Corpul închis cvadratic

În algebră , un câmp închis cvadratic este un câmp comutativ în care fiecare element are o rădăcină pătrată .

Exemple

• Orice câmp închis algebric este închis cvadratic.
• Închiderea pătratică a unui corp (vezi exemplele de mai jos) este - prin definiție - quadratically închisă.

Proprietăți

Pentru orice câmp F , următoarele proprietăți sunt echivalente:

• F este închis cvadratic;
• u -invariantul  său (en) este egal cu 1, adică orice formă pătratică pe F de dimensiune > 1 este izotropă  ;
• inelul său Witt-Grothendieck este izomorf la ℤ prin dimensiunea morfismului ;
• grupul său Witt este de ordinul 2.

Orice câmp închis cvadratic este atât pitagoric, cât și formal nu real, dar invers este fals (gândiți-vă la câmpurile caracteristice 2).

Fie E / F o extensie finită cu E închis cvadratic. Apoi, fie −1 este un pătrat în F, iar F este închis cvadratic, fie −1 nu este un pătrat în F și F este euclidian (aceasta este o consecință a teoremei Diller-Dress ).

Gard cuadratic

Pentru corp F , există o „  mică  “ extindere quadratically aproape de F . Această extensie, care este unic pentru izomorfism , este numit „“ închiderea pătratic de F . Îl putem construi ca un subcâmp al „ închiderii ” algebrice F alg de F , luând uniunea tuturor rotațiilor extensiilor pătratice pe F în F alg . Când caracteristica lui F este diferită de 2, este deci unirea celor 2 extensii finite ale lui F în F alg , adică toate extensiile Galois de grad egale cu o putere de 2.

De exemplu :

• închiderea pătratică a oricărui câmp euclidian F este extensia pătratică F ( √ −1 ) (este închisă algebric dacă și numai dacă F este închis real );
• închiderea pătratică a câmpului finit F 5 este - în închiderea sa algebrică care este uniunea lui F 5 m pentru orice număr natural m - uniunea lui F 5 (2 n )  ;
• închiderea pătratică a lui ℚ este - în ℚ - subcâmpul numerelor complexe construibile .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „  Câmp închis cu patru puncte  ” (a se vedea lista autorilor ) .

1. (în) Tsit-Yuen Lam , Introduction to Quadratic Forms over Fields , AMS , al.  „Studii postuniversitare în matematică” ( nr .  67),2005( ISBN  978-0-8218-7241-3 , citit online ) , p.  33.
2. Lam 2005 , p.  34.
3. Lam 2005 , p.  270 .
4. Lam 2005 , p.  220.