Notatie (matematica)

Folosit în matematică un set de notatii pentru a condensa și formaliza a declarațiilor și a demonstrațiilor . Aceste notații au apărut treptat de-a lungul istoriei matematicii și apariția conceptelor asociate cu aceste notații. Nu sunt complet standardizate.

Când sunt date două traduceri ale unei notații, una este traducerea cuvânt cu cuvânt, iar cealaltă este traducerea naturală .

Acest articol tratează notațiile matematice latine . Există și alte notații matematice non-latine , cum ar fi notația matematică arabă modernă  (en) .

Există, de asemenea, notații matematice destinate orbilor.

Introducere

Ca orice limbaj formal , o notație matematică își propune să înlăture ambiguitatea (în special lingvistică) a unei propoziții prin descompunerea ei într-un set limitat de simboluri a căror aranjare poate avea un singur sens.

De exemplu, să spunem că este o , utilizare: . X{\ displaystyle x}X=1{\ displaystyle x = 1}

Acest limbaj științific face posibilă, într-o măsură mai mică, facilitarea comunicării între matematicieni care nu vorbesc aceeași limbă. Dacă nu înlocuiește complet limbajul natural , permite ca cele mai complexe concepte matematice să fie exprimate într-o formă aproape identică în funcție de multe limbi și culturi, evitând astfel neînțelegerile asupra conceptelor matematice, de către oamenii care nu stăpânesc nu toate gramaticile. și subtilitățile sintactice ale limbajului de comunicare utilizat.

Chiar și în cadrul familiei culturale care utilizează notația matematică latină , anumite concepte de limbaj formal rămân oricum specifice unui anumit fond lingvistic. Astfel, în literatura matematică francofonă, afirmația înseamnă „  mulțimea A este un subset al lui B sau este egală cu B  ”, în timp ce în literatura matematică de limbă engleză, va însemna mai degrabă „  mulțimea A este un subset . set strict de B  ”. LA⊂B{\ displaystyle A \ subset B}

Următoarea listă de simboluri nu este exhaustivă. Cu toate acestea, toate simbolurile prezentate aici sunt utilizate universal în literatura matematică în limba franceză.

Operatori logici

• ¬{\ displaystyle \ neg}, nu .
• ∧{\ displaystyle \ land}, și .
• ∨{\ displaystyle \ lor}, sau .
• ⇒{\ displaystyle \ Rightarrow}, implică .
• ⇔{\ displaystyle \ Leftrightarrow}, este echivalent cu .

Seturi

Un set reprezintă o colecție de obiecte. Obiectele colecției sunt elementele întregului.

Definiția set

Un set poate fi definit:

• în înțelegere , adică printr-o proprietate caracteristică dintre elementele unui set dat. de exemplu{nu∈NU∣nu plaeur}{\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid n \ {\ rm {pair \}}}} (ansamblul tuturor numerelor întregi pare);
• ca imagine directă . De exemplu, este scris și setul de mai sus{2m∣m∈NU}.{\ displaystyle \ {2m \ mid m \ in \ mathbb {N} \}.}

Relații pe platouri

• ∈{\ displaystyle \ in}, calitatea de membru .
  • n aparține mulțimii numerelor naturale.
  • n este un număr natural.

nu∈NU{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}

Calitatea de membru este o relație care leagă un element și un întreg.

• ⊂{\ displaystyle \ subset}, incluziune .
  • Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}este inclus în .Î{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
  • Numerele relative relative sunt numere raționale.

Z⊂Î{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {Q}}

Un set este inclus în altul dacă și numai dacă toate elementele sale sunt elemente ale celuilalt.

Operații pe platouri

• ⋂ , intersecție .
• ∪, uniune .

Seturi obișnuite

• NU{\ displaystyle \ mathbb {N}}sau N , set de numere naturale .
• Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}sau Z , set de numere întregi relative .
• D{\ displaystyle \ mathbb {D}}sau D , set de numere zecimale .
• Î{\ displaystyle \ mathbb {Q}}sau Q , setul rațional .
• R{\ displaystyle \ mathbb {R}}sau R , set de numere reale .
• R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}, set de numere reale pozitive sau zero.
• R-{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-}}, set de numere reale negative sau zero.
• VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}sau C , set de numere complexe .
• H{\ displaystyle \ mathbb {H}}sau H , set de cuaterniuni .
• P{\ displaystyle \ mathbb {P}}sau P , set de numere prime .
• NU∗,Z∗,D∗,Î∗,R∗,R+∗,R-∗,VS∗{\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*}, \ mathbb {Z} ^ {*}, \ mathbb {D} ^ {*}, \ mathbb {Q} ^ {*}, \ mathbb {R} ^ { *}, \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ mathbb {R} _ {-} ^ {*}, \ mathbb {C} ^ {*}}, aceleași seturi private de zero.
• LA×{\ displaystyle A ^ {\ times}}, set de elemente inversabile ale unui inel . De exemplu, și , în timp ce if este un câmp (cum ar fi , sau ) ,.LA{\ displaystyle A}Z×={-1,1}{\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ times} = \ {- 1,1 \}}D×={±2la5b∣la,b∈Z}{\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {\ times} = \ {\ pm 2 ^ {a} 5 ^ {b} \ mid a, b \ in \ mathbb {Z} \}}LA{\ displaystyle A}Î{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}LA×=LA∗{\ displaystyle A ^ {\ times} = A ^ {*}}

