încât . Trebuie doar să scrieți: $(f_ {n}) _ {n}$ $H_0$ $f \ în H$ $\ forall x \ în E, f_ {n} (x) {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} f (x)$

${\ begin {align} \ | h_ {n} -f \ | _ {H} & = \ | h_ {n} -f_ {n} + f_ {n} -f \ | _ {H} \\\ & \ leq \ | h_ {n} -f_ {n} \ | _ {H} + \ | f_ {n} -f \ | _ {H} \\\ & \ leq {\ frac 1n} + \ | f_ { n} -f \ | _ {H} ~~ {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} ~~ 0 \ end {align}}$

$H$ este deci complet, este un spațiu Hilbert.

Pasul 4 : unicitate

Pentru a dovedi unicitatea, lăsați un alt spațiu Hilbert de funcții pentru care este un nucleu de reproducere. Pentru tot și în , implică că: $G$ $K$ $X$ $y$ $E$ $(*)$ $\ langle K_ {x}, K_ {y} \ rangle _ {H} = K (x, y) = \ langle K_ {x}, K_ {y} \ rangle _ {G}. \,$

Prin liniaritate, pe spațiul vectorial . Deci, datorită unicității finalizării. $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {H} = \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {G}$ $H_0$ $G = H$

Nucleul Bergman

Nucleul Bergman este definit pentru orice deschis D din ℂ n . Să luăm spațiul Hilbert H al funcțiilor holomorfe de pe D care sunt pătrate integrabile pentru măsura Lebesgue . Teoria nu este banală în cazul în care există astfel de funcții, care nu sunt identice zero. Atunci H este un spațiu de reproducere a nucleului, cu nucleul Bergman ca funcție de nucleu ; acest exemplu, când n = 1, a fost introdus de Bergman în 1922.

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Reproducing kernel Hilbert space ” ( vezi lista autorilor ) .
(en) Nachman Aronszajn , „ Teoria Reproducând Miezuri “ , Trans. Amar. Matematica. Soc. , vol. 68, nr . 3,1950, p. 337-404 ( citiți online )

Link extern

Gilles Leborgne, „ Nuclei integrali, spațiul Hilbert cu nucleul de reproducere: introducere ” , pe isima.fr ,2016