Funcția transcendentă

În matematică, se spune că o funcție sau o serie formală este transcendentă dacă nu este algebrică , adică dacă nu este soluția unei ecuații polinomiale cu coeficienți polinomiali în raport cu argumentele sale.

Această noțiune este, așadar, la fel ca cea a unui număr transcendent , un caz particular al celui al unui element transcendent al unei algebre pe un inel comutativ , algebra și inelul considerat fiind aici fie funcțiile anumitor variabile (la valori într-un inelul comutativ R ) și funcțiile polinomiale în aceste variabile (cu coeficienți în R ), adică seria formală și polinoamele (în una sau mai multe nedeterminate).

Așa cum niciun număr transcendent nu este rațional , nici o funcție transcendentă nu este o funcție rațională .

Exemple de serii formale transcendente

Fie K un câmp comutativ cu zero caracteristică . Apoi seria formală exponențială (în)

{\ displaystyle \ mathrm {exp} (X) = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {X ^ {j}} {j!}}}

este transcendent pe inelul polinoamelor K [ X ]. Este aceeași serie de logaritmi , sinus și cosinus sinus obișnuit și cosinus hiperbolic . Pentru o generalizare, a se vedea „ Teorema lui Eisenstein ”.

Exemple de serii algebrice formale

În aceeași situație ca înainte, pentru orice număr întreg n > 0, seria formală care dă expansiunea seriei întregi de (1 - X ) 1 / n

{\ displaystyle 1- \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(n-1) (2n-1) \ dots ((k-1) n-1)} {n ^ {k } \, k!}} X ^ {k}}

este algebric, deoarece este o soluție a ecuației polinomiale în T , cu coeficienți polinomiali în X , T n + X - 1 = 0.

Acum , alege ca inelul A inelul polinoamelor cu coeficienți complecși, care se adaugă exponențială: este inelul ℂ [ X , Y ], unde $exp$ ( X ) substituit la Y . Apoi, seriile formale $exp$ ( X / 2) și $exp$ (- X / 2) sunt algebrice peste A , deoarece, respectiv, soluțiile lui T 2 - $exp$ ( X ) = 0 și $exp$ ( X ) T 2 - 1 = 0. It Același lucru este valabil, așadar, pentru $cosh$ ( X / 2) și $sinh$ ( X / 2), care sunt jumătatea și jumătatea diferenței dintre aceste două serii.