Cuantificatoare

Vezi calculul predicatelor pentru un punct de vedere mai teoretic asupra acestor notații.

Pentru tot

Evaluare

∀{\ displaystyle \ forall}, pentru orice , orice .

Exemple

• ∀nu(nu∈NU⇒nu≥0){\ displaystyle \ forall n \, (n \ in \ mathbb {N} \ Rightarrow n \ geq 0)} Oricare ar fi un număr natural, n este mai mare sau egal cu zero. NU{\ displaystyle \ mathbb {N}} este redus cu zero.
• ∀nu∈NUnu≥0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad n \ geq 0} Formă condensată.
• ∀la∈R((la≤0∧la≥0)⇒la=0){\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {R} \, \ left ((a \ leq 0 \ land a \ geq 0) \ Rightarrow a = 0 \ right)} Pentru orice real a, dacă a este mai mic sau egal cu zero și dacă a este mai mare sau egal cu zero, atunci a este zero. Orice real, ambele mai mari sau egale cu zero și mai mici sau egale cu zero, este zero.

Exista

Evaluare

∃{\ displaystyle \ există}, există (cel puțin unul).

Exemple

• ∃nunu∈NU{\ displaystyle \ există n \ quad n \ în \ mathbb {N}} Există un element înNU{\ displaystyle \ mathbb {N}} . NU{\ displaystyle \ mathbb {N}} Nu este gol.
• ∃X(X∈R∧X≥1){\ displaystyle \ există x \, \ left (x \ in \ mathbb {R} \ land x \ geq 1 \ right)} Există un x real astfel încât x este mai mare sau egal cu unul . R{\ displaystyle \ mathbb {R}} nu este mărită cu 1.
• ∃X∈RX≥1{\ displaystyle \ există x \ in \ mathbb {R} \ quad x \ geq 1} Formă condensată.

Exemple generale

• ∀nu∈NU∃m∈NUm≥nu{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ există m \ in \ mathbb {N} \ quad m \ geq n} Pentru fiecare număr natural n, există un alt număr natural m astfel încât m este mai mare sau egal cu n. Orice număr natural este mai mic sau egal cu cel puțin un alt număr natural.
• ∃m∈NU∀nu∈NUm≥nu{\ displaystyle \ există m \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad m \ geq n} Există un număr natural m astfel încât pentru orice număr natural n, m este mai mare sau egal cu n. NU{\ displaystyle \ mathbb {N}}este mărită .

Prin urmare, vom observa că ordinea cuantificatorilor este importantă: prima propoziție este adevărată, cealaltă este falsă.

• ∀(la,l)∈R2∃f:R→R∀ϵ∈R+∗∃α∈R+∗∀X∈[la-α,la+α]|f(X)-l|≤ϵ{\ displaystyle \ forall (a, l) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ quad \ există f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ quad \ forall \ epsilon \ in \ mathbb { R} _ {+} ^ {*} \ quad \ exists \ alpha \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ forall x \ in [a- \ alpha, a + \ alpha] \ quad | f (x) -l | \ leq \ epsilon} Pentru toate numerele reale a și l, există o hartă f de în astfel încât f limitează l în aR{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}} .

Există un unic

Notarea înseamnă că există un unic ... (sau există unul și singur ... ). Acest cuantificator este definit din cuantificatoarele precedente și din egalitate. Pentru P (x) o proprietate a lui x  : ∃!{\ displaystyle \ există!}

∃! x P ( x ) este echivalent prin definiție cu ∃ x [P ( x ) ∧ ∀ y (P ( y ) ⇒ y = x )] Există un x unic care satisface P (x) este echivalent cu Există un x care satisface P (x) și orice y satisface P (y) atunci y = x.

sau echivalent:

∃! x P ( x ) este echivalent cu ∃ x P ( x ) ∧ ∀ x ∀ y [(P ( x ) ∧ P ( y )) ⇒ y = x ].Exemplu ∀X∈R∗ ∃!y∈R∗ Xy=1{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ \ există! y \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ xy = 1} Pentru orice x real diferit de zero, există un real real diferit de zero astfel încât produsul xy este egal cu 1. Cu alte cuvinte, x admite un invers unic pentru multiplicare.

