Grup ordonat

Un grup ordonat este un grup prevăzut cu o relație de ordine respectată de traduceri.

Definiții

Fie ( G ,.) Un grup ( legea a grupului fiind notată multiplicativ ) și ≤ o relație de ordine pe G . Spunem că acest lucru este compatibil cu legea grupului atunci când pentru toate elementele x , y și z ale grupului, relația x ≤ y implică cele două relații zx ≤ zy și xz ≤ yz . Un grup ordonat este un set furnizat simultan cu o lege de grup și o relație de ordine compatibilă. Numim un grup complet ordonat un grup ordonat a cărui relație de ordine este totală .

Într-un grup ordonat G , se spune că un element este pozitiv dacă este mai mare decât elementul neutru e G și negativ dacă este mai mic decât acesta.

O parte P a unui grup G formează setul de elemente pozitive ale lui G pentru o anumită ordine compatibilă dacă și numai dacă P este un con pozitiv , adică: PP ⊂ P , P ∩ P −1 = { e G } și P este stabil prin conjugare .

Exemple

Grupul aditiv de numere reale , (ℝ, +), este un grup abelian total ordonat după ordinea obișnuită.

Datorită primelor trei proprietăți de mai jos, deducem imediat multe alte grupuri abeliene ordonate total sau parțial.

Proprietăți

• Orice subgrup al unui grup ordonat (resp. Total ordonat) este un grup ordonat (resp. Total ordonat) prin restricția ordinii grupului.
• Orice produs (chiar infinit) al grupurilor comandate este un grup ordonat după ordinul parțial produs . Dacă setul de indici este bine ordonat , produsul este de asemenea furnizat cu o comandă lexicografică, care este, de asemenea, compatibilă.
• Orice grup izomorf la un grup ordonat (resp. Total ordonat) este un grup ordonat (resp. Total ordonat) după ordinea indusă .
• Într-un grup ordonat, pentru toate elementele x , y , x ' și y' , inegalitățile x ≤ y și x ' ≤ y' conduc la inegalitatea xx '≤ yy' .Cu alte cuvinte, putem compune inegalități de membru în membru în aceeași direcție. Într-adevăr, conform definiției, inegalitatea x ≤ y implică xx ' ≤ yx' . La fel, inegalitatea x ' ≤ y' are ca rezultat yx ' ≤ yy' . Încheiem prin tranzitivitate relația de ordine.
• Într-un grup ordonat, pentru toate elementele x și y , inegalitatea x ≤ y implică inegalitatea y −1 ≤ x −1 .Cu alte cuvinte, ne putem întoarce la o inegalitate schimbându-i semnificația. Pentru a obține acest rezultat, este suficient să înmulțim inegalitatea x ≤ y cu y −1 în stânga și cu x −1 în dreapta.
• Într-un grup complet ordonat, conjugarea păstrează „  semnul  ” ( y > e G ⇔ xyx −1 > e G ), și fiecare element are rădăcini unice (pentru orice număr întreg nerezon , x n = y n ⇒ x = y ).
• Orice grup complet comandabil este lipsit de torsiune .Conversa este adevărată dacă grupul este abelian , dar fals în cazul general: de exemplu, grupul fundamental al sticlei Klein , adică grupul cu doi generatori a și b legați numai de aba -1 = b -1 , este torsiune- gratuit, dar (conform punctului anterior) nu este total comandabil.
• Teorema lui Hölder (1902): orice grup arhimedian complet ordonat este abelian și este scufundat în (ℝ, +, ≤).

Vezi și tu

• Axioma lui Arhimede
• Corp ordonat
• Spațiu vectorial ordonat  (în)

Referințe

1. T. S. Blyth, Zăbrele și structuri algebrice ordonate , Springer,2005( ISBN  1-85233-905-5 ) , p.  143.
2. (în) Dale Rolfsen, „  Grupuri ordonate și topologie  ” , pe UBC ,2001.