Simboluri aritmetice

Aceste simboluri sunt utilizate pentru a simplifica scrierea seriilor lungi (de exemplu, evitând utilizarea liniilor punctate). Folosim în fiecare dintre aceste cazuri o variabilă numită variabilă fictivă care va lua valori într-un set precis. Această variabilă falsă va permite apoi descrierea unui termen generic plasat după simbol.

Sumă

∑{\ displaystyle \ sum}(Litera greacă: majusculă sigma )Exemple

• Dacă este un număr întreg strict pozitiv:nu{\ displaystyle n}

∑k=1nuk2=12+22+32+42+...+nu2=nu(nu+1)(2nu+1)6{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + \ ldots + n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}} Iată variabila fictivă, își ia valorile în set (set de numere întregi). Termenul general pentru această sumă este .k{\ displaystyle k}[1,nu]{\ displaystyle [1, n]}k2{\ displaystyle k ^ {2}}

• Ω{\ displaystyle \ Omega} fiind ansamblul numerelor întregi pozitive

∑k∈Ω, k<50k2=∑k=024(2k)2{\ displaystyle \ sum _ {k \ in \ Omega, \ k <50} k ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {24} (2k) ^ {2}} În stânga egalității, aparține unui set definit de două condiții: elementele sale sunt chiar numere întregi pozitive și sunt strict mai mici de 50k{\ displaystyle k}

• Exemplu de sumă infinită:

∀X∈R, ∑k=0∞Xkk!=eX{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k!}} = e ^ {x}} Am fi putut scrie într-un mod mai puțin condensat: 1+X+X22!+X33!+⋯+Xkk!+⋯=eX{\ displaystyle 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ dots + {\ frac {x ^ {k }} {k!}} + \ dots = e ^ {x}}

Prin convenție, o sumă indexată de setul gol este zero.

Produs

∏{\ displaystyle \ prod}(Litera greacă: majusculă Pi )

Acest simbol este utilizat în mod analog simbolului sumă.

Exemplu ∏k=1nuexp⁡(k2)=exp⁡(∑k=1nuk2)=exp⁡(nu(nu+1)(2nu+1)6){\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ exp (k ^ {2}) = \ exp \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} \ right) = \ exp \ left ({\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} \ right)} Am fi putut scrie într-un mod mai puțin condensat: exp⁡(12)⋅exp⁡(22)⋅exp⁡(32)⋅...⋅exp⁡(nu2)=exp⁡(nu(nu+1)(2nu+1)6){\ displaystyle \ exp (1 ^ {2}) \ cdot \ exp (2 ^ {2}) \ cdot \ exp (3 ^ {2}) \ cdot \ ldots \ cdot \ exp (n ^ {2}) = \ exp \ left ({\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} \ right)}

Prin convenție, un produs indexat de setul gol este egal cu 1.

Factorială

!{\ displaystyle!} (semn de exclamare)

Acesta este un caz special al unui produs:

nu!=∏1≤k≤nuk{\ displaystyle n! = \ prod _ {1 \ leq k \ leq n} k}

(unde n și k sunt numere întregi implicite asumate ).

Cu alte cuvinte,

dacă numărul întreg n este strict pozitiv: nu!=1×2×3⋯×nu{\ displaystyle n! = 1 \ ori 2 \ ori 3 \ puncte \ ori n} dacă este negativ sau zero, n  ! = 1.

Note și referințe

1. Compunerea textelor științifice - Text prezentat de Educația Națională (Franța) pentru standardizarea subiectelor de examen, p. 3.
2. Cu definiția produsului gol; în realitate, preferăm să păstrăm n ! nedefinit dacă n este negativ, pentru a păstra ecuația funcțională; vezi funcția Gamma

Vezi și tu

Bibliografie

• (ro) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations , Dover Publications ,1993, 820  p. ( ISBN  978-0-486-67766-8 , citit online )

Articole similare

• Tabel cu simboluri matematice
• Lista abrevierilor în matematică
• Logica matematică

linkuri externe

• Reguli franceze de tipografie matematică  : cum se scrie un document matematic în franceză care este corect tipografic

